计算机控制系统-模型转换1

1、12 2 控制系统的数学描述控制系统的数学描述2控制系统数学模型连续时间系统模型离散时间系统模型模型转换模型的连接微分方程传递函数状态空间模型差分方程脉冲传递函数离散状态空间模型实现问题1. 控制系统的数学描述2. 控制系统的建模实例3. 控制系统的数学模型的转换4系统的不同分类：连续系统和离散系统；线性系统和非线性系统；定常系统和时变系统等。 根据输入输出关系是否同时满足齐次性齐次性 和 叠加性叠加性，系统分为线性和非线性。假设系统在没有外界信号作用之前处于静止状态, 在输入信号 和 作用下, 有那么该系统称为线性系统，否则是非线性系统。 控制系统的数学描述5 根据模型参数是否随时间变化，线

2、性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。例如：线性定常系统线性定常系统：线性时变系统线性时变系统：非线性系统：非线性系统： 控制系统的数学描述1 微分方程形式( )(1)()0110nnmnnma ya yaya yb ub u01,nAa aa设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)模型参数形式为：输出系统向量 ， n+1维输入系统向量 ， m+1维01, ,mBb bb(2-(2-1)1) 控制系统的数学描述2 传递函数形式在零初始条件下，将(2-1)

3、方程两边进行拉氏变换，则有0101( )( )( )mmmnnnY sb sbsbG sU sa sasa(2-(2-2)2)模型参数可表示为传递函数分母系数向量01,nAa aa01, ,nBb bb传递函数分子系数向量用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量 控制系统的数学描述将(2-2)中的分子，分母分解为因式连乘形式零极点增益形式112121()()()()( )()()()()miimnnjjszszszszG sKKspspspsp(2-(2-3)3)模型参数可表示为系统零点向量：系统极点向量：01,mZz zz01,nPppp 控制系统的数学描述2 传递函数形式系统零极

4、点增益： ,标量 K9微分方程和传递函数描述的是系统的输入-输出关系。用它描述时，对系统结构的内部信息一无所知，能够得到的只是系统的输入信息和输出信息。系统的内部结构就像一个“黑箱”一样 控制系统的数学描述3 状态空间表达式（可处理线性定常，线性时变，非线性，多输入多输出系统，随现代控制理论发展起来）.( )( )( )( )( )( )X tAX tBU tY tCX tDU t模型参数：(2-(2-4)4) 控制系统的数学描述一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组A：状态矩阵（系统矩阵）B：输入矩阵C：输出矩阵D：前馈矩阵（直接传输矩阵）y, u：外部变量X(t)：内部变量与传递函数模型不同

5、，状态空间描述把系统动态过程考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。 控制系统的数学描述 控制系统的数学描述1212y(t)a y(t)a y(t)=u(t)xy xy 控制系统的数学描述 控制系统的数学描述cu t（ ）12LLc，12ciiu， ，11121222221112L0cccci Ri RudiididtLui Ri Ri Rdudtududtcidt 1 1dididtdt记记 控制系统的数学描述111121111122122222111ccRRiiiuLLLRRRiiiuLLLuic 11111111122222201100100cc

6、RRLLiiLRRRiiuLLLuuc ：( )( )cy tu t11223,cxi xi xu 111111111222223312301000100001RRLLxxLRRRxxuLLxxcxyxx 17 控制系统的数学描述对于一个n阶复杂系统，具有r个输入，m个输出，此时状态方程变为：111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122.nnrrnnrrnnnnnnnnnrrxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub uT12.ruuuU111 1122111 11221221 12

7、22221 122221 1221 122.nnrrnnrrmmmmnnmmmrryc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uT12.myyyY输出方程变为：18111212122212.nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212.rrnnnrbbbbbbbbbB111212122212.nnmmmncccccccccC111212122212.rrmmmrdddddddddD 控制系统的数学描述解：列写该回路的微分方程解：列写该回路的微分方程 选选 RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出C课堂练

8、习：求图示课堂练习：求图示RLC回路的状态空间表达式回路的状态空间表达式ccd ( )( )( )( )dd( )( )di tRi tLu tu ttu tCi tt1( )xi t2c( )xu t 为系统两状态变量，则原方程可化成为系统两状态变量，则原方程可化成: :写成矩阵写成矩阵向量的形式为：向量的形式为： 1x2xdtdiLR1xL12x)(tuL1c11xy2x)(tuc1x2xLRL1c101x2xL10)(tu令令 为状态向量为状态向量则：则：y1x2x101x2xXTXLRL1c10XL10)(tuy10 x 控制系统的数学描述 控制系统的数学描述 控制系统的数学描述 控制

9、系统的数学描述291 1、差分方程、差分方程2 2、脉冲传递函数、脉冲传递函数对上式两端取z变换，得3 3、 离散状态空间离散状态空间)() 1()() 1()(11kubknubkyaknyaknynn 控制系统的数学描述1. 控制系统的数学描述2. 控制系统的建模实例3. 控制系统的数学模型的转换 电力电子变流装置的使用越来越多电力电子变流装置的使用越来越多 发达国家已有60%的电能经变换后使用而这个数字在本世纪初叶将达到95% 变流装置的普及能够极大的提高电能利用率 电力电子变流装置已在各行业得到了广泛应用 研究背景及意义研究背景及意义 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器 为电网

10、带来严重的为电网带来严重的“污染污染”非线性负载非线性负载传统传统电力电子装置电力电子装置铁芯电抗器铁芯电抗器 异步电机异步电机 变压器变压器 可控硅整流器可控硅整流器电解电源电解电源 电力机车电力机车 谐波谐波 无功功率无功功率11cosIPSI污染污染 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器研究背景及意义研究背景及意义 电网电网“污染污染”的危害的危害电机电机 产生振动、噪声、过电流及过电压，产生振动、噪声、过电流及过电压，导致效率降低、寿命缩短导致效率降低、寿命缩短 输电线输电线 增加损耗、发热、绝缘击穿增加损耗、发热、绝缘击穿 变压器变压器 产生振动、噪声、过热，加速绝缘产生振动、

11、噪声、过热，加速绝缘老化，缩短使用寿命老化，缩短使用寿命 继电保护装置继电保护装置产生误动作或拒动作、非正常跳闸产生误动作或拒动作、非正常跳闸 仪表仪表 产生计量误差、引起机械故障产生计量误差、引起机械故障 通讯设备通讯设备 引起通讯质量降低、信息丢失、通引起通讯质量降低、信息丢失、通信中断等信中断等 生产设备生产设备生产效率降低、设备损坏、产品报生产效率降低、设备损坏、产品报废甚至非计划性停产废甚至非计划性停产 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器研究背景及意义研究背景及意义 治理谐波和无功功率的重点治理谐波和无功功率的重点整流器是大多数电力电子装置的前端电路，注入电网的谐波整流器是大

12、多数电力电子装置的前端电路，注入电网的谐波和无功功率的大小主要取决于整流器。和无功功率的大小主要取决于整流器。19921992年日本发表了一项关于谐波源的调查报告，发现在被调年日本发表了一项关于谐波源的调查报告，发现在被调查的谐波源中，整流器的比例占查的谐波源中，整流器的比例占89%89%。11%89% 1 2 整流器其他整流器的谐波抑制和功率因数提高问题是治理电网污染的重点！ 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器研究背景及意义研究背景及意义0.50.5050.510.5150.520.5250.53-100-50050100voltage(V)0.50.5050.510.5150.52

13、0.5250.53-20-1001020time(s)current(A)0.50.5050.510.5150.520.5250.53-100-50050100voltage(V)0.50.5050.510.5150.520.5250.53-2-1012time(s)current(A)0.100.120.140.160.18-400-300-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 voltage(V)time(s) current(A)Ecic二极管整流电路电容滤波可控硅整流电路电阻负载，相角30度PWM整流器整流状态 控制系统的建模实例_三相电压

14、型PWM整流器研究背景及意义研究背景及意义基尔霍夫定律基尔霍夫定律分析力学原理分析力学原理基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律 jjjdTTQdtqq三相电压型三相电压型PWMPWM整流器整流器PWMPWM整流器的建模整流器的建模 两种建模方案：两种建模方案： 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器定义开关函数定义开关函数aaadcaNobbbdc bNocccdc cNodiLRieu sudtdiLRieu sudtdiLRieu sudtdcdcaab bccLduuCi si si sdtR 基于基尔霍夫定律的基于基尔霍夫定律的PWMPWM整流器建模：整

15、流器建模： 根据基尔霍夫电压定律，对网侧三相回路有根据基尔霍夫电压定律，对网侧三相回路有 对输出直流电压正极节点有对输出直流电压正极节点有 PWMPWM整流器的建模整流器的建模 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器考虑三相对称，有考虑三相对称，有以以 为状态变量得到的模型为为状态变量得到的模型为1()3Nodcabcuusss , , ,abcoi i i u, , , ,131313aadcakak a b cbbdcbkbk a b cccdcckck a b cdcdca ab bc cLdiLRiussedtdiLRiussedtdiLRiussedtduuCs is is id

16、tR PWMPWM整流器的建模整流器的建模 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器 PWMPWM整流器在整流器在dqdq同步旋转坐标系下的数学模型同步旋转坐标系下的数学模型, 在上述所得三相在上述所得三相PWM整流器的数学模型中，三相电压、电整流器的数学模型中，三相电压、电流均为交流量，流均为交流量，不利于控制系统设计不利于控制系统设计。因此，需要通过坐。因此，需要通过坐标变换将其变为直流量，即进行标变换将其变为直流量，即进行“abc/dq坐标变换坐标变换” ” 。 三相三相abc静止坐标系到两相静止坐标系到两相dq同步旋转坐标系的同步旋转坐标系的“等功率等功率”坐标变换矩阵为坐标变换矩阵

17、为coscos120cos1202sinsin120sin1203222222tttMtttPWMPWM整流器的建模整流器的建模 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器 PWMPWM整流器在整流器在dqdq同步旋转坐标系下的数学模型同步旋转坐标系下的数学模型, 200333200333200333dcdcdcaaaadcdcdcbbbbccccdcdcdcuuueRLLLLLiisuuueRiisLLLLLiisReuuuLLLLL 由三相静止坐标系下由三相静止坐标系下PWMPWM整流器模型方程整流器模型方程aabcbciiii 00ddqqiiii aabcbcssss00ddqqsss

18、saabcbceeee00ddqqeeee令令PWMPWM整流器的建模整流器的建模 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器 PWMPWM整流器在整流器在dqdq同步旋转坐标系下的数学模型同步旋转坐标系下的数学模型, 10abcdqiM i10abcdqsM s10abcdqeM e 将下列关系代入系统方程将下列关系代入系统方程10111100001dqdqdqdqdqdidMRiMM iTMsM edtdtLL T11dcdq0dq0LdcuCuM iMsR得到得到PWMPWM整流器的建模整流器的建模 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器10000000dMMdtdc1dc00000

19、00uLuMTML根据三角函数关系计算可得根据三角函数关系计算可得将其代入前式将其代入前式, ,即得到即得到PWMPWM整流器整流器dqdq坐标系下的数学模型坐标系下的数学模型dcdddddcqqqqdcdcqdL00001000uReLLiiLsuReiisLLLuuiiR CCC PWMPWM整流器在整流器在dqdq同步旋转坐标系下的数学模型同步旋转坐标系下的数学模型PWMPWM整流器的建模整流器的建模 控制系统的建模实例_三相电压型PWM整流器 采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量的在系统运行过程中实测、观察的物理数据，运用统计规律、系统辨识等理论合理估计出反应实际系统各物理量

20、相互制约关系的数学模型。控制系统的建模实例_统计模型法例：通过实验方法测得某系统的开环频率响应，来建立该系统的开环传递函数模型(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图(2) 用20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，得到两个转折频率121/ ,2.85/rad srad s相应的惯性环节时间常数为12121110.35Ts Ts(3) 由低频幅频特性可知0( )0,1LK控制系统的建模实例_统计模型法(4) 由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，系统的开环传递函数应为以下形式122( )(1)(1)(1)(0.351)ssKeeG sTsT sss(5) 确定纯滞后时间值11

21、1/, ()86rads 时11180()arctan1arctan 0.3586 112.85/, ()169rads 时再查图中22180()arctan 2.85arctan(0.352.85)2.85169 120.352s(6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为0.35122( )(1)(1)(1)(0.351)ssKeeG sTsT sss控制系统的建模实例_统计模型法46控制系统的建模方法1. 控制系统的数学描述2. 控制系统的建模实例3. 控制系统的数学模型的转换所谓所谓实现实现，就是根据描述系统输入，就是根据描述系统输入/ /输出动态关系的运动方程输出动态关系的运动

22、方程式或传递函数建立系统的状态空间表达式。式或传递函数建立系统的状态空间表达式。转换的原因：转换的原因： 数值积分法数值积分法 离散相似法离散相似法“ “实现问题实现问题”11211121.)()()( nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsG 数学模型的转换xAxBu(1)( )( )x kFx kGu ku 级联法级联法1 1、传递函数、传递函数 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换设系统的传递函数形式为111111( )( )( )nnnnnnnbsbsbY sG sU ssa sasa1b2b1nbnbu对角标准形实现（对角标准形实现（n个互异特征根个互异特征根

23、）nnnnnnnscscscsssbsbsbsbsG22112112211 )( )(limsGscisii iissUsX )()(令令 niiisXcsY1)()(取取L1uxxiii niiixcy11 1、传递函数、传递函数 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换例：例： 32186611686)(23 sssssssssG xy5- 4 1 uxx 1113- 0 00 2- 00 0 1-uxxn 11121 xcccyn21 1 1、传递函数、传递函数 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换 nnjjjjjnjjnnnnscscscscscsssbsbsbsbsG 1

24、11111121111112110 )(j重根重根1nj,1单根单根 )s (Gsdsdlim!1i1cj1)1i ()1i (si11 ji, 2 , 1 )(limsGscisii njji, 2, 11 1、传递函数、传递函数 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换u约当标准形实现（约当标准形实现（特征根有重根特征根有重根）uxxxxxxxxxxnjjnjnjj111001111211111121 00111211 jjnycccccx1 1、传递函数、传递函数 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换例：例： 123312353 )(43122112 scscscscssss

25、sG 3)(3lim2311 sGscs 6)23()32)(153()23(3lim )1)(2()5(3lim)(3lim)!12(1222332)12()12(312 ssssssssssGsdsdcsss 3)(1lim ,9)(2lim1423 sGscsGscssuxx 11101- 0 0 00 2- 0 00 0 3- 00 0 1 3- xy3 9- 6 3 uyayayayn1n)1n(1)n( 微分方程：微分方程：( (输入函数不含有导数项输入函数不含有导数项) )设：设：)1()2(121,nnnnyxyxyxyxuxaxaxauyayayaxxxxxxxnnnnnnn

26、nn1211)1(1113221 ,则有：则有：uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn 1000100001000010121121121Xy0 0 01能控能控标准标准型型2 2、微分方程、微分方程 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换u可控标准型实现可控标准型实现nnnnnnnasasasbsbsbsUsYsG 111111)()()(令：令：采用拉氏反变采用拉氏反变换，化为微分换，化为微分方程形式：方程形式：（研究系统的内部状态变量可否由控制输入完全（研究系统的内部状态变量可否由控制输入完全影响的问题）影响的问题）nnnbsbsbsZsY111)()(nnnnasasassUs

27、Z1111)()(ubububyayayaynnnnnnn 1)1(11)1(1)(传递函数：传递函数：微分方程：微分方程：( (输入函数含有导数项输入函数含有导数项) )2 2、微分方程、微分方程 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换(1)11()(1)11nnnnnnnyzzzzubbbzaaazz取状态：取状态：得到可控得到可控标准型：标准型：uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn 1000100001000010121121121Xbbbynn11 2 2、微分方程、微分方程 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换12(1).nnxzxzxzu 可观标准型实现可观标准型

28、实现可控标准型与可观测标准型之间存在如下对偶关系：可控标准型与可观测标准型之间存在如下对偶关系：BCCBAATocTocToc ,对应对应MatlabMatlab函数为：函数为：obsvf()obsvf() 可观测问题是研究系统输出是否完全反映系统状态的问题，如果系统可观测问题是研究系统输出是否完全反映系统状态的问题，如果系统的所有状态变量的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的。的所有状态变量的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的。ubbbxxxaaaxxxnnnnnn11211121100001000Xy10002 2、微分方程、微分方程 状态空间表达式状态空间表达式 数学模型的转换59当标准型当标准型，试求可控标准型和约，试求可控标准型和约已知已知例例1216716174232ssssssG)( :可控标准型： 321321321xxx41716yu100 xxx71612100010 xxx)3(1)2(3)2(2)(