2020年银川市数学高考一模试卷(及答案)

1、2020 年银川市数学高考一模试卷 （及答案 ）一、选择题x 3， y 3.5 ，则由该观测1已知变量 x与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 的数据算得的线性回归方程可能是 （ ）B $y 2x 2.4D $y0.3x 4.4A $y 0.4x 2.3C y$2x 9.52给出下列说法： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 . 其中正确说法的个数是（ ）A 0B1C2D33（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为A12B16C204 设 是虚数单

2、位，则复数(1 i)(1 2i)（）A 3+3iB-1+3iC3+i5 一动圆的圆心在抛物线2 y8x 上，且动圆恒与直线D24D-1+ix 2 0相切，则此动圆必过定点A (4,0)B (2,0)C (0,2)D (0,0)6ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，若 B2A，a 1， b3，则57c （ ）A2 3B 2C 2D17在ABC中，a5，b3，则 sin A：sin B 的值是（ ）53 AB359已知 2a 3b 6，则 a ， b不可能满足的关系是（）22A a b abB a b 4C a 1 b 1 222D a2 b2 810 已知复数 ，则复数 在复

3、平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x的线性回归方A产品的生产能耗与产量呈正相关C A产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加B回归直线一定过 （4.5,3.5 ）0.7吨D t的值是 3.151x,y aloga1x 21 （a 0且 a 1）的图象可能是12 在同一直角坐标系中，函数程为 y 0.7x 0.35 ，则下列结论错误的是（ ）x3456y2.5t44.5、填空题213 已知圆锥的侧面展开图是

4、一个半径为2cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为3 cm .14已知函数 f(x)a x 21,x 1，函数 g(x) 2 f (x)，若函数 y f(x) g(x)( x a)2 x 1恰有 4个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 1 3 1 2 215若函数 f (x)x3 x2 2ax 在 , 上存在单调增区间，则实数 a 的取值3 2 3范围是 .16 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1： 2，则它们的体积比为 17 已知直线 ：与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与轴交于两点 .则 .x 2 y 2

5、018若x ， y满足约束条件 x y 1 0 ，则 z 3x 2 y的最大值为 y019若函数 f (x) x2 x 1 a ln x在(0, )上单调递增，则实数 a 的最小值是20 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若b 6,a 2c,B ，则 ABC的面 3积为三、解答题 21我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行 调查，通过抽样，获得某年 100 为居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 .(1) 求直方图的 的值；说明理由；(2) 设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量

6、不低于3 吨的人数，(3) 估计居民月用水量的中位数 .M的微信好友的微信好友E、22 “微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 中有 400 位好友参与了“微信运动”他随机抽取了40位参与“微信运动”(女 20人，男 20 人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为 五个类别： A、 0 : 2000步，(说明：“ 0 : 2000”表示大于或等于 0，小于 2000，以 下同理)， B 、 2000: 5000步， C、5000: 8000步， D 、 8000 : 10000步，10000 : 12000步，且 A、 B 、 C三种类别的人数

7、比例为 1:4:3 ，将统计结果绘制如图所 示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图（）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动” 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的 400 位 微信好友中，每天走路步数在 2000 : 8000的人数；（）若在大学生 M 该天抽取的步数在 8000 : 10000的微信好友中，按男女比例分层抽 取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至 少有一位女性微信好友被采访的概率23设函数 f（x） a2ln x x2 ax

8、（a 0） （）求 f （x）单调区间（）求所有实数 a， 使e 1 f（x） e2对x 1,e 恒成立注： e为自然对数的底数x2t24在平面直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数， a R ），以y1 at坐标原点 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是2 2 sin .4（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）己知直线 l 与曲线 C交于 A、 B两点，且AB7 ，求实数 a 的值 .25在直角坐标平面内，以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点5A， B的极坐标分别为 4， 2 2， ，曲线 C的方程

9、为 r （r 0）24（1）求直线 AB 的直角坐标方程；（2）若直线 AB和曲线 C有且只有一个公共点，求 r 的值26已知函数 f x ax 1 lnx ， a R（ ） 讨论函数 f x 的单调区间；（ ） 若函数 f x 在 x 1 处取得极值，对 x 0, ， f x bx 2 恒成立，求实数b 的取值范围参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除、选择题1A解析： A【解析】试题分析：因为 与 正相关，排除选项 C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心 ，故排除选项 B；故选 A考点：线性回归直线 .2A解析： A【解析】【分析】根据定义得结论不一定正确 .画图举出反例说明题目是错

10、误的 .【详解】 解：不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线 ;不一定 ,因为 “其余各面都是三角形 ”并不等价于 “其余各面都是有一个公共顶点的三角形 如图( 1)所示 ; 不一定当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆 锥，如图( 2)所示 ,它是由两个同底圆锥组成的几何体; 错误 ,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点 ,但是侧棱长不一定相等故答案为 :A【点睛】(1) 要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析 ,多观察实物 ,提高空间想象能力 ;(2) 紧扣结构特征是判断的关键 ,熟悉空间几何体的结构特征 ,依据

11、条件构建几何模型 ,在条件 不变的情况下 ,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定 ;(3) 通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可3A解析： A【解析】【分析】 本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】31由题意得 x3的系数为 C43 2C14 4 8 12 ，故选 A【点睛】 本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数4C解析： C【解析】因为 (1 i)(1 2i) 1 2i i 2i2 3 i ，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式 .5B解析： B【解析】【分析】设圆和 x 轴

12、相交于 M 点，根据圆的定义得到 CACM R，因为 x=-2,是抛物线的准线，结 合抛物线的定义得到 M 点为焦点 .【详解】圆心 C在抛物线上，设与直线 x 2 0相切的切点为 A，与 x 轴交点为 M，由抛物线的定 义可知， CA CM R，直线 x 2 0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必 过抛物线的焦点 2,0 故选 B点睛】 这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很 多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用尤其和焦 半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化6B解析： B【解析】1 3 3

13、3 ,cosA 3, sin A sin B sin2A 2sin AcosA 2所以123c2 2c 3 3，整理得 c2 3c 2 0,求得 c 1或c=2.2若 c 1，则三角形为等腰三角形， A C 300,B 600 不满足内角和定理，排除 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想当求出 cosA 3 后，要及时判断出 A 300,B 600 ，便于三角形的初步定型，也为排 2除 c 1提供了依据 .如果选择支中同时给出了 1或2 ，会增大出错率 .7A解析： A【解析】由正弦定理可得：sin A a 5sin B b 3本题选择 A 选项 .8D解析

14、： D解析】分析 :先研究函数的奇偶性，再研究函数在( , )上的符号，即可判断选择 .详解：令 f (x) 2x sin2x ，因为 x R,f ( x) 2 x sin2( x)2x sin2xf(x)，所以 f(x) 2x sin 2x为奇函数，排除选项 A,B;因为 x ( ,)时， f(x) 0 ，所以排除选项 C，选 D.2点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；( 3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复9C 解

15、析： C 【解析】 【分析】 根据 2a 3b 6即可得出 a 1 log23，b 1 log32 ，根据 log23 log32 1， log3 2 log32 2 ，即可判断出结果2a3b 6 ；alog2 6 1log2 3，blog36 1 log32 ；ab 2 log 23 log324， ab 2 log23log3 24，2222a1b1log23log3 22log 2 3log3 22，2222ab2 2 2log2 3log32log2 3log32详解】故 A,B 正确；故 C 错误；2 4 log23 log3 2 2log23 log32 8，故 D正确故 C 【点

16、睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式： a b 2 ab 和不 等式 a2 b2 2ab 的应用，属于中档题10A解析： A解析】在复平面内对应的点A.11D解析： D【解析】3456由题意， x =4.5 ，4 y? =0.7x+0.35 ， y =0.7 ×4.5+0.35=3.5 ，t=4 ×3.52.54 4.5=3，故选 D 12D解析： D【解析】【分析】 本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选 项，判断得出正确结论 .题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】 x1当 0

17、 a 1时，函数 y ax过定点 (0,1)且单调递减，则函数 y x 过定点 (0,1) 且单调递 a11增，函数 y log a x过定点 (1,0) 且单调递减， D 选项符合；当 a 1 时，函数22x1y ax过定点 (0,1)且单调递增，则函数 y x过定点 (0,1)且单调递减，函数 a11y log a x 过定点 ( ,0 )且单调递增，各选项均不符合 .综上，选 D.22【点睛】 易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是 不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性 .二、填空题13【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据

18、底面圆周长等于展 开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设 此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析： 4 23【解析】【分析】设此圆的底面半径为 r ，高为 h，母线为 l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关 系式解出 r ，再根据勾股定理得 h l2 r 2 ，即得此圆锥高的值详解】设此圆的底面半径为 r ，高为 h ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为3所以 l 2，得 22 l 433,解之得 r2，3，因此 ,此圆锥的高l 2 r22242cm ，3故答案为 :4 2 3【点睛】求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定本题给

19、出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角， 义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题14【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4 个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析： 2,3【解析】【分析】由函数 g(x) 2 f (x) ，把函数 y f(x) g(x)恰有 4个不同的零点，转化为 f x 1 恰有 4 个实数根，列出相应的条件，即可求解 .【详解】由题意，函数 g(x) 2 f(x)，且函数 y f(x) g(x)恰有 4个不同的零点，即 f x 1 恰有 4 个

20、实数根，当 x 1时，由 a x 1 1，即 x 1 a 1 0 ，a21解得 x a 2或 x a，所以a1，解得 1<a? 3；a2aa11当 x 1时，由 (x a) 1 ，解得 x a1 或 x a 1，所以，解得 a 2 ，a11综上可得：实数 a 的取值范围为2,3 .【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为f x 1 ，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题 .15【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性1解析： ( 1

21、, )9【解析】【分析】【详解】试题分析：f ( x)2 xx 2a211x 2a242当 x 23，时， f (x) 的最大值为22211 , f2 a，令 2a0，解得 a ，所以a的取值范围是39999考点：利用导数判断函数的单调性161：8【解析】考查类比的方法所以体积比为18解析： 1： 8解析】VS1 h1 S h 1 1 1考查类比的方法， 1 3 1 1 ，所以体积比为 1 8.V2 1 S2h2 S2 h2 4 2 8 174【解析】试题分析：由 x-3y+6=0得 x=3y-6 代入圆的方程整理得 y2- 33y+6=0解得 y1=23y2=3所以 x1=0x2=-3所以

22、|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23 又直线 l 的 解析： 4 【解析】 试题分析：由 ，得 ，代入圆的方程，整理得，解得 ，所以 ，所以又直线 的倾斜角为 ，由平面几何知识知在梯 形 中， 【考点】直线与圆的位置关系 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法 (即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系 的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知 识使问题较为简捷地得到解决186【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目 标函数化成斜截式之后在图中

23、画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可 以发现直线过 B 点时取得最大值联立方程组求得点 B 的坐标代入目标函数 解析： 6【解析】 【分析】 首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3 131y x z ，之后在图中画出直线 y x ，在上下移动的过程中，结合 z 的几何2 22231意义，可以发现直线 y x z过 B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标22代入目标函数解析式，求得最大值 .【详解】 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：223 画出直线 y x ，将其上下移动，2z 3 1结合 的几何意义，可知当直线 y 2 x

24、2 z在 y 轴截距最大时， z 取得最大值，x 2 y 2 0 由，解得 B (2,0) ，y0此时 zmax 3 2 0 6 ，故答案为 6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件 对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目 标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方 法求解 .19【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立 根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得

25、的最大值进而得 到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的1解析： 18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到a x 2x2 在 0, 上恒成立，利用二次函数的性质求得 x 2x2 的最大值，进而得到结 果.【详解】2Q 函数 f x x x 1 a ln x 在 0, 上单调递增f x 2x 10 在 0,上恒成立a x 2x2 在 0, 上恒成立x令 g x x 2x2 ， x 011根据二次函数的性质可知：当 x 时， g x max4 max 811a ，故实数 a 的最小值是881本题正确结果：8【点睛】 本题

26、考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数 的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题 .20【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角 形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学 式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去 解析： 6 3【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于 c的方程，应用 a,c 的关系、三角形面积公式计算求 解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算 求解能力的考查【详解】由余弦定理得 b2 a

27、2 c2 2ac cosB ，所以 （2c）2 c2 2 2c c 1 62 ，2即 c2 12解得 c 2 3,c 2 3 （舍去）所以 a 2c 4 3 ，SABC 1 acsin B 1 4 3 2 3 3 6 3.ABC 22 2【点睛】 本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类 问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算三、解答题21 (1)； (2)36000 ；(3) .解析】【分析】 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解 决问题的能力 . 第（ ）问，由高 ×组距=频率，计算每组

28、的频率，根据所有频率之和为1，计算出 a的值；第（ ）问，利用高 ×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3 吨的频率，再利用频率 ×样本容量 =频数，计算所求人数；第（ ）问，将前 5 组的频率之和与 前 4 组的频率之和进行比较，得出2 x<2.5，再估计月均用水量的中位数 .【详解】（ ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在0,0.5）的频率为 0.08 ×0.5=0.04.同理，在 0.5,1）， 1.5,2 ）， 2,2.5 ）， 3,3.5）， 3.5,4）， 4,4.5）等组的频率分别为 0.08， 0.21， 0.25，0.06，0.04，

29、0.02.由 1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02 ）=0.5 ×a+0.5×a，解得 a=0.30.（）由（ ） 100位居民月均用水量不低于 3吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计 30万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000 ×0.12=36000.（ ）设中位数为 x 吨.因为前 5组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73 >0.5，而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.

30、5所以 2x<2.5.由 0.50 ×（ x2）=0.5 0.48，解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04 吨.【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问 题、解决问题的能力 .在频率分布直方图中，第 n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有 小矩形的面积之和为 1，这是解题的关键，也是识图的基础322 （）见解析（）5【解析】【分析】（）所抽取的 40人中，该天行走 2000 8000步的人数：男 12 人，女 14 人，由此能求 出 400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天

31、行走 2000 8000 步的人数（）该天抽取的步数在 8000 10000的人数：男 6 人，女 3 人，共 9 人，再按男女比例 分层抽取 6人，则其中男 4 人，女 2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访 的概率【详解】（）由题意，所抽取的 40 人中，该天行走 2000 8000步的人数：男 12人，女 14人， 所以 400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走 2000 8000 步的人数约为26400260人；40()该天抽取的步数在 8000 10000的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所 占的频率为 0.15 2 0.3 ，所以男生的人数为为 20 0.

32、3 6人，根据柱状图可得，女生 人数为 3人，再按男女比例分层抽取 6人，则其中男 4 人，女 2人再从这 6 位微信好友 中随机抽取 2 人进行采访，基本事件总数 n C62 15 种，至少 1 个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，C 2 3其中至少有一位女性微信好友被采访的概率： P 1 42C62 5点睛】合理运算求解是解答此类问题的) ( 2) a e本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等 知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意， 关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 23 ( 1) f(x) 的增区间为 (0, a) ，减区

33、间为 (a, 【解析】 【分析】 【详解】因为 f ( x)2a2 x ax所以 f (x) 的增区间为( )由题意得 f (1)f (x) e2：()f (x)e1对x2422a2ln x x2 ax(a 0)所以(x a)(2x a) 由于ax(0, a) ，减区间为 (a, ) a 1 e 1即ae)知 f(x) 在1,e单调递增，要使f (1)1,e 恒成立，只要 f (e) a1) l 的普通方程 ax y 2aa12eae2 解得 a e e1 0； C 的直角坐标方程是 x2 y2 2x 2y 0；33解析】分析】1)把直线 l 的标准参数方程中的2)方程为 2 2 sin (消

34、掉即可得到直线 l 的普通方程，由曲线 C的极坐标)，展开得 2 2 2 2 ( sin +cos )，利用 42x cos 即可得出曲线 C 的直角坐标方程；y sin2)先求得圆心 C到直线 AB的距离为 d ，再用垂径定理即可求解 详解】x 2 t1）由直线 l 的参数方程为 ，所以普通方程为 ax y 2a 1 0 y 1 at由曲线 C 的极坐标方程是2 2sin4所以 2 2 2sin2 sin 2 cos4所以曲线 C 的直角坐标方程是 x2y2 2x 2 y 02）设 AB 的中点为 M ，圆心 C 到直线 AB 的距离为 d ，则 MA圆C: x 1 2 y 12 2，则r2，C 1,1d MCa 1 2a 1 a2 1a 的值为 33a1由点到直线距离公式， d解得 a 3 ，所以实数3点睛】 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线 的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题25 （1） 3x y 4 0；（2） 2 105 【解析】分析】1）求得 A0，4 ，B 2，2 ，问题得解（2）利用直线 AB