工程力学(下)—总复习

1、总总 复复 习习轴力轴力 N拉伸为正拉伸为正 压缩为负压缩为负ANANmaxmax扭矩扭矩 Mn右手法则：扭矩右手法则：扭矩矢背离截面为正，矢背离截面为正，反之为负。反之为负。trMn22IMPnmaxmaxntMW横截面上的内力横截面上的内力横截面上的应力横截面上的应力强度条件强度条件 ANmaxmax maxmaxntMW会画实心圆会画实心圆和空心圆横和空心圆横截面上内力截面上内力分布图分布图（画轴力图）（画轴力图）（画扭矩图）（画扭矩图）会画薄壁筒会画薄壁筒横截面上内横截面上内力分布图力分布图刚度条件刚度条件变形（虎克定律）变形（虎克定律）EAlNlEG GIMPnmaxmaxGIlMP

2、nGIMPn剪应力互等定理剪应力互等定理 1800maxmaxGIMPn超静定问题超静定问题确定变形相容条件确定变形相容条件将力与变形的关系代入几何方程将力与变形的关系代入几何方程得补充方程得补充方程联立静力平衡方程与补充方程，联立静力平衡方程与补充方程，解出未知力解出未知力将各（段）杆之间变形的几何关将各（段）杆之间变形的几何关系代入相容条件得几何方程系代入相容条件得几何方程一般超静定问题一般超静定问题解超静定问解超静定问题的步骤题的步骤杆件超静定问题杆件超静定问题杆系超静定问题杆系超静定问题ABCP1m300例题例题 14 简易起重设备中，简易起重设备中，AC杆由两根杆由两根 80 8 0

3、 7等边角钢组成，等边角钢组成，AB杆由两根杆由两根 10号工字钢组成。材料为号工字钢组成。材料为Q235钢，许用应力钢，许用应力 =170MPa 。求许可荷载。求许可荷载 P。300PAxyN1N2解：取结点解：取结点A为研究对象，受力分析如图为研究对象，受力分析如图所示。所示。ABCP1m300结点结点A的平衡方程为的平衡方程为由型钢表查得由型钢表查得m10286021430A242 300PAxyN1N2 0y0P30sinN01 0X030cosNN012 得到：得到：P2N1 P732. 1N2 4211086 2217210 mA许可轴力为许可轴力为AN KN24.369AN11

4、KN20.486AN22 N1=2P N2=1.732P各杆的许可荷载各杆的许可荷载KN6 .1842NP11 许可荷载许可荷载 P=184.6kNKN7 .280732.1NP22 ACDBPPaaa例例 ：求约束反力并画轴力图：求约束反力并画轴力图ACDBPPaaaRARB解：列平衡方程解：列平衡方程0RPPRBA这是一次超静定问题这是一次超静定问题ACDBPPaaaACDBPPaaaRARB变形协调条件变形协调条件0llllDBCDACEAaRlAACEAaPRlACD)(EAaRlBDB补充方程补充方程02PRRBAACDBPPaaaACDBPPaaaRARB02PRRBA联立列平衡方

5、程与补联立列平衡方程与补充方程充方程0RPPRBA解得解得PRPRBAACDBPPaaaACDBPPaaaRARBPRPRBA-+PP画轴力图画轴力图例题例题 ：实心圆轴：实心圆轴和空心圆轴和空心圆轴（图（图a、b）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩 m 和长度和长度 l 均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比量比。ld2D2ld1(a)(b)解：设实心圆截面解：设实心圆截面直径为直径为d1，空心圆，空心圆截面的

6、内、外径分截面的内、外径分别为别为 d2、 D2 ; 又又扭转力偶矩相等，扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相则两轴的扭矩也相等，设为等，设为 Mn 。ld2D2ld1(a)(b)2max1max已知已知21ttWW有有22max11maxtntnWMWM 21tntnWMWM ld2D2ld1(a)(b)16)1(164322311DWdWtt16)1(1643231Dd因此因此194.18 .0113412dD解得解得ld2D2ld1(a)(b)两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比横截面积之比，512. 0)8 . 01

7、(194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。轻，即节省材料。36：阶梯形圆杆：阶梯形圆杆AE段为空心，外径段为空心，外径 D =140mm，内径，内径d=100mm。BC段为实心，直径段为实心，直径 d=100mm。外力偶矩。外力偶矩mA=18KN.m，mB=32KN.m，mC=14KN.m。已知许用切应力。已知许用切应力 =80MPa 。试校核轴的强度。试校核轴的强度。ABCEddDmAmBmCABCEddDmAmBmC-+1814解；作扭矩图解；作扭矩图mAB

8、 =18KN.m ，mBD =14KN.mABCEddDmAmBmCmAB =18KN.m ，mBD =14KN.m2 .45)(1 1643MPaDdDMWMnAEnnAEAEABCEddDmAmBmCmAB =18KN.m ，mBD =14KN.m3 .71163MPadMWMnBCnnBCBC剪剪 切切 与与 挤挤 压压AQ式中，式中， Q 为受剪面上的剪力为受剪面上的剪力A为受剪面的面积。为受剪面的面积。PPmmmmP剪切面剪切面Q剪应力为剪应力为剪切的强度条件为剪切的强度条件为 AQ 为材料的许用剪应力。为材料的许用剪应力。在挤压在挤压近似计算中，假设近似计算中，假设 名义名义挤压应

9、力挤压应力 的的计算式为计算式为APjyjyjyAjy 为计算挤压面的面积为计算挤压面的面积Pjy 为接触面上的挤压力为接触面上的挤压力挤压的强度条件为挤压的强度条件为jyjyjyjyAP jy 为许用挤压应力为许用挤压应力dh（1）当接触面为圆柱面时）当接触面为圆柱面时, 挤压挤压面积面积 Ajy 为实际接触面在直径平面为实际接触面在直径平面上的投影面积上的投影面积 hdAjy实际接触面直径投影面（2）当接触面为平面时）当接触面为平面时, 挤压挤压面积面积 Ajy 为实际接触面积为实际接触面积 DdhP销钉的剪切面面积销钉的剪切面面积 A销钉的挤压面面积销钉的挤压面面积 Ajy思考题hdDd

10、hP剪切面dhADdhP剪切面挤压面挤压面)(422dDAjybllaPP剪切面面积：剪切面面积： A=b l挤压面面积：挤压面面积： Ajy = a b 例题：在厚度例题：在厚度t=5mm的钢板上冲出形状如图的孔，若钢的钢板上冲出形状如图的孔，若钢板材料的剪切强度极限板材料的剪切强度极限 b=300MPa,求求冲床所需的冲压力冲床所需的冲压力F。R=50R=50400解：剪切面的面积为解：剪切面的面积为mmdtbtA5570550214. 35400223KNAFb1671bAF弯曲内力弯曲内力弯曲内力（剪力，弯矩）弯曲内力（剪力，弯矩）剪力和弯矩符号的规定剪力和弯矩符号的规定截面法求剪力和

11、弯矩截面法求剪力和弯矩简易法求剪力和弯矩简易法求剪力和弯矩作内力图作内力图写出剪力方程和弯矩方程，写出剪力方程和弯矩方程， 画出内力图画出内力图利用分部荷载集度，剪力，弯矩之间的关系画利用分部荷载集度，剪力，弯矩之间的关系画出内力图出内力图)()(xqdxxdQ )()(xQdxxdM )()(xqxdMdx 22分部荷载集度，剪力，弯矩之间的关系分部荷载集度，剪力，弯矩之间的关系q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的向下倾斜的直线直线上凸的二次上凸的二次抛物线抛物线在在Q=0的截面的截面水平直线水平直线一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变

12、处有突变P在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置几种荷载下剪力图与弯矩图的特征几种荷载下剪力图与弯矩图的特征支座反力为支座反力为例：画剪力图和弯矩图例：画剪力图和弯矩图RA=22KNRB=18KNq=10kN/mm=8kNmABC4m4mRARB2m2mq=10kN/mm=8kNmRARBABC剪力图剪力图CA段：段：()QC = 0AB段：段：( )QA

13、右右=RA = 22KNQB左左 = - RB = -18KN+-22KN18KN令令 Qx= -RB + qx = 0X=1.8mxE弯矩图弯矩图CA段：段：()MC右右 = -m= -8KN。mAB段：段：( )q=10kN/mm=8kNmRARBABCEX=1.8MB = 016.2KN.m8KN.m-+)2(28 . 1qxxRMBxEmKN.2 .16例：画内力图例：画内力图AC: ()2qaQA 右CB: ( )23qaQB 左2qaP qa2aACB+-2qa23qa x(1) 剪力图剪力图设距设距A端为端为x的截面上剪力等于零的截面上剪力等于零0右BQ0)(axqPax5 .

14、122qaMC 85222qaaxqPxM )(max2qaP qa2aACBAC: ( )(2) 弯矩图弯矩图0 AMCB: ( )2232qaaqaaPMB左0 MB右x=1.5a+-22qa852qa22qa弯曲应力弯曲应力一一 横截面上正应力横截面上正应力IyxMZ)(（1）弯曲时横截面上正应力公式）弯曲时横截面上正应力公式 （2）横截面上正应力分布）横截面上正应力分布 横截面上正应力沿截面高度成直线分布；横截面上正应力沿截面高度成直线分布；中性轴上正应力中性轴上正应力 = 0 ； 横截面上离中性轴最远的各点处，横截面上离中性轴最远的各点处， 正应力值最大。正应力值最大。zWxM)(m

15、ax（3）当中性轴）当中性轴 z为截面对称轴时为截面对称轴时（4）当中性轴）当中性轴z不是截面对称轴时不是截面对称轴时zyzycmaxytmaxIyxMzttmaxmax)(IyxMzccmaxmax)( （5） 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件maxmaxzWM中性轴是对称轴时中性轴是对称轴时对于材料的对于材料的 ， 且中性轴且中性轴 z不是横截面不是横截面对称轴的梁，要分别用最大拉应力和最大压应力对称轴的梁，要分别用最大拉应力和最大压应力进行强度校核，进行强度校核， 即：即：ctmaxmaxmaxmaxmaxmaxczcctzttIyMIyM弯弯 曲曲 变变 形形一，挠曲线近似微分方程

16、一，挠曲线近似微分方程)(xMyEI 2，挠曲线近似微分方程，挠曲线近似微分方程1，转角与的挠度关系，转角与的挠度关系ydxdy二，积分法求转角和挠度方程二，积分法求转角和挠度方程)(xMyEI 积分常数的确定积分常数的确定边界条件边界条件变形相容条件变形相容条件三，叠加法三，叠加法应力状态分析应力状态分析一，平面应力状态分析一，平面应力状态分析1，任一斜截面上的应力，任一斜截面上的应力 2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx2，解析法求，解析法求 主应力，主平面，主应力方向（主平面方位）主应力，主平面，主应力方向（主平面方位）yxxtg220190012 minmax22)2

17、(2xyxyx )90(45,0101范范围围内内取取值值在在则则yx1 1若若yxxtg220190012 2，平面应力状态分析图解法，平面应力状态分析图解法二，空间应力状态分析二，空间应力状态分析1，画空间应力状态应力圆，画空间应力状态应力圆2，最大剪应力公式，最大剪应力公式231max三，广义虎克定律三，广义虎克定律)(1zyxxE)(1)(1yxzzxzyyEEGyzyzGxyxy Gzxzx)(13211E)(11322E)(12133E三向广义虎克定律（已知三向广义虎克定律（已知 1， 2， 3） 1 1 ， 2 2 ， 3 3 称为主应变称为主应变 。四，强度理论四，强度理论1，

18、四种基本强度理论，四种基本强度理论2，莫尔强度理论，莫尔强度理论 11r)(3212 r 313r213232221421 r r31ctrM例一：单元体应力状态如图。用解析法和图解法求：例一：单元体应力状态如图。用解析法和图解法求：主应力，并在单元体中画出主应力方向。主应力，并在单元体中画出主应力方向。50202050 xx200 yy(1) 解析法解析法maxmin22)2(2xyxyx =57-77057321 )2(210yxxtq4 .1416 .3800 )2(210yxxtq4 .1416 .3800 07 .703 .1900 因为因为 x x y y，所以，所以3 .1901

19、 3 .1900 3150202050 xx200 yy0 (2) 图解法图解法D1CA1A22 0317057321 3 .196 .3820000 50202050 xx200 yyD2(3) 画主应力方向画主应力方向 7057321 3 .1900 3 .1900 13由由 x =70 ， y = 30 ， x = 40 求另两个求另两个主应力主应力解：解： （1）首先求主应力）首先求主应力 z = 50 主应力之一主应力之一30MPa70MPa50MPa40MPa70MPa40MPa30MPa例四：求相当应力例四：求相当应力24022307023070minmax 94.725.282

20、8. 5,50,72.94321 70MPa40MPa30MPaMPa.r44893 （2）计算相当应力）计算相当应力MPar5 .774 30MPa70MPa50MPa40MPa弯扭组合变形中四个强度公式的应用弯扭组合变形中四个强度公式的应用WTMr223WTMr75. 0224422313 r2243r例一，截面矩形柱如图所示。例一，截面矩形柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合，的作用线与杆轴线重合，P2作用在作用在 y 轴上。已知，轴上。已知， P1 = P2 = 80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的如要使柱的mm截面只出现压应力，求截面只出现压应力，求 P2 的偏心距的

21、偏心距e。P2yzebhP1P2mm解：解：1将力将力P2向截面形心简化后，梁向截面形心简化后，梁上的外力有上的外力有轴向压力轴向压力PPP21 力偶矩力偶矩ePmZ2 P2yzebhP1P2mmyZmmP2yzebhP1P2mm2mm截面上的内力有截面上的内力有轴力轴力 N =P1+P2 =P弯矩弯矩 Mz = P2eNMzyZmmP2yzebhP1P2mmN轴力产生压应力轴力产生压应力APPAP21 yZmmP2yzebhP1P2mmMz弯矩产生的最大正应力弯矩产生的最大正应力622bhePWMzz maxtmaxCAPPAP21 622bhePWMzz yZmmNyZmmMzmaxtma

22、xC3横截面上不产生拉应力的条件为横截面上不产生拉应力的条件为062221 bhePAPPt解得：解得： e =10cm例二，钢制圆截面杆，直径例二，钢制圆截面杆，直径 d=100mm , 受力受力 P=4.2KN , 力偶矩力偶矩 m=1.5KN.m 。许用应力。许用应力 =80MPa 。按第三强。按第三强度条件校核轴的强度。度条件校核轴的强度。500500mPPxyz500500mPPxyz解：该杆为两个平面内的弯曲与扭转组合变形。解：该杆为两个平面内的弯曲与扭转组合变形。固定端截面是危险截面固定端截面是危险截面500500mPPxyzmKNPMz.241 mKNPMy.1250 mKNMMMyz.7422 合成弯矩为合成弯矩为500500mPPxyzmKNMMMyz.7422 扭矩为扭矩为mKNMn.5 . 1 MPaTMWr35041223.323dW 例三，例三， 某轴受力如图所示。已知圆的直径某