2021年高考数学考点《三角恒等变换》

1、考点十九三角恒等变换知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(a+£)=sin acos£+cos asin£(S(a 1/；)sin(a-£)=sin acos£-cos asin£(S(a p)cos(a+£)=cos acos£-sin asin £cos(a-)=cos acos£+sin asin£(C(a 仍)tan a+tan£ tan(a +£)=;:7"1tan atan(T(a 仍)八tana-tan £ 一taME

2、Ftan嬴(笛。加2.二倍角公式sin 2a = 2sin acos a (Sia)cos 2a=cos2a-siira=2cos2a - 1 = 1-2sin2a (Cza)、 2tan a. 、lan g)3.公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.常见变形如下:降基公式：cos%=I 学", sin2a=乙升舟公式：1 +cos 2a=2 cos%, 1 cos 2a=2sin2a1 +cos a=2cos 号，1 - cos a=2si 畤.正切和差公式变形:tan a±tan£=tan(a切)(

3、1 不tan atan £),门.tan a+tan £ tan atan £tan atan 8= 1 一;777 1.了 tan(a+£)tan(a/?)配方变形：1 +sin a=(si玲+cos各一1 - sin a=(sin|-cos)2.4.辅助角公式asin a+bcos a =yja2-b23n(a-(p), 其中 tan 0=?.典例剖析题型一给角求值例 1 (1)计算 cos 42。cos 18。-cos 48。cos 72。的值为小、1台 sin 110Osin 20°.计算c°s55。-siR55。的值为答案1

4、(2) 1解析 (l)cos 42° cos 180cos 48° cos 720=cos 42° cos 180sin 42° sin 18°=cos (420+18°) =cos 600=z.(2)V cos2155°sin21550=cos 310°=cos 500.cin 40。. sin U00sin 20c _sin 700sin 20。_ cos 2(Fsin 20。= 2cos21550sin2l 55°cos 310° cos 50° sin 400 2,变式训练si

5、n 470-sin 17°cos 30°cos 170My e 4、 sin(30°+17°)sin 17°cos 300解析原式=二=17,sin 300cos 170+cos 300sin 17°-sin 17°cos 30°cos 17°亚*工a30。总 cos 1702解题要点解题时先看角，观察是否有30。、60。、90。等特殊角，或是观察能否通过变形凑 配出这些特殊角再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还 要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.题型二给值求值

6、例2已知像 兀)，sina=哈 (1)求 sin(f+a)的值：求cos传一2a)的值.-嘿解析 因为a£仁，冗)，sina=坐，所以cos a= sin%= 故 sin(；+a)=sin cos a4-cos ?ina= (2)由(1)知 sin 2a=2sin acos a=2Xcos 2a = I 2sin2a= 1 2 X所以coscos.s 2a+s喏sin 2a=(苦)X|+；X(-护-* 题型三利用角的凑配求值例 3 已知 tan(a+£)=|, tan£-/)=",那么 tan(a+j)等于3答案J：解析因为a+；+B-尸a+0，所以a+

7、A(a+为一(£一"所以tan(a+；)=tan (a+£)一tan(a+£)-tan(£一：)31+tan(a+£)tan(£一船变式训练 已知cos a岩,cos(a+夕)=一；,且a,£e(0,。则cos(a-£)的值等于.宏案 解析.ago,斗，.2a£(0,兀).17*/ cos a=w, /. cos 2a=2cos2a - 1 = 一 §，sin 2a=yj 1 -cos22a=,而 a, £6(0,号，.a+££(0, h),/. sin(

8、a+B) =71 -cos2(a+0)=¥, J，cos(a -£)=cos2<x(a +£)=cos 2acos(a+£) + sin 2asin(a+£)T 9；X( 3)+ 9 X 3 -27-解题要点1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.当“已 知角”有两个时，“所求角” 一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角” 有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的凑配技巧：2a = （a+B）+（a £）, a=（

9、a+0 £=中一三，。=字+巴若 m=3+3%+£）等.题型四辅助角公式例 4 （安徽文）已知函数."）=（sinx+cosx）2+cos 2r（1）求7U）的最小正周期：求玲）在区间o,上的最大值和最小值.解析（1）因为/U）=sin2 x+cos? x+2sin xcos x+cos 2x= l+sin2¥+cos 2T=sin（2r+q）+l'所以函数於）的最小正周期为T=y=K.（2）由（1）的计算结果知，/U）=，5sin（2x+：）+L当0,1时,2r+同?用，由正弦函数y=sin x在，引上的图象知， 当2x+A会即尸就"

10、，4）取最大值班+1：当2x+1=y,即“4时，段）取最小值0.综上，兀r）在0,外上的最大值为建+1，最小值为0.变式训练函数_/U）=45sin x+cos（g+x）的最大值为答案1解析/(x)=A/3sin.r+cos /(X)niax= 1.解题要点 利用辅助角公式将asinx+cosx化为AsiiMs+p）是常见的题型，转化时一定要 严格对照和差公式，防止搞错辅助角.对于计算形如产sin（5+0）,x£“，切形式的函数最 值时，则务必注意角度范闱，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范闱内是否越过图 像的“波峰”或“波谷”.当堂练习1 .(新课标 I 理)sinZO

11、9;cos I00cos 160°sin 10°=.套案-口乘2解析 sin 200cos 10°cos 160csin 100=sin 200cos 100+cos 20°sin 10°=sin 30°=/=3,则 tai】2a=“sina+cosa2 .(sina-cosa3-4 案 答 tana 4-1 1 解析 由不?=5，得lana=3,tana - 1 2c 2tana 3 、小岳.tan2a=;-=t, 选 B 坝.1 - taira 43.已知cos(a+勺=里 则sin(2a，)的值为o 5o答案I解析由cos(a+

12、)=坐，得 cos(2a+j) =2X (坐)2 1 = cos(2a+)=；.ITTl 7T所以 sin(2at) =sin(2a+zz)=J 44.若函数./(x)=sin2(x+$+cos2a；) 1,则函数/(x)是.周期为7T的偶函数周期为27r的偶函数周期为27r的奇函数周期为冗的奇函数答案解析 /(A)=sin2(+x)+sin2(+A) 1 =2sin2(+A) 1 = cos(1+ 2x)=sinZv ，故正确.5.(北京理)已知函数/)=#i畤cos楙一艰si吟.求/U)的最小正周期；求./U)在区间一兀，0上的最小值.解析(1)因为=sinx一乎(1cosx)=sinQ+

13、5)一孝,所以凡r)的最小正周期为2兀因为一ttWxWO,所以一苧Wx+左哥.当x+A一看即尸一竽时，.”)取得最小值.所以加)在区间一兀，0上的最小值为_/(一苧)=T 一坐课后作业一、填空题351 .已知 cosa=, cos(a+£)=一忘，a, £ 都是锐角，则 cos£=. JX J答案i57r1 2解析,:a、£ 是锐角，。弓+庐兀，又 cos(a+£)= 一谷0,兀，sin(a+0)=黄, X JJ，J3 J2 4 = 335+l3 5-65-45sina=5.乂 cos£=cos(a+0-a)=cos(a+£

14、)cosa+sin(a+£)sina=RX2 . sin750cos30。-sinl50sinl50。的值为.宏案应解析 sin750cos300 sin 150sin 150°=sin75°cos30°cos750sin300=sin(75° 30°) = sin450=巫23 .(陕西文)“sina=cosa" 是“cos 2a=0” 的 条件.答案充分不必要解析 V sin a=cos a=>cos 2a=cos2a-sin2a=0； cos 2a=O0cos a=±sin «=>/ s

15、in a=cos a, 故为选充分不必要条件.4 .若cosa = * a为第三象限角，则sin(a+：)=.答案7小1043解析为第三象限角，cosa=亍，sina=一左*)=. ( in I .兀1.兀 sii“ a + = sinacos+cosasinj=sin47°-sin 17°cos3005 cos 17°=较玄-口第2解析 sin470=sin(30° +17°)=sin30°cos 170+cos30°sin 170,e* sin30°cosl70 ,八仆 1 ,原式 h cos 17。f 巾30

16、 =2.6 .已知 tan(a+£)=, tan(£/)=；,那么 tan(a+/)等于解析 Ta+g+S-=a+£, .,.a+A(a+£)一£一就A tan(a+tan(a+£)-tan(£-q)31 +tan(a+£)tan(£-一7 .已知赋2)=:则sin2r的值为.7较宏 口第25解析 V sin2v=cos( 2a)= 1 Zsin'Qx)= 1 2X 奈=£.8 .己知 冗)，sina=|,贝ij tan2a=.宠案1=17(jc435，兀J, sina=m， ，cosa

17、=一不 tana=24tan2a=2tana 2XH)一 S-(-犷9 .(四川理)sin 150+sin75。的值是.套案逅解析 sin 150+sin 75°=sin 15°+cos 150=艰sin(150+45°)=应sin 60°=乎.10 .已知 cos(a+5=彳,g£(0, z),则 cosa= J4宠案鱼du弟 6解析 V«e(0,分,cos(a+力=|>0,八 兀 ，兀 /兀 7T aS。I),仪+彳叫，5)，Asin(a+)=,1兀冗、 ,兀、兀兀、兀艰+4 cosa=cos(a+)=cos(a+)cos+

18、sin(a)-sin=-2!11.（浙江理）函数於）=sin2x+sinxcosx+l的最小正周期是,单调递减区间是解析危)=-+1sin 2x+1答案兀 pr+E,砂+履（kGZ）2k7rW2v-孚+2Mr,Z,解得号+AjtWxW14 Loo+女兀，kGZ,.单调递减区间是"+E,1+G kGZ.二、解答题12 .（重庆理）已知函数,"）=sin（，f）sinx-a/5cos2、.（1）求./U）的最小正周期和最大值；讨论於）在，用上的单调性.解析(1 贸 x)=sin(/x)sin x巾 cos2x=cos xsin x-2( * +cos 2x)=；sin 2a-因此«x）的最小正周期为熊最大值为2手.当卷，