高三数学一轮复习（原卷版）【经典微课堂】——规范答题系列3 高考中的立体几何问题 教案

1、1命题解读立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合思想的考查典例示范(本题满分12分)(2019全国卷)图1是由矩形ADEB、 RtABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE

2、与 BF 重合，连接 DG，如图 2.图 1图 2(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；(2)求图 2 中的二面角 BCGA 的大小.信息提取看到想到四边形 ACGD 共面的条件， 想到折叠前后图形中的平行关系；看到想到面面垂直的判定定理；看到想到利用坐标法求两平面法向量的夹角余弦值，想到建立空间直角坐标系规范解答(1)由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面. 2 分由已知得 ABBE，ABBC，且 BEBCB，故 AB平面 BCGE. 3 分又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC

3、平面 BCGE. 4 分(2)作 EHBC，垂足为 H.2因为 EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，所以 EH平面 ABC. 5 分由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC60，可求得 BH1，EH 3. 6 分以 H 为坐标原点，HC的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz，则 A(1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0， 3)，CG(1，0， 3)，AC(2，1，0). 8 分设平面 ACGD 的法向量为 n(x，y，z)，则CGn0，ACn0，即x 3z0，2xy0.9 分所以可取 n(3，6， 3). 10 分又平面 BCGE 的法向量可取为

4、 m(0，1，0)，所以 cosn，mnm|n|m|32. 11 分因此，二面角 BCGA 的大小为 30. 12 分易错防范易错点防范措施不能恰当的建立直角坐标系由(1)的结论入手， 结合面面垂直的性质及侧面菱形的边角关系建立空间直角坐标系建系后写不出 G点的坐标结合折叠后棱柱的侧棱关系：CGBE可求出CG，或者借助折叠前后直角三角形的边角关系，直接求出点 G 的坐标通性通法合理建模、建系巧解立体几何问题(1)建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；(2)建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解3规范特训1.(2019江南十校二模)已知多

5、面体ABCDEF，四边形 BCDE 为矩形，ADE 与BCF 为边长为 22的等边三角形，ABACCDDFEF2.(1)证明：平面 ADE平面 BCF；(2)求 BD 与平面 BCF 所成角的正弦值解(1)取 BC，DE 中点分别为 O，O1，连接 OA，O1A，OF，O1F.由 ABACCDDFEF2，BCDECFAEADBF2 2，可知ABC，DEF 为等腰直角三角形，故 OABC，O1FDE，CDDE，CDDF，又 DEDFD，故 CD平面 DEF，平面 BCDE平面 DEF，因为平面 BCDE平面 DEFDE，O1FDE，所以 O1F平面 BCDE.同理 OA平面 BCDE；所以 O1

6、FOA，而 O1FOA，故四边形 AOFO1为平行四边形，所以 AO1OF，AO1平面 BCF，OF平面 BCF，所以 AO1平面BCF，又 BCDE，故 DE平面 BCF，而 AO1DEO1，所以平面 ADE平面BCF.(2)以 O 为坐标原点， 以过 O 且平行于 AC 的直线作为 x 轴，平行于 AB 的直线作为 y 轴，OO1为 z 轴建立空间直角坐标系如图则有 B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，2)，F(1，1，2)，故BD(2，2，2)，BC(2，2，0)，BF(2，0，2)设平面 BCF 的法向量为 n(x，y，z)，由BCn，BFn 得2x2y0，2x2z0，取

7、x1 得 y1，z1，故平面 BCF 的一个法向量为 n(1，1，1)设 BD 与平面 BCF 所成角为，则 sin |cosBD，n|212（1）2132 3|13.故 BD 与平面 BCF 所成角的正弦值为13.2(2019河南、河北考前模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，点E 是边 AD 上的一点， 且 AE2ED，点 H 是 BE 的中点，将ABE 沿着 BE 折起，4使点 A 运动到点 S 处，且有 SCSD.(1)证明：SH平面 BCDE.(2)求二面角 CSBE 的余弦值解(1)证明：取 CD 的中点 M，连接 HM，SM，由已知得 AEAB2，SESB2，又点 H

8、 是 BE 的中点，SHBE.SCSD，点 M 是线段 CD 的中点，SMCD.又HMBC，BCCD，HMCD，SMHMM，从而 CD平面 SHM，得 CDSH，又 CD，BE 不平行，SH平面 BCDE.(2)法一：取 BS 的中点 N，BC 上的点 P，使 BP2PC，连接 HN，PN，PH，可知 HNBS，HPBE.由(1)得 SHHP，HP平面 BSE，则HPSB，又 HNBS， HNHPH， BS平面 PHN，二面角 CSBE 的平面角为PNH.又计算得 NH1，PH 2，PN 3，cosPNH1333.法二：由(1)知，过 H 点作 CD 的平行线 GH 交 BC 于点 G，以点 H 为坐标原点，HG，HM，HS 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz，则点 B(1，1，0)，C(1，2，0)，E(1，1，0)，S(0，0， 2),BC(0，3，0)，BE(2，2，0)，BS(1，1， 2)5设平面 SBE 的法向量为 m(x1，y1，z1)，由mBE2x12y