全概逆概公式PPT学习教案

1、会计学1全概逆概公式全概逆概公式2引例引例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,三家工厂的市场占有率分别为三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,次品率分别为次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。，试求市场上该品牌产品的次品率。112233() (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B A 1110.020.010.030.0225442( )P B 解解 设设A1、A2、A3 分别表示分别表示“买到一件买到一件甲、乙、丙厂产品甲、乙、丙厂产品”, B=“买到一件次品买到一件

2、次品”.123()P A BA BA B 123()()()P A BP A BP A B ()PB 123() PAAA B 第1页/共14页3一、全概率公式一、全概率公式定理定理: : 设事件设事件A1, A2, , An构成完备事件组构成完备事件组, , 且且P(Ai)0 (i=1, 2, , n), 则对任一事件则对任一事件B, 有有niiiABPAPBP1)()()(例例1 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击

3、落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。求飞机被击落的概率。完备事件组？事件完备事件组？事件B B ？第2页/共14页4设设Ai=“飞机飞机被被i人击中人击中”(i=0,1,2,3), B=“飞机被击落飞机被击落”为求为求P(Ai ), 设设 Hi=飞机飞机被第被第i人击中人击中 (i=1,2,3)依题意依题意,0123,()0.2,()0.6,()01(P BP B AP B APAB A 1123123123()()P AP H H HH H HH H H 于是于是 即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为

4、0.458。2123123123()()P AP H H HH H HH H H 3123()()P AP H H H 112233( )() ()() ()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A 0.360.20.41 0.60.14 10.458 =0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7=0.41=0.40.50.7=0.14第3页/共14页5实际中还有一类问题实际中还有一类问题已知结果求原因已知结果求原因引例引例(续续)某产品甲、乙、丙厂市场占有率某产品甲、乙、丙厂市

5、场占有率1/4、1/4、1/2,次品率次品率2、1、3,(1)求市场上该品牌产品次品率求市场上该品牌产品次品率(0.0225);(2)现买到一件产品为次品现买到一件产品为次品,求它由甲厂生产的概率求它由甲厂生产的概率.解解1(|)P AB1()( )P A BP B11() (|)0.0225P A P B A10.02240.2220.02259 2(|)P AB2()( )P A BP B22() (|)0.0225P A P B A10.01140.1110.02259 3(|)P AB3()( )P A BP B33() (|)0.0225P A P B A10.03620.6670.

6、02259 第4页/共14页61() ()()()( )() ()kkkkniiiP A P B AP A BP A BP BP A P B A 二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式定理定理: : 设事件设事件A1, A2, , An构成完备事件组构成完备事件组, ,且且P(Ai)0(i=1, 2, , n), 对事件对事件B, 若若P(B)0, 则有则有(k=1, 2, , n) 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯( (Bayes) )给出给出. .它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下已发生的条件下, ,寻找导致寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. .这类问题在

7、实际中更常见这类问题在实际中更常见. .第5页/共14页7 P(Ai) (i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对诸事件发生可能性大小的认识人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生), 人们对诸事件发生可能性大小人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为原因的分别称为原因的先先验验概率概率和和后后验概率验概率.

8、.1() ()()()( )() ()kkkkniiiP A P B AP A BP A BP BP A P B A (k=1, 2, , n)第6页/共14页8例例2 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯,每箱每箱20只只,其中每箱含其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1,0.1,某顾客选中一箱某顾客选中一箱,从中任选从中任选4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的,便买下了这一箱便买下了这一箱. 问这一箱不含次品的概率是多少问这一箱不含次品的概率是多少?解解:设设Ai=“任取一箱任取一箱,含含i只次品只次品”(i=0,1,2), 由已知由已知:P(A0)=

9、0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.10(|)P B A1(|)P B A 2(|)P B A 由由Bayes公式公式:00020() (|)(|)() (|)iiiP A P B AP ABP A P B A 0.8 10.8484120.8 10.10.1519 =141942045CC 4184201219CC 完备事件组？事件完备事件组？事件B B ？B=“从一箱中任取从一箱中任取4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的”第7页/共14页9例例3 数字通讯中数字通讯中, 信源发信源发0、1两种信号两种信号, 其中发其中发0的概率的概率0.55, 发发1的概率的概率0.45.

10、 由于信道中存在干扰由于信道中存在干扰, 发发0的时候的时候, 接收端分别以概率接收端分别以概率0.9、0.05和和0.05接收为接收为0、1和和“不清不清”. 发发1的时候的时候, 接收端分别以概率接收端分别以概率0.85、0.05和和0.1接收为接收为1、0和和“不清不清”.现接收端接收到一个现接收端接收到一个“1”的信号的信号, 问发端发的是问发端发的是0的概率是多少的概率是多少?=0.067解：设解：设A=“发射端发射发射端发射0”, B=“接收端收到接收端收到1”0.55 0.050.55 0.050.45 0.85 () (|)(|)() (|)() (|)P A P B AP A

11、 BP A P B AP A P B A 第8页/共14页10例例4 从从20000份患有疾病份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下表数据的病历卡中统计得到下表数据. 其中：其中：S=S1,S2,S3,S4.S1=食欲不振食欲不振, S2=胸痛胸痛, S3=呼吸急促呼吸急促, S4=发热发热.疾病疾病人数人数出现出现S中一个或几个症状人数中一个或几个症状人数 d177507500d252504200d370003500一个具有一个具有S中症状的病人前来求诊中症状的病人前来求诊,他患有疾病的可能性是多少他患有疾病的可能性是多少?在没有别的可资依据的诊断手段情况下在没有别的可资依据的诊断手

12、段情况下,诊断该病人患有哪一种疾病较合适？诊断该病人患有哪一种疾病较合适？ 第9页/共14页11该问题观察的个数很多该问题观察的个数很多,用频率作为概率的近似值用频率作为概率的近似值.解解:设设Ai=“患者患有疾病患者患有疾病di”(i=1,2, 3), B=“患有出现患有出现S中的某些症状中的某些症状” 12377500.3875,2000052500.2625,2000070000.3520000P AP AP A 112233|P BP AP B AP AP B AP AP B A 1237500|0.9677,77504200|0.8,52503500|0.5.7500P B AP B

13、 AP B A0.3875 0.96770.2625 0.80.35 0.50.76 第10页/共14页12 111222333|0.3875 0.9677|0.49340.76|0.2625 0.8|0.27630.76|0.35 0.5|0.23030.76P AP B AP ABP BP AP B AP ABP BP AP B AP ABP B 从而推测病人患有疾病从而推测病人患有疾病d1较为合理较为合理. 112233|P BP AP B AP AP B AP AP B A 0.3875 0.96770.2625 0.80.35 0.50.76 第11页/共14页13甲甲乙乙例例5 设甲袋中有设甲袋中有2个白球个白球,1个红球个红球,乙袋中有乙袋中有2个红球个红球,1个白球个白球,手感上均无区别手感上均无区别.今从甲袋任取一球放入乙袋今从甲袋任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋任取一球搅匀后再从乙袋任取一球,求此球是红球的概率求此球是红球的概率;若已知取到红球若已知取到红