2010年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ卷

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)文科数学(必修+选修)本试卷分第 I 卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第n卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.。3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四

2、个选项中，只有一项 是符合题目要求的。球的表面积公式S = 4二R2其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率R(k)二C：pk(1-p)z(k =0,1,2,n)一、选择题(1)cos300 =(A) -仝(B)-1(C)-(D)322 221.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】1 cos300 = cos360 - 60= cos60 -2设全集U 1,2,3,4,5 1,集合M一1,4?,N一1,3,5?，则N一q M =A.d,3?B. 1,5?C. 3,5?D.4,

3、5：2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】e)M .2,3,5?,N亠1,3,5?，则NQ M严1,3,5厂2,3,5? =：3,51参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A_B)二P(A)_P(B)V =3二R34其中 R 表示球的半径y 1,I若变量x, y满足约束条件x y _ 0,则 z = x - 2y 的最大值为x - y - 2 0,(A)4(B)3(C)2(D)13.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力一1 1【解析】画出可行域(如右图)，z=x-2y

4、= y xz，由图可知，当直线l经过点2 2A(1,-1)时，Z 最大，且最大值为Zmax=1-2 (-1)=3.y = xo:x-2y =0A x-y-2=o(4)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=(A)5、2(B) 7(C) 6(D)4、24.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想【解析】由等比数列的性质知qa2a3=二a；= 5，1a7a8a9 (a7a9)-a as=10,=10,所a?a8 =5。3, ,1所以弘鬼比=(a4a6)込=a5 =( .a2a8)

5、=(506) =5、2(5)(1-X)4(1 - G)3的展开式x2的系数是(A)-6(B)-3(C)0(D)35.A.【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】(1 x)4(1 - )3=(1 4x + 6x24x3x4) 1 3x2+3x x22x的系数是 -12+6=-6直三棱柱ABC ABCi中，若NBAC = 90,AB = AC = AA，则异面直线BA与AG所成的角等于(A)30 (B)45 (C)60 (D)90 6. C【命题意图】本小题主要

6、考查直三棱柱ABC - ABiG的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长 CA 至 U D，使得AD二AC，贝 VADAC1为平行四边形， DAB就是异面直 线BA,与AG所成的角，又三角形ADB为等边三角形，二 NDAiB = 60已知函数f (x) =| lg x |.若a = b且，f (a) = f (b)，则a b的取值范围是(A)(1,：)(B)1,：)(C)(2,：)(D)2,：)7. C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做.一一 .一 .、 . .1本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=a-

7、2,从而错选 D,这也a是命题者的用苦良心之处.1 1【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 b ，所以 a+b= a aa1又 0ab，所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+).0 a：10：x：1【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：1 b，利用线性规划得：1：y，化为求ab =1xy二11一z = x . y的取值范围冋题，z=xy=. y = -xz,yy=_x12”：T=过点1,1x时 z 最小为 2, (C)(2,：)2 2 0(8)已知R、F2为双曲线 C:x -y 1的左、右焦点，点 P

8、在 C 上，/F|PF2=60,|PF HPF2F(A)2(B)4(C) 6(D) 88.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想, 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力【解析 1】由余弦定理得2 2 2COSZ F1PF2=|PF1|PF2|-|F1F2|PFiIJPF2 | =4【解析 2】由焦点三角形面积公式得:|Ph |JPF22IPF1IIPF2I2 2=込600-(門1】圧1)+2引护卜|证|二21222 PF1PF2- 2 22PFi|PF22PFiPF22日2SPF?=b cot 1 cot型=73jpF1|PF2sin602

9、 232【解析 2】设上下底面的中心分别为0-0；010与平面ACD-i所成角就是BB1与平面(9) 正方体ABCD-AEGU中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(A)(B)仝3(D)兰39.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】 因为Ci面 ACACD1所成角相等，设 DO 丄平面ACACD1，由等体积法得11VD ACDVD1ACD，即3S.ACD1DO =3 S.AcDDD1.DD1=a，SACDl=1 AC AD1sin60SA C

10、D-DD_SA C1D.3匚3 a,记DD1与平面1*ODOACACDi所成角为sinDD1呼所以COS36ACD1BiAiD1CB即x4-(y)x2- y=0，由x2是实数，所以鬥-(1 y)2-4 1 (-y) - 0,y26y 1 - 0,解得y一-3 - 2.2或y一-3 2.2.故(PAPB)min- -3 2 2.此时x所成角，cos/OQDj二OQOD1=1/1(10)设a =log32,b = In2,c = 5则(A) a : b : c (B) b：c : a (C) c : a b (D) c : b：a10.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数

11、函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用1 1【解析 1 】a=log32=, b=In2=,而log23 log2e 1,所以 ab,log23log2e丄1c=52=,而.52 = log24 log23所以 ca,综上 cab.V5【解11e 3a=log32=3,b=ln2=-,1：log2: log2：2,1c=521cab2(11)已知圆O的半径为 1，PA PB 为该圆的两条切线，AB 为两切点，那么PAPB的最小值为(A)-42(B)-3、2(C)-4 2.2(D)-3 2 211.D【命题意图】法一一判别式法本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定

12、理，着重考查最值的求,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力2aaiB*aaa a* .!(u 1【解析 2】设.APBQ二，PAPB二PA PBco*二1/ta门cox2 * 2一【解析 3】建系：园的方程为x y,设A(,y1), B(x1y1),P(x0,Q),2 2 2PAPB-心 花XQ, -i=X1-2x1x0XQy122AO PA= 0% N -XQ, % i=Q= X1-XQ讨1=Q= XQ=1 222 22工222jPAPB二x-i-2x1x0 xQ- y-i=为-2 xQ- 1- 捲=2为xQ-3 _ 2 . 2 - 3(12)已知在半径为取大值为2 的球面上

13、有 A、B C、D 四点，若 AB=CD=2 则四面体 ABCD 勺体积的2运(A)(B)心(C)2 3(D)8.333312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力【解析】过 CD 作平面 PCD 使 AB 丄平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有V四面体ABCD二1212 h=?h,当直径通过 AB 与 CD 的中点时，hmaxr2.22-122.3,故323注意事项：2二cos 2.2二sin -21 2si n2?I 2丿1-si n21 -2si n22.丿2 .sin

14、 -2换元：x = sT-*221 -x 1 -2xPAPB2x1-3 _2.2一3x321答题前，考生先在答题卡上用直径Q.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第n卷共 2 页，请用直径 Q.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3.第n卷共 10 小题，共 90 分。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上.(注意：在试题卷上作答无效 )x _2(13)不等式 r0的解集是x +3x +213. lx-2 x2【命题意图】本小题主要考查不等

15、式及其解法得：x_2cxv1,或x23(14)已知为第二象限的角，sina,则tan 2二.52414.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的7正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能34sin a【解析】因为 二为第二象限的角，又si n=-，所以cos=-一，tan=55cosa(15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选程中各至少选一门，则不同的选法共有 _种.(用数字作答)15.A A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想. .【解析 1】：可分以下 2 2 种情况:(1

16、)A:(1)A 类选修课选 1 1 门,B,B 类选修课选 2 2 门，有C；C：种不同的选法;(2)A;(2)A 类选修课选 2 2 门,B,B 类选修课选 1 1 门, ,有C：C4种不 同的选法所以不同的选法共有cfci+ +cfc18 + 12 =30种. .【解析 2 】:C；-C；-C：=30(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且uuuirBF二2FD，贝V C的离心率为._16.3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，【解x -22x 3x 2x2 0= x -2 x 2 x 0，数轴标根所tan（2

17、：）2ta n :1 -tan2：243 门，若要求两类课3考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 .【解析 1】如图，| BF |= . bcSa,uur unr作DU _ y轴于点 Di,则由BF =2FD，得1OF1.LBLL2,所以si箝OF|2,|DD1| |BD| 3226 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效）记等差数列1a的前n项和为Sn，设S3= 12，且2印代，&3 1成等比数列，求Sn.（18）（本小题满分 12

18、 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知VABC的内角A,B及其对边a,b满足a a cot A b cot B，求内角C（19）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效 ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3 .各专家独立评审.（I）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；x3C，由椭圆的第二定义得2a23c3c2

19、|FDr訂七又由|BF| =2|FD |,得a =2a3c2、3，二e二【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式2 2x V2=1，设D X2,V2，F 分 BD 所成的比为 2,a b0 2x2- -1 2 b 2y2V23yc- b 3 0 - b2一2代入94 a24 b21,三解答题：本大题共（II） 求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率.(20)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效 )女口图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 丄底面 ABCD AB/DC, AD 丄 DC, AB=AD=1 DC=SD=2 E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC_平面 SB

20、C .(I)证明：SE=2EB(H)求二面角 A-DE-C 的大小(21)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数f (x) =3ax4-2(3a 1)x24x1(I )当a时，求f (x)的极值；6(Il )若f (x)在-1,1上是增函数，求a的取值范围(22)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知抛物线C:y2=4x的焦点为 F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,500点 A 关于X轴的对称点为 D .(I)证明：点F在直线BD上；(n)设FA_FB二一，求:BDK的内切圆M的方程三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(1

21、7) 解:(1)由am=ai+ (n-1) d 及 ai=5，Ow=9 得ai+2d=5-ai+9d=-9解得 ai=9数列am的通项公式为 an=11-2n2因为 Sm=(n-5) +25.所以 n=5 时，Sm 取得最大值。(18)解:(1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。所以 AC 丄 PH 又 ACL BD,PH,BD 都在平面 PHD 内,且 PHP BD=H.所以 ACL平面 PBD故平面 PAC 平面 PBDn(n-1)2(2)由(1) 知 Sm=nai+ ?d=10n-n(2)因为 ABCD 为等腰梯形，AB - CD,AC BD,AB= .6 6.所以 HA=HB=

22、 ,3.因为 APB= ADR=60所以 PA=PB= ,6,HD=HC=1.可得 PH.3.等腰梯形 ABCD 的面积为 S= AC x BD = 2+7373.9 分所以四棱锥的体积为 V=x.12 分3 33 3(19)解：(1)调查的 500 位老年人中有 70位需要志愿者提供帮助，因此该地区 老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为卫=14%.4分5002500 (40 270 -30 160)(2)k200 300 70 430由于9.967 . 6.635所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关8分(3)由于(2)的结论知，该地区的 老年人是否需要帮助与性别

23、有关，并 且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显 差异,因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男，女两 层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好(20) 解：(1)由椭圆定义知AF2+亡応一又2 AB二AF、得AB一223L 的方程式为 y=x+c,其中 c= . 1-b2设 A,(x1,y1),B(x1,y1)则 A,B 两点坐标满足方程组一 y=x+cx2+b =12 2 2化简得(1+b )x +2cx+1-2b =0-2c1-2b2贝UX1+X2=1+b2.X1X2=+b2(2)4.2 1x2 x13(21)解：1rx1(I)a二一时，f(x)=x(e -1) x2 2x 三 i , T 时f (x);当 x 三 i 1,0 时，f (x)：0;当 i0,：时，f (x)0。故f(x)在-:：,-1 ,0：单调增加，在(-1, 0)单调减少。(n) f (x) =x(xa1 _ax)。令 g(x) = xa1 _ ax，贝 U g(x) =ex_ a。若a