2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理数

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理数 、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的. 1. （ 5 分）设集合 A=x| - 2冷, Z 为整数集，则 A AZ 中元素的个数是（ ） A . 3 B. 4 C. 5 D. 6 6 4 2. （ 5 分）设 i 为虚数单位，则（x+i）的展开式中含 x 的项为（ ） 4 4 4 4 A . - 15x B . 15x C. - 20ix D . 20ix 3. （5 分）（2016?自贡校级模拟）为了得到函数 y=sin（ 2x - ）的图象，只需把函数 y=s

2、in2x 的图象上所有的点（ ） A .向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 3 3 C.向左平行移动二个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 6 6 4. （ 5 分）用数字 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 5. （ 5分）（2016?四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ） （参考数据:Ig1.12=0

3、.05, Ig1.3=0.11 , Ig2=0.30） A . 2018 年 B . 2019 年 C . 2020 年 D . 2021 年 6. （ 5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数 书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框 图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n, x 的值分别为 3, 2,则输出 v 的值为（ ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 35 （yx - 1 7. （ 5 分）设 p：实数 x, y 满足（x- 1） 2+ （y - 1） 2 0）上任意一点，M 是

4、线段 PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线 0M 的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 3 3 2 P2 处的切线，11 与 12 垂直相交于点 P,且 11, 12 分别与 y 轴相交于点 A , B，则 PAB 的面 积的取值范围是（ ） A. （0, 1） B. （0, 2） C. （ 0, +1 D. （1, + 10 . （5 分）在平面内，定点 A ,B,C,D 满足丄|= 1:：|=匚二| ,卫？1 =1 ?丨=1 ?（= b 2 -2，动点P, M满足=1, -v=r.,则 r【T2的最大值是（ ） 二；B :，1 4 . 4 二、填空题：本大题共 5 小题

5、，每小题 5 分，共 25 分. 9 71 7T 11 . （5 分）（2013 秋？南开区期末） = _ . o o 12 . （ 5 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验 成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 _ . 13 . （ 5 分）已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示, 则该三棱锥的体积是 _ . V 14 . （ 5 分）已知函数 f （x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0V XV 1 时，f （x） =4 , 则 f （- ） +f （ 1）= . 2 - 9. （ 5 分）（201

6、6?四川）设直线 11, 12 分别是函（x） = 丄图象上点 P1, 正视團 所构成的曲线 C 定义为曲线 C 的伴随曲线”.现有下列命题： 若点 A 的伴随点堤点 A ，则点 A 的伴随点”是点 A ; 单位圆的伴随曲线”是它自身； 若曲线 C 关于 x轴对称，则其 伴随曲线”C 关于 y 轴对称; 一条直线的 伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是 _ （写出所有真命题的序列）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居 民生活用水收费方案，拟确定一个合理

7、的月用水量标准 x （吨），一位居民的月用水量不超 过 x的部分按平价收费， 超出 x的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获 得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0, 0.5）, 0.5 , 1）, 4 , 4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. SIS 月均用月均用水量（吨）水量（吨） （I）求直方图中 a 的值； （n）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 （川）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 明理由. 17. (12 分)(2016?四川)在 ABC 中，角 A , B, C 所对的边分别是

8、 a, b, c,且 cosA cosB sinC + =一 a b c (I)证明：sinAsinB=sinC ; (n)若 b2+c2 a2= bc,求 tanB. 5 18. （12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD / BC , / ADC= / PAB=90 BC=CD=pAD . E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 15. （5 分）在平面直角坐标系中, 当 P （x, y）不是原点时， 定义 P 的伴随点”为 P（ P 是原点时，定义 P 的伴随点为它自身，平面曲线 C 上所有点的伴随点 0.52 * *组距组距 0.40 6284628

9、4 1L 1L lxlx o.0.o.0.0.0.c c3 吨的人数，并说明理由； x （吨），估计 x 的值，并说 当 （I）在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM /平面 PBE，并说明理由； （n）若二面角 P-CD - A 的大小为 45求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值. 19. (12 分)已知数列an的首项为 1, Sn为数列an的前 n项和，Sn+仁 qSn+1，其中 q 0, nN (I)若 2a2, a3, a2+2 成等差数列，求 an的通项公式； 2 氐 An - (n)设双曲线 x -r=1 的离心率为 环，且 e2=，证明：ei+e2+?+en -

10、- 小 3 3旷】 n 200, 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理数 参考答案与试题解析 一、选择题 1. C 【分析】由 A 与 Z,求出两集合的交集，即可作出判断. 【解答】解： A=x| - 2 纟, Z 为整数集， A nz= - 2, - 1 , 0, 1 , 2, 则 A nz 中元素的个数是 5, 故选：C. 2. A 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案. 【解答】解：(x+i) 6的展开式中含 x4的项为-x4?i2=- 15X4, 故选：A. 3. D 【分析】由条件根据函数 y=Asin ( 3X+ Q的图象变换规律，可得结论. 【解答】解：把

11、函数 y=sin2x的图象向右平移 个单位长度，可得函数 y=sin2 (x - 一) =sin 6 6 (2x -=)的图象， 3 故选：D. 4. D 【分析】用 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填 5 个空，要求个位是 奇数，其它位置无条件限制， 因此先从 3 个奇数中任选 1 个填入，其它 4 个数在 4 个位置上 全排列即可. 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 1, 3, 5 中的一个数，共有 3 种排法， 然后还剩 4 个数，剩余的 4 个数可以在十位到万位 4 个位置上全排列，共有 厂=24 种排法. 由分步乘法计数原理得，由 1、2、

12、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 3X24=72 个. 故选：D. 5. B 【分析】设第 n年开始超过 200 万元，可得 130 X( 1 + 12%) n-2015 200,两边取对数即可 得出. (n-2015) Ig1.12 Ig2 - Ig1.3, n- 2015 【解答】解：设第 则 130X (1+12%) n年开始超过 200 万元, n-2015 化为: =3.8. 200, 取 n=2019. 因此开始超过 200 万元的年份是 2019 年. 故选：B. 6. B 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i, v 的值，当 i= - 1 时，

13、不 满足条件 i 为，跳出循环，输出 v 的值为 18. 【解答】解：初始值 n=3 , x=2，程序运行过程如下表所示： v=1 i=2 v=1 2+2=4 i=1 v=4 2+1=9 i=0 v=9 2+0=18 i= - 1 跳出循环，输出 v 的值为 18. 故选：B. 7. A 【分析】画出 p, q 表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案. 【解答】解：（X- 1） 2+ （y- 1） %2 表示以（1 , 1）为圆心，以 为半径的圆内区域（包 括边界）； - 1 满足1 - K 的可行域如图有阴影部分所示， 故 p 是 q 的必要不充分条件, 故选：A & C

14、【分析】由题意可得 F （卫，0）,设 P （孕，yo）,要求 心皿的最大值，设 yo0，运用向 2 2p 2 量的加减运算可得 r= +二三=（丄+，），再由直线的斜率公式， 结合基本不等式， 3 3 3 3 可得最大值. 2 【解答】解：由题意可得 F （卫，0）,设 P （十一，y0）, 2 2p 显然当 yv 0, koM v 0 ;当 y0 0, koM 0. 要求 koM的最大值，设 y0 0, 则卩 U 丨 + .U 丨 + .卜=|+ ( H- I-) 3 3 竺 可得 koM= = =, ：；/ 6p 3 P V P y0 当且仅当 yo2=2p2，取得等号. 故选：C. 9

15、. A 【分析】设出点 Pl , P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 11与 12的斜率，由两 直线垂直求得 Pi, P2的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得 A，B 两 点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得 P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用 基本不等式求得 PAB 的面积的取值范围. 【解答】解：设 Pi (xi, yi), P2 (x2, y2)(0 xiv 1v x2), 当 0 x i 时，f( x)= K X li的斜率,.,12的斜率.一 1 K1 2 K2 .|i 与 l2 垂直，且 X2 xi 0 , T - 1 1 一 I，即卩

16、 xix2=i . 1 切七 直线 li : , 12： T二 I ， ，:, . x! 1 i 七 取 x=0 分别得到 A (0, i - Inxi) , B (0,- i+lnx2), |AB|=|i - lnxi -( - i+lnx2)|=|2( lnxi+lnx2)|=|2 - lnXix2|=2. 2 x x 联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= , 函数 y=x+-在(0, i)上为减函数，且 0 xi i, 2 +, 1 1 2 的叶：i i：-=：i|,._ PAB 的面积的取值范围是(0, i). 故选：A. 10. B 【分析】由 丘十丨二 二丘|,可得 D A

17、BC 的外心，又 乍？ |.= |.?=？,-, 可得可得 D为厶ABC的垂心，贝U D为厶ABC 的中心，即 ABC 为正三角形.运用向量的 数量积定义可得 ABC 的边长，以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x轴建立直角坐标系 xOy , 求得 B , C 的坐标，再设 P (cosB, sin B) , (0W殳 2 n),由中点坐标公式可得 M 的坐标，运 用两点的距离公式可得 BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域， 即可得到最大值. 【解答】解：由 匚|= 云|= 丘|,可得 D ABC 的外心, 又)？= I.? :,= :? J 匚可得 ? C 85%;

18、则 x=2.5+0.5 X-儿 =2.9 吨 0.3X0. 5 17. 【分析】(I)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证 明. (n)由余弦定理求出 A 的余弦函数值，利用(I)的条件，求解 B 的正切函数值即可. 【解答】(I)证明：在 ABC 中，-2三+_旦亠 b c sinAsinB / sin (A+B ) =sinC . 整理可得：sinAsinB=sinC , (n)解：b2+c2 - a2= bc,由余弦定理可得 5 .A 4 cosA 3 sin A=, = 5 sinA 4 二 + =1, = sinA sinB sinC sinB 4 ta

19、nB=4. 18. 【分析】(I)延长 AB 交直线 CD 于点 M,由点 E 为 AD 的中点，可得 AE=ED= AD，由 2 BC=CD= AD，可得 ED=BC，已知 ED / BC .可得四边形 BCDE 为平行四边形，即 EB / CD .利 a 由正弦定理得： 二 sinAsi cosA=. 5 用线面平行的判定定理证明得直线 CM /平面 PBE 即可. (II )如图所示，由/ ADC= / PAB=90 异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90AB ACD=M , 可得 AP 丄平面 ABCD .由 CD 丄 PD, PA 丄 AD .因此/ PDA 是二面角 P- CD

20、 - A 的平面角， 大小为 45 PA=AD .不妨设 AD=2 ,则 BC=CD=AD=1 .可得 P (0, 0, 2) , E (0, 1 , 0), 2 C (- 1 , 2, 0),利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出. 【解答】解：(I)延长 AB 交直线 CD 于点M,T点 E 为 AD 的中点， AE=ED= AD , 匕 BC=CD= AD , ED=BC , 2 AD / BC,即卩 ED / BC .二四边形 BCDE 为平行四边形，即 EB / CD . / AB ACD=M , M CD , CM / BE, / BE?平面 PBE, CM /平面

21、 PBE, / M AB , AB?平面 PAB, M 平面 PAB，故在平面 PAB 内可以找到一点 M( M=AB PCD)，使得直线 CM /平面 PBE . (II )如图所示，I/ ADC= / PAB=90 异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 , AB PCD=M , AP 丄平面 ABCD . CD 丄 PD, PA 丄 AD . 因此/ PDA 是二面角 P- CD - A 的平面角，大小为 45 . PA=AD . 不妨设 AD=2，贝U BC=CD= AD=1 . P ( 0, 0, 2), E (0 , 1 , 0) , C (- 1 , 2 , 0), 2 X=

22、 (- 1 , 1 , 0), n PE=0 y - 设平面 PCE 的法向量为n= (x , y , z),贝 X 二 ，可得： kn-EC=0 1一乂+尸0 令 y=2,则 x=2, z=1，产(2 , 2 , 1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为0 , 则sin日=c=亡十= / 19. 【分析】(I)由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列 an为首项等于 1、公比为 q 的等比数列，再根据 2a2 , a3 , a2+2 成等差数列求得公比 q 的值，可得an的通项公式. (H)利用双曲线的定义和简单性质求得 en=* .-,根据 e2=.订，求得 q 的值， _ &

23、; HT 可得an的解析式，再利用放缩法可得 ,从而证得不等式成立. 【解答】解:(I) T Sn+1=qSn+1，当 n呈时,Sn=qSn- 1 + 1,两式相加你可得 an+1=q?an , 即从第二项开始，数列an为等比数列，公比为 q.W= ( 0 , 1 , - 2), . = (0 , 0 , 2), 当 n=1 时，数列an的首项为 1 ,. ai+a2=S2=q?ai+1，二 a2=q=ai?q, 二数列an为等比数列，公比为 q 2a2, a3, a2+2 成等差数列， 2q+q+2=2q 2，求得 q=2，或 q=-_ 2 根据 q 0,故取 q=2, an=2nT, nN

24、 . (n)证明：设双曲线 x2-二=1 的离心率为 en, 2 由 b =3，解得 x=2，则 y= - x+3=1，所以点 T 的坐标为(2, 1); 由于数列an为首项等于 1、公比为 q 的等比数列, -ei+e2+?+en 1+ + = = ，原不等式得证. 3 3 3 1 -1 3n_1 3 20. 【分析】(I)根据椭圆的短轴端点 C 与左右焦点 F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线 I 与椭圆 E 只有一个交点， 利用判别式 =0,即可求出椭圆 E 的方程和点 T 的坐标； (n)设出点 P 的坐标，根据I/ OT 写出 I的参数方程，代人椭圆 E 的方程中，整理得出 方程，

25、 再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PTf= ”PA|?|PB|求出入的值. 【解答】解：(I)设短轴一端点为 C (0, b),左右焦点分别为 F1 (- c, 0), F2 (c, 0), 其中 c 0, 2 2 2 则 c +b =a ; 由题意， F1F2C 为直角三角形， _ = i. r+仁解得 b=c= p 2 椭圆 E 的方程为丄+.=1 ; 2 2 代人直线 l: y= - x+3，可得 3x2- 12x+18 - 2b2=0 , 又直线 I与椭圆 E 只有一个交点，则 =122 - 4 3 (18 -2b2) =0，解得 b2=3, 2 2 椭圆

26、E 的方程为+=1 ; 6 3 (n)设 P (xo, 3 - xo)在 I 上，由 k T=, I 平行 OT , 2 st 二 x +21 得 I的参数方程为* 0 , 尸3+t 代人椭圆 E 中，得”古；2 i -=6, 整理得 2t2+4t+ , - 4x0+4=0 ； A0 1 7料 T 【解答】解：(I)由题意，f(x) =2ax-= ,x0, 2 当 aO 时，2ax - 1 切，f (x)切，f (x)在(0, 设两根为 tA, tB,则有 tA?tB= 二 U 2 2 而 |PT| = 升-2 : 2 - V. - . :=2 .:：，, -I . - , 1 ； 一 5 1 : ： =| tA|， |PB|=-宀 rt 2 且 |PT| =”PA|?|PB|, =| ltB|， J% 询? 4 网讪号(廿2) 2飞， 即存在满足题意的 入值. 21. 【分析】(I)利用导数的运算法则得出 f( x),通过对 元二次不等式的关系即可判断出其单调性； =f (x)-+e1 x=ax2 - lnx - +e1 x - a 分类讨论，利用一元二次方程与 a,可得 g (1) =0,从而 g( 1)为, 大于 0,即 F (x)在由 F (x) F (1) =2a- 1 为，可得 g (x)也 g (