2010-2019高考数学真题分类汇编第42讲不等式选讲

1、专题十六不等式选讲 第四十二讲 不等式选讲 2019 2019 年 1. (2019全国I理23)选修4 5:不等式选讲(10分) 已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明： 111 2 2 2 (1) a b c ； a b c (2) (a b)3 (b c)3 (c a)3 _24. 2. (2019全国II理23)选修4-5 :不等式选讲(10分) 已知 f (x) =|x a |x |x -2|(x a). (1 )当a =1时，求不等式f(x) : 0的解集； (2)若(-：,1)时，f(x) ：0，求a的取值范围. 3. (2019全国III理23)选修4-5:不等式选

2、讲(10分) 设 x,y,z R，且 x y z =1. (1 )求(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2 的最小值； (2 2)若(x-2)2 (y-1)2 (z-a)2 一1 成立，证明：a 岂-3或 a -1. 3 2010-2018 年 解答题 1. (2018全国卷I )选修4 5 不等式选讲(10分) 已知 f (x) =|x 1| -|ax-1|. (1)当a=1时，求不等式f(x)的解集； 若(0,1)时不等式f(x)成立，求a的取值范围. 2. (2018全国卷n )选修4 5:不等式选讲(10分) 设函数 f(x) =5 -|x a| -|x -2|. (1)当a=1时

3、，求不等式f (x) 0的解集； 若f (x) 1，求a的取值范围. 3. (2018全国卷川)选修45:不等式选讲(10分) 设函数 f (x) =|2x 1| |x_1| . (1) 画出y二f (x)的图像； (2) 当 x 0, ：)时，f (x) g(x)的解集； (2) 若不等式f(x) g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围. 6. (2017 新课标 n)已知 a 0 , b 0 , a3 b2，证明： (1) (a b)(a5 b5) 4 ； a b 1的解集； 2 (2) 若不等式f (x) x -x m的解集非空，求 m的取值范围. 2 2 2 2 & (20

4、17 江苏)已知 a , b , c, d 为实数，且 a b =4 , c d =16, 证明 ac bd 8. 9.( 2016年全国I高考)已知函数 f (x) =|x1| -|2x-3| . (I)在图中画出y = f (x)的图像； (II )求不等式| f (x)| .1的解集. 厂 1 丄 .L X 1 1 10. (2016年全国II)已知函数f (x)=x2 +x+? , M为不等式f(x) 3，求a的取值范围. 12. (2015 新课标 1)已知函数 f (x)鬥 x 1| -2| x -a |, a 0. (I)当a =1时，求不等式f(x) 1的解集； (n)若f(x

5、)的图像与x轴围成的三角形面积大于 6,求a的取值范围. 13. (2015新课标2)设a, b, c, d均为正数，且a c d，证明： (I)若 ab cd，a b 一 c d ； (n) .d 是| a -b|：|c -d | 的充要条件. 1 1 14. (2014 新课标 1)若 a 0,b 0，且 ab . a b 3 3 (i )求a b的最小值； (n)是否存在a,b，使得2a 3b=6 ?并说明理由. 15. (2014 新课标 2)设函数 f (x)= x+占+|x a|(a0) (i)证明：f X 2; (n)若f 3 ： 5,求a的取值范围. (2013 新课标 1)已

6、知函数 f (x) =|2x -1| |2x a |, g(x) = x 3. (i)当a=-2时，求不等式f (x) v g(x)的解集; a 1 (n)设a -1,且当x ,)时，f (x) 0 . (i)当ah时，求不等式f(x) _3x 2的解集； (n)若不等式 f(x)岂0的解集为：x|x_-1 f ,求a的值. 专题十六不等式选讲 第四十二讲 不等式选讲 16. 17. 18. (2012新课标)已知函数 f (x) =|x a| |x-2| . (i)当a二-3|时，求不等式 f (x)3的解集; 答案部分 2019 2019 年 2 2 2 2 2 2 1解析(1)因为 a

7、b _2ab,b c _2bc,c a _2ac,又 abc=1，故有 222 ab bc ca 1 1 1 a b c ab bc ca abc a b c 所以 1 1 1 _ a2 b2 c2. abc (2)因为a, b, c为正数且abc = 1，故有 (a b)3 (b c)3 (c a)3 _33 (a b)3(b c)3(a c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) _3 (. ab) (2、佐)(2、.0c) =24. 所以(a b)3 (b c)3 (c a)3 _ 24. 2 解析(1 )当 a=1 时，f(x)=|x-1| x+|x2|(x1). 当 x ：1 时，f

8、(x)=2(x-1) : 0 ； 当 x_1 时，f(x)_O. 所以，不等式f (x) 0的解集为(_二,1). (2)因为 f (a)=0，所以 a _ 1. 当 a_1， x(Y，,1)时，f(x)=(a-x) x+(2-x)(xa)=2( ax)(x-1)0 所以，a的取值范围是1：). 2 3 解析(1)由于(x T) (y 1) (z 1) 2 2 2 =(x -1) (y 1) (z 1) 2(x1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x1) 3 (x-1)2 (y 1)2 (z 1)2 , 故由已知得(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2 _4 , 5 1 1 当

9、且仅当x=, y=- , z 时等号成立. 3 3 3 所以(x-1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值为4 . = (x2)2 (y1)2 (za)2 2(x2)(y1) (y1)(z a) (z a)(x 2) 3 (x2)2 (y 一1)2 (z a)2 , 故由已知(x2)2 (y-1)2 (z a)2 2 2 2 因此(x-2) (y -1) (z-a)的最小值为 20102010- -2018 2018 年 -2,x 1. 故不等式f(x) 1的解集为x|x -. 2 当(0,1)时|x 1|-|ax-1| X成立等价于当(0,1)时|ax-1|：1成立. 若 a 0,则当 x

10、 (0,1)时 |ax-1|1 ； 2 2 若 a 0 , | ax ： 1 的解集为 0 ： x ，所以一1，故 0：a w 2 . a a 综上，a的取值范围为(0,2. 2x 4,x 0的解集为x| -2 w x w 3. (2) f (x) w 1 等价于 |x a | | x -2p 4 . 而|x a| |2|a 2|，且当x=2时等号成立.故f () w1等价于|a 2| 4 .当且仅当 4 a 1 a ，“， z22时等号成立. 3 由题设知 (2 a)2 3 -，解得a, -3或a-1. 3 (2 a)2 3 (2 a)2 3 由|a 2| 4可得a 2，所以a的取值范围是(

11、-：，-6U 2,二) 1 3x3x, , X X , , 2 1 3. 【解析】 f(x)=x+2，三x 1. y =f (x)的图像如图所示. 值为3，故当且仅当a 3且b 2时，f (x) (x 2y 2z)2 . 因为 x 2y 2z=6，所以 x2 y2 z2 4 , 当且仅当-时，不等式取等号，此时 x =- , y = , z = 4 , 1 2 2 3 3 3 所以x2 y2 z2的最小值为4. 5. 【解析】(1)当a =1时，不等式f(x) g(x)等价于 2 x -x |x 1| |x-1| -4 0 . 当x ： T 时，式化为x2 -3x-4 0，无解； 由知，y二f

12、 当-K x 1时，式化为X2-X-2 0，从而-K x 1 ； 当x 1时，式化为x2 x - 4 g(x)的解集为x | -1 ： x w 一 . 2 (2) 当 x 一1,1时，g(x) =2 . 所以f (x) g(x)的解集包含-1,1，等价于当一1,1时f (x) 2 . 又f (x)在-1,1的最小值必为f (-1)与f (1)之一， 所以 f(-1) 2 且 f (1) 2，得-1 4 (2)v (a b)3 二 a3 3a2b 3ab2 b3 二 2 3ab(a b) 2 w 2 3(a b) 4 所以(a b)3 w 8，因此 a b w 2 . -3, x ： -1 7.

13、【解析】(1) f(x) =22x-1,-1 w x w 2 , 3, x2 当X ： -1时，f x 1无解； =2 3(a b)3 4 (a b) 当-1 w x w 2 时，由 f x 1 得，2x-11，解得 1 w x w 2 当x2时，由f x 1解得x2 . 所以f x 1的解集为：x x 仁. 2 2 (2)由 f (x ) x x + m得 m x+1 x2 x +x，而 2 2 x+1 -x-2 -x +x x+1+x -2-x +|x| 3 2 5 且当 xp 时，|x x-2-x +x=N . (51 故 m 的取值范围为 i-：，-. I 4 8【解析】证明：由柯西不

14、等式可得: 因为 a2 b2 =4,c2 d2 =16, 所以(ac bd)2 64 - 因此 ac bd 8. 9.【解析】(1)如图所示： A f 1 1 6 1 r X f 1 r / / 3 :x ： 2 3 4X - x 三一 . 2 当 x W -1 - x -4 1，解得 x 5 或 x 3 - / x W -1 . r 3 =- x 2 +5 5 4 4 (ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2)- 1 3x -2 1，解得 x 1 或 x :- 3 _1 ：X ：-或 1 ：X :：3 , 3 2 1，解得 x 5 或 x ：3，二 3 x ：:3 或 X 5 , 2 1

15、 综上，x 或 1 ： x ：3 或 x 5 , 3 10.【解析】(I)当 X：时，f x J-x-x=_2x，若 _1：x：_； 2 y f 2 2 2 1 1 1 1 三x x 时，f xf x - -x xx x 222 2恒成立; 1 1 当 x 时，f x = 2x，若 f x :： 2 , (a +b ), 即 a - ；： |ab 1 , 证毕. 11.【解析】(I)当 a =2时，f(x)=|2x-2|2 解不等式|2x-2|，2, 6，得-1 剟 x 3. 因此，f(x)乞6的解集为x|-1 剟 x 3. (n)当 x R时，f (x) g(x) =|2x -a | a |

16、1 -2x | 1 |2xa +1 2x|+a =|1 a|+a，当 x = 时等号成立， 所以当xR时，f(x)，g(x)3等价于|1-aa3. 当a, 1时，等价于1 -a a3，无解. 当a 1时，等价于a -1 a3，解得a2. 所以a的取值范围是2, 12.【解析】(I)当a=1时，不等式f(x) 1化为|x 1| -2|1| -1 0 , x i，解集为！ 一二， U 1，3 u 5，二 当x 1时，不等式化为x 2 . 0，解得1 x ： 2 . 所以f(x) 1的解集为x|- x ：2 3 fx -1 - 2a,x ： -1 =23x T - 2a, -1 w x cd , 于

17、是(a -b)2 二(a b)2 -4ab : (c d )2 -4cd 二(c-d )2. 因此 |a_b| ：|c_d|, 综上、a . b 、c 、d是| a -b卜：| c -d |的充要条件. (U)有题设可得，f(x) 的三角形的三个顶点分别为 1 1 2 14.解析】(I)由 ab ，得ab_2，且当a =b2时取等号. a b Vab 故 a3 b2. a3b3 _4,2，且当 a =b 二.2 时取等号. 所以a3 b3的最小值为4.2 . (II )由(I)知，2a - 3b _2、6.丽 一4. 3 .由于 4、3 . 6，从而不存在 a,b , 使得 2a 3b =6

18、. 1 1 1 15.【解析】(1)由a 0，有f (x)= X + + x x +_ _(x_a) =+a 工2 a a a 所以 f (X) 2. 1 (n) f(3) = 3 + a + 3 a 1 5 + 当时 a 3 时，f (3) = a ，由 f (3) v 5 得 3v a v a 2 1 1 . 5 当 0v a W 3 时，f(3) = 6-a ，由 f(3) v 5 得 一v a 3. a 2 i+亦 5+721、 综上，a的取值范围是( ， ). 2 2 16.【解析】(I)当 a=-2 时，不等式 f (x) v g(x)化为 |2x-1| |2x-2|-x-3：0.

19、 1 _5x, x 2 1 设函数 y = |2x-1| |2x-2|-x-3, y = -x-2, x1 , 2 3x-6, x A1 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 x (0,2)时，y v 0, 原不等式解集是x|0：x ：2. a i 当x c匕，3)时，f(x) = 1a，不等式f(x)黑g(x)化为1a = x 3， a 1 a 4 xa - 2对x ,)都成立，故 a2，即a w 2 2 2 3 4 a的取值范围为(1, 4. 3 2 2 2 2 2 2 17.【解析】(I) a b _2ab,b c -2bc, c a - 2ca 得 2 2 2 a b c _ ab bc ca