傅里叶光学函数正交展开和级数PPT学习教案

1、会计学1傅里叶光学函数正交展开和级数傅里叶光学函数正交展开和级数12,nx xx 1 122nnrc xc xc x10mnmnmnxxmn,1(1)ix inn维空间n个单位正交构成的正交坐标系第1页/共45页展开系数 的求法：两边同乘1 122nnrc xc xc xkx1 122kkkkkknnkkr xc x xc x xc x xc x xc kkcr x 即：220nmnnmnNmnxxNmn22kkkkkkr xr xc NcN nc非单位矢量第2页/共45页（二）函数（信号）空间1、设有无穷个正交函数 构成函数空间12( ),( ),( ),nP x P xP x1 122(

2、)( )( )( )nng xc P xc P xc P x1( )nnnc P x( ),1(1)iP x i 2122( )( ) ( )0 xnmnnmnxNmnP x P xx dxNmn正交函数第3页/共45页( ) ( )kP xx21( )( ) ( )xkxg x P xx dx2211( )( ) ( )( )( ) ( )xxkkknnkxxc P x P xx dxc P x P xx dx展开系数 的求法：nc22111122( )( ) ( )( )( ) ( )xxkkxxc P x P xx dxc P x P xx dx2kkc N两边同乘 积分2121( )(

3、 )( )xkkxkcg x Pxx dxN21kN 若 ，称正交归一化空间和正交归一化坐标系。第4页/共45页1 122( )( )( )( )nng xc P xc P xc P x2122( )( ) ( )0 xnmnnmnxNmnP x P xx dxNmn2121( )( )( )xkkxkcg x Pxx dxN2、若正交函数为复函数正交性第5页/共45页（三）常用正交函数坐标系第6页/共45页（一）周期函数( )()f xf x Tsin( )sin(2 )xxcos( )cos(2 )xx第7页/共45页0122cos()cos()cos()2nanaxaxaxTTT122s

4、in()sin()sin()nnbxbxbxTTT（二）三角级数1.定义：01cos()sin()2nnnannaxbxTT0na 0nb 若 ，为正弦级数；若 ，为余弦级数。（只有周期函数能用三角级数展开）第8页/共45页11cos()cos()0TTmnmnxx dxmnTTT11sin()sin()0TTmnmnxx dxmnTTT1sin()cos()0TTmnxx dxTTT（1）周期性2T（2）三角函数正交性第9页/共45页1、f(x)是周期为2T的函数01( )cos()sin()2nnnannfxaxbxTT0ananb011( )cos_2TTTTTTnf x dxa dxd

5、x01()TTafx dxT（1） 的计算：2、系数 为各成分占得比重、计算0a第10页/共45页nanb（2） 的计算：利用正交函数的性质01:( )cos()1cos()cos()cos()2TnTTTnTTnmaf xx dxTmnmax dxaxx dxTTT1sin() cos()TnTnnmbxx dxTTma T()mn1( )cos()TnTnaf xx dxTT第11页/共45页01:( )sin()1sin()cos()sin()2TnTTTnTTnmbf xx dxTmnmax dxaxx dxTTT1sin()sin()TnTnnmbxx dxTTmb T()mn1(

6、)sin()TnTnbf xx dxTT第12页/共45页1.周期函数的积分性质设周期函数f(x)的周期为2T，则在长为2T的任意区间上的定积分都相等。220( )( )( )TTTTf x dxf x dxf x dx2Tf(x)x(1)图形分析第13页/共45页202( )( )TTf x dxf x dx( )(2 )(2 )f xf xTf xT2uxT(2 )( )f xTf u( )(2 )( )f xf xTf u(2)证明令22022( )(2 )( )TTTTf xdxf uT duf udu22222220022TTTTTTTTTT 20TTT令第14页/共45页2. 函数

7、的奇偶性（1）奇 偶( )()oofxfx ( )()eefxfx1( )sin()onnnfxbxT1( )cos()ennnfxaxT（2）若周期函数为奇函数，其傅氏展开只包含正弦项若周期函数为偶函数，其傅氏展开只包含余弦项第15页/共45页()()()( )( )oeoefxfxfxfxfx 1( ) ( )()2ofxf xfx1( ) ( )()2efxf xfx若非奇非偶，( )( )( )oef xfxfx第16页/共45页3.奇偶函数的对称积分(积分限相对于原点是对称的)（1）奇函数的对称积分为零。( )0aoafx dx00aaaa( )()000( )()() ()oofx

8、fxoooaaafx dxfx dxfx dx00( )( )aaf x dxf x dx 令x =-x（a不一定是周期）第17页/共45页（2）偶函数的对称积分等于正限积分的二倍0( )2( )aaeeaf x dxf x dx0002aaaaa( )()000( )() ()eefxfxaeeaafx dxfx dx第18页/共45页（3）n个奇函数的代数和仍为奇函数12()()()()ooonFxfxfxfx12()()()ooonfxfxfx 12()()()()ooonfxfxfxFx （4）n个偶函数的代数和仍为偶函数12( )( )( )( )()eeenF xfxfxfxFx第

9、19页/共45页（5）1个奇函数与一个偶函数相乘（或相除），结果为奇函数（6）两个奇函数相乘（或相除），结果为偶函数( )( )( )()()()oeoeF xfx fxfx fxFx 121212( )( )( )()()()()()ooooooF xfx fxfxfxfx fxFx 第20页/共45页1212( )( )( )( )()()()()eeeneeenF xfx fxfxfx fxfxFx（7）n个偶函数相乘（或相除），结果为偶函数（8）m个奇函数n个偶函数相乘（或相除），结果为取决于m是奇数还是偶数（9）奇函数和偶函数相加（减），结果为非奇非偶。第21页/共45页cos( )

10、sin( )axbx222222cos( )sin( )ababxxababsincos( )cossin( )Bxxsin()Bx221()Babatgb式中22Babab第22页/共45页cos( )sin( )cos()axbxAx1()ABbtga22Babab第23页/共45页01()co s()2nnnanfxAxT22nnnBab1()nnnatgbnnB22nnnAab1()nnnbtga（表示某种振动或某种谐波分量）：初位相：振幅01sin ()2nnnanBxT第24页/共45页01( )cos()sin()2nnnannf xaxbxTT1cos()exp()exp()2

11、nnnxixixTTT1sin()exp()exp()2nnnxixixTiTT1exp()exp()2nniixiixTT欧拉公式：第25页/共45页0111( ) ()exp()()exp()222nnnnnannf xaibixaibixTT0012ca1()2nnncaib1()2nnnnccaib令01( )(exp()exp()nnnnnf xccixcixTT011exp()exp()exp()nnnnnnnnnccixcixcixTTT第26页/共45页nc( )exp()exp()exp()TTnTTnmnmf xix dxcixix dxTTT0()exp2TnTnnmnn

12、mcix dxTcmnT 1( )exp()2TnTncf xix dxTT的求法：第27页/共45页01( )cos()sin()2nnnannf xaxbxTT011( )exp()exp()exp()nnnnnnnnnf xccixcixcixTTT01()TTafx dxT1( )cos()TnTnaf xx dxTT1( )sin()TnTnbf xx dxTT1( )exp()2TnTncf xix dxTT第28页/共45页1()sin()nnnfxbxT1( )sin()TnTnbf xx dxTT02sin()Tnxx dxTT22222cos()sin()TTnnTnn12

13、( 1)nTn（七）举例（傅氏展开先判断奇偶性）1.周期为2T，f(x)=x,-TxT傅氏级数xy奇函数，只用正弦项展开第29页/共45页112( )( 1)sin()nnTnf xxnT1212( 1)sin()sin()sin()2nTnxxxTTnTxy第30页/共45页020( )02xf xkx20011( )2TTaf x dxkdxkT022n200111( )cos()()cos()0222TTnnaf xx dxkx dxTTK是常数；（周期2T=4，T=2）1( )sin()cos() 11 ( 1) TnnTnkkbf xx dxnTTnn k0421086-2xy第31

14、页/共45页1( )1 ( 1) sin()22nnkknf xxn 21315sin()sin()sin()223252kkxxx020( )02xf xkxk0421086-2xy第32页/共45页0,2442( )244ddddxxf xddx 01( )cos()2nnf xaaxT3.周期为dy20-d/4d/2x-d/2d/40nb 2Td偶函数第33页/共45页111424( 1)2(21)( ) 1sincos() 1cos221nnnnnnf xxxndnd 40412( )22dTdTaf x dxdxTd441224( )cos()2cos()sin2dTdnTnnnaf

15、 xx dxx dxTTddny20-d/4d/2x-d/2d/4第34页/共45页4.求如图所示一维正弦位相光栅透过率函数的傅里叶级数展开式( )expsin( )f xiax( )exp()nnnf xcixTT（）11( )exp()exp ( sin)22TnTnncf xix dxi axx dxTTT( )nJa2表面表面（n阶第一类贝赛尔函数）expsin( )( )exp()nnniaxJaixT第35页/共45页n阶第一类贝赛尔函数的积分公式2cos0( )2njxjnnjJxeed第36页/共45页( )expcos( )f xiaxexpcos( )( ) exp()nn

16、nniaxJa iixT正弦光栅透过率函数也可表示为1exp ( cos)( )2nnnnci axx dxJa iT0n zx20001( )expcos( )2cJaiaz dz令0阶第一类贝赛尔函数积分表达式。第37页/共45页01( )cos()2nnnanf xAxT1cos(2)nnnAn x 12T22nnnAab1()nnnbtga（频率）n为谐频（此为空间频谱，xt为时间频率）( )nAn的曲线叫振幅频谱图。nn位相频谱图。特点：离散的，具有谐波性、收敛性()nnA(n)012345第38页/共45页01( )exp()exp()nnnnnf xccixcixTT0012ca

17、1()exp()2nnnnncaibci2212nnnnccab1()nnnbtga 1()exp()2nnnnncaibci1()nnnbtgann 第39页/共45页nC(n)-11-220-4-334振幅频谱n(n)-11-220-4-334位相频谱特点： 频率范围从 出现负频概念；各谐波的分量减小一半；各谐波位相值不变，但正负频的位相方向相反； 12nncA第40页/共45页二者差异只是形式上的。正负频的解释：平面偏振，可分为左右弦振动（圆偏振）， 左弦为正频，右弦为负频。xy正频正频负频负频第41页/共45页2f(t)A0t-T2T2T22( )0,2 2Atf tTttT 1( )exp()2TnTncf tit dtTT22sin()12exp()222nnATAit dtnTTTT02AcTsin(