2022年人教版《二次根式的概念》公开课教案

1、161二次根式二次根式第第 1 课时课时二次根式的概念二次根式的概念1能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质， 会求二次根式中被开方数中字母的取值范围(重点)一、情境导入问题 1：你能用带有根号的式子填空吗？(1) 面 积 为 3 的 正 方 形 的 边 长 为_，面积为 S 的正方形的边长为_(2)一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2，那么它的宽为_m.(3)一个物体从高处自由落下， 落到地面所用的时间 t(单位： s)与落下的高度 h(单位：m)满足关系 h5t2，如果用含有 h 的式子

2、表示 t，那么 t_问题 2：上面得到的式子 3，S，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义以下各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1) 11；(2) 5；(3) 72；(4)313；(5)1516；(6) 3x(x3)；(7)x (x0) ； (8)a12；(9) x25；(10) ab2(ab0)解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是 2，二是看被开方数是不是非负数解：因为 11， 72，1516130，3x (x3) ，a12，ab2(ab0)中的根指数都是 2，且被开方数为非负数， 所以都是二次根式.313的根指数不

3、是 2， 5， x(x0)， x25的被开方数小于 0，所以不是二次根式方法总结： 判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“；(2)被开方数是非负数探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使以下式子有意义的 x 的取值范围(1)143x；(2)3xx2；(3)x5x.解析： 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0，列不等式(组)求解解：(1)由题意得 43x0，解得 x43.当 x43时，143x有意义；(2)由题意得3x0，x20，解得 x3 且xx3 且 x2 时，3xx2有意义

4、；(3)由题意得x50，x0，解得 x5 且xx5 且 x0 时，x5x有意义方法总结： 含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数； (2)如果所给式子中含有分母， 那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外， 还必须保证分母不为零【类型二】 利用二次根式的非负性求解(1)a、 b 满足 2a8|b 3|0，解关于 x 的方程(a2)xb2a1；(2)x、 y 都是实数， 且 y x3 3x4，求 yx的平方根解析： (1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可； (2)根据二次根式的非负性即可求得

5、x 的值，进而求得 y 的值，进而可求出 yx的平方根解：(1)根据题意得2a80，b 30，解得a4，b 3.那么(a2)xb2a1，即2x35，解得 x4；(2)根据题意得x30，3x0，解得 xy4，故 yx4364， 648，yx的平方根为8.方法总结： 二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为 0，这几个非负数都为 0.探究点三： 和二次根式有关的规律探究性问题先观察以下等式，再答复以下问题1112122111111112；1122132112121116；11321421131311112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1142152的结果；(2)请你按照上面各等

6、式反映的规律， 试写出用含 n 的式子表示的等式(n 为正整数)解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是 1，第二个加数是个分数，设分母为 n，第三个分数的分母就是 n1，结果是一个带分数，整数局部是 1，分数局部的分子也是 1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子解：(1)11421521141411120；(2)11n21n1211n1n111nn1(n 为正整数)方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系， 通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来三、板书设计1二次根式的定义一般地，我们把形如 a(a0)的式

7、子叫做二次根式2二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数； a有意义a0.通过将新知识与旧知识进行联系与比照，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要， 体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣3乘、除混合运算1能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点)2能运用有理数的运算律简化运算；(难点)3能利用有理数的加、减、乘、除混合运算解决简单的实际问题(难点)一、情境导入1在小学我们已经学习过加、减、乘、除 四 那 么 运 算 ， 其 运 算 顺 序 是 先 算_，再算

8、_，如果有括号，先算_里面的2观察式子 3(21)512 ，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？二、合作探究探究点一：有理数乘、除混合运算计算：(1)2.55814 ；(2)47 314 112 .解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法， 再根据有理数的乘法法那么进行计算即可(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可解：(1)原式528514 5285141；(2)原式47 143 32 4714332 4.方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律【类型一】 有理数加、

9、减、乘、除混合运算计算：(1)213 (6)112 113 ；(2)316113114 (12)解析：(1)先计算括号内的，再按“先乘除，后加减的顺序进行；(2)可考虑利用乘法的分配律进行简便计算解 ： (1)213 ( 6) 112 113 53(6)1243(10)123410381038；(2)316113114 (12)316113114 (12)314(12)3(12)1412312141236333.方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算【类型二】 有理数乘法的运算律计算：(1)5638 (24)；(2)(7)43 514

10、.解析：第(1)题括号外面的因数24 是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便利用乘法分配律进行简便运算 第(2)题7 可以与514的分母约分， 因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算解： (1)5638 (24)56 (24)38(24)20(9)11；(2)(7)43 514(7)51443 52 43 103.方法总结： 当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂， 而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些， 这时可用运算律进行简化运算【类型三】 有理数混合运算的应用海拔高度每升高 1000m，气温下降6.某人乘热气球旅行， 在地面时测得温度是 8，当热气球升空后，测得高空温度是1，热气球的高度为_m.解析：此类问题考查有理数的混合运算， 解题时要正确理解题意， 列出式子求解，由 题 意 可 得 8 ( 1)(10006) 1500(m)，故填 1500.方法总结： 此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键三、板书设计1有理数加减乘除混合运算的顺序