导数的计算(一)（优选课资）

1、一、复习一、复习1.导数的几何意义导数的几何意义导数的物理物理意义导数的物理物理意义2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换换x0即即为求函数在点为求函数在点x0处的处的 导数导数. 1青苗学班B几种常见函数的导数几种常见函数的导数基本初等函数的导数公基本初等函数的导数公式及导数的运算法则式及导数的运算法则2青苗学班B二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可

2、以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1. 函数函数y=f(x)=c (c为常数为常数)xxfy)(. 22)(. 3xxfy3)(. 4xxfyxxfy1)(. 5xxfy)(. 63青苗学班B1.函数函数 y = f (x) =c 的导数的导数y=cyxO ，因0 xccxxfxxfxy. 00limlim 00 xxxyy所以y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解：从几何的角度理解：从物理的角度理解：从物理的角度理解：4青苗学班B2

3、.函数函数 y= f (x)=x 的导数的导数 ，因为1 xxxxxxfxxfxy. 11limlim 00 xxxyy所以y=xyxOy=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解：从几何的角度理解：从物理的角度理解：从物理的角度理解：5青苗学班B探究在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么

4、有关?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x6青苗学班B函数函数 y= f (x)= kx 的导数的导数 xxfxxfxy 因为.limlim 00kkxyyxx所以，kxkxxkkxxkxxxk7青苗学班B3.函数函数 y = f (x) = x2 的导数的导数 xxxxxxfxxfxy22 因为xxxxxx2222xx 2.22limlim 00 xxxxyyxx所以y=x2yxO8青苗学班B y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明: 当x0时,随着x的增加

5、,y=x2增加得越来越快. 若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.从几何的角度理解：从几何的角度理解：从物理的角度理解：从物理的角度理解：9青苗学班B4.函数函数 y = f (x) = 的导数的导数x1 xxxxxxfxxfxy11 因为，xxxxxxxxxx21.11limlim 2200 xxxxxyyxx所以10青苗学班B探究画出函数 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy11青苗学班B5.函数函数 y = f (x) = 的导数的导数x xxxxxxfx

6、xfxy 因为xxxxxxxxxx，xxx1.211limlim 00 xxxxxyyxx所以12青苗学班B小结1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ；2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ；3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ； ；则若21,1. 4xxfxxf .21,. 5xxfxxf则若)(1是常数xx13青苗学班B这个公式称为幂函数的导数公式这个公式称为幂函数的导数公式.事实上事实上 可以是任意实数可以是任意实数. )()(Qxxfy1/xy推广推广:14青苗学班B基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.

7、nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，

8、则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x15青苗学班B练习：练习：1 1 求下列幂函数的导数求下列幂函数的导数35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（16青苗学班B).2(,2)2(3fxy求已知).1(,)1(2fxxy求已知2:2:17青苗学班B法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个

9、函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x18青苗学班B例例. 求函数求函数y=x3-2x2+3的导数的导数. 推论推论:)()(/xcfxcf19青苗学班B1.已知曲线已知曲线C：f(

10、x)=x3求曲线求曲线C上横坐标为上横坐标为1的点处的切线方程的点处的切线方程2.求过点（求过点（2,0）与曲线）与曲线 相切的切线相切的切线方程方程xy120青苗学班B 3.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲线）是曲线y=x2上的两点，求与直线上的两点，求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。21青苗学班B看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程12(2)22ln2yx22青苗学班Bcos5.6yxx例4.已知，求曲线在点 处的切线方程315()226yx 41(1).;(2).yxyxx例5：求下列函数的导数54yx 1232yx

11、23青苗学班B10p例例6.假设某国家在假设某国家在20年期间的年平均通货膨年期间的年平均通货膨胀率为胀率为5%,物价物价p(元元)与时间与时间t(年年)有如下函有如下函数关系数关系 ,其中其中 为为t=0时的时的物价物价.假定某种商品的假定某种商品的 ,那么在第那么在第10个个年头年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多这种商品的价格上涨的速度大约是多少少?(精确到精确到0.01)tptp%)51 ()(00p50p思考思考:如果上式中某种商品的如果上式中某种商品的 ,那么在那么在第第10个年头个年头,这种商品的价格上涨的速度大这种商品的价格上涨的速度大约是多少约是多少?24青苗学班B练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数:2212(1);(2);1(3)tan ;yxxxyxyx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 25青苗学班B四、小结四、小结