几种特殊函数的积分PPT学习教案

1、会计学1几种特殊函数的积分几种特殊函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(. 0, 0, , 001010 babbbaaanmmn实数，并且实数，并且都是都是及及都是非负整数；都是非负整数；其中其中第1页/共24页假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式；利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如1123 xxx.112 xx式之和式之和可以分解成如下部分分可以分解成如下部分分那么真分式那么真分式其中其中如果如果 )

2、()( , 04, 04 ,)( )()()()( 22220 xQxPsrqpsrxxqpxxbxaxbxQ 第2页/共24页axAaxAaxAxQxP 121)()()()(bxBbxBbxB 121)()(qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM 21222211)()( ,)()(21222211srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR . , 等都是常数等都是常数及及其中其中iiiiiiSRNMBA第3页/共24页,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数. . 特殊地：, 1 k分解后为;axA )( )

3、1(则分解后为则分解后为，分母中若有因式分母中若有因式kax 第4页/共24页qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(特殊地：, 1 k分解后为.2qpxxNMx )., 2 , 1( , kiNMii 都是常数都是常数其中其中(2)分母中若有因式 kqpxx)(2 则分解后为042 qp，其中第5页/共24页真分式化为部分分式之和的待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例1第6页/共24页,1)1(2

4、xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,0 x取取1 A1 x取取1 B1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例22)1(1 xx),1( , , 2 的值代入的值代入并将并将取取BAx 第7页/共24页例3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得第8页/共24页.)1(1 2dxxx 求积分求积分dxxx )1(12dxxxx 11)1(112dx

5、xdxxdxx 11 )1(1 12.)1ln(11lnCxxx 解例4第9页/共24页解. )1)(21(1 2 dxxx求积分求积分dxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例5第10页/共24页. 322 2 dxxxx求积分求积分解, 22)32( 2 xxxd dxxxx 322 2, 21)22(212 xxdxxxdxxxx 3213 322 2122 . 3)22(212 xx即即dxxxdxxxxd )2()1()1(3 32)32( 212

6、222 .21arctan23)32ln(212Cxxx 例6第11页/共24页说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx tpx 2 令令第12页/共24页,422pqa ,2MpNb 则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 记第13页/共24页, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出, 且原函数都是初

7、等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 第14页/共24页三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 第15页/共24页2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx ,2tan xu 令令,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222

8、duuuuuuR （万能置换公式） arctan2 ux 则则第16页/共24页. cossin1sin dxxxx求积分求积分解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222例7第17页/共24页duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx .|2tan1|lnCx 原式原式第18页/共24页.sin1 4 dxx求积分求积分解法一,2tanxu

9、,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 例8第19页/共24页解法二可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc .cot31cot3Cxx 第20页/共24页讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法作代换去掉根号.21 3 xdx求积分求积分解 ux 32 令令23 ux,32duudx 321xdxduuu 132 duuu 11)1(32 例9第21页/共24页duuu 1113 Cuuu 1ln232.21ln323)2(233332Cxxx 第22页/共24页. 11 d