高等数学：2-5 函数的微分

1、1微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则小结小结 思考题思考题 作业作业第五节第五节 函数的微分函数的微分第二章第二章 导数与微分导数与微分(differential)微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用2函数的微分函数的微分导数导数微分微分导数与微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的函数的改变量的近似值所引起的函数的改变量的近似值.有着密切的联系有着密切的联系.3正方形金属薄片受热后面积的改

2、变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且为且为 A x )1()2(x x 2)( x 1.问题的引出问题的引出函数的微分函数的微分实例实例x 线性函数线性函数(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定义一、微分的定义的线性的线性(一次一次)函数函数,x 当当,的次要部分的次要部分且为且为 A 很小时可忽略很小时可忽略.2,0 xxAx 很小时很小时当当的高阶无穷小的高阶无穷小,4再如再如,03时时

3、处的改变量为处的改变量为在点在点设函数设函数xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x y ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值. y 求函数的改变量求函数的改变量函数的微分函数的微分.320 xx 5),(xfy 对一般函数对一般函数,的常数的常数是不依赖于是不依赖于其中其中xA xAy , 0 A当当yxA 满足满足如果如果)(xfy y 一定条件一定条件,的的是是因此因此xxA 之差之差且它与且它与 y 线性函数线性函数, 对一般函数对一般函数则无论在理论分析上还

4、是在实际则无论在理论分析上还是在实际).( xo 函数的微分函数的微分则函数的增量则函数的增量可以表示为可以表示为 如果存在这样的如果存在这样的近似公式近似公式,应用中都是十分重要的应用中都是十分重要的.,很很小小时时且且 x yA xox ( )yf x6定义定义,)(在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xfy 2. 微分的定义微分的定义,00在这区间内在这区间内及及xxx 00()()()yf xxf xAxox 如果如果),(无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立xA 0)(xxfy在点在点 则称函数则称函数xA 0dxxy 相相应应于于自自变变量量在在点点0)(xxfy

5、.d0 xAyxx 即即可微可微(differentiable),A为微分系数为微分系数函数的微分函数的微分),(d0 xf或或记作记作微分微分(differential),并称并称为函数为函数的的增量增量 x 7可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理证证 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在点在点xxf),( xoxAy .A ,)(0可可导导在在点点即即函函数数xxf3. 可微的充分必要条件可微的充分必要条件)(xf函函数数00d().x xyfxx即有即有).(0 xfA 且且,0处可导处可导在点在点x函数的微分函数的微分),(0 xfA 且且 满足什么条件的函数是可微的呢？满足

6、什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数微分的系数A如何确定呢如何确定呢? 微分与导数有何关系呢微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题下面的定理回答了这些问题. xyxxoA )(0lim x 0lim x8(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可可微微在在点点函函数数xxf.可微可微可导可导 求导法又叫微分法求导法又叫微分法函数的微分函数的微分00d().x xyfxx从而从而.)(0Axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在点在点函数函数0)(xxf

7、定理定理)(xf函函数数即有即有,0处可导处可导在点在点x),(0 xfA 且且.)(d0 xxfy (0,0)x 9注注 yyxdlim0 )(10 xf 有有时时当当,0)()1(0 xf )(10 xf,0,时时当当从从而而 x的的是是即即yy d).0( x当当 微分的实质微分的实质yx 0lim)(0 xf . 1 ).d(dyoyy 第一章第七节定理第一章第七节定理1 (58页页)的的是是又又由由于于xxxfy )(d0 0)(0 xf.d yy 函数的微分函数的微分 线性函数线性函数, 线性主部线性主部. .xxf )(0 xyx 0lim 主部主部, ,的的是是称称yy d 所

8、以在所以在 条件下条件下, 的条件下的条件下,xxfy )(d0 以以,)()(00时时xfxxfy 近似代替增量近似代替增量 其误差为其误差为).d( yo因此因此,很小时很小时在在 x 有精确度有精确度.dyy 较好的近似等式较好的近似等式 结论结论 在在0()0fx10有关有关和和与与xx xx 的增量的增量通常把自变量通常把自变量)3(xxfyd)(d )(ddxfxy 导数称为微商导数称为微商函数的微分函数的微分),(ddxfy或或 称为函数称为函数的微分的微分, 记作记作.)(dxxfy 即即称为自变量的称为自变量的微分微分,记作记作,dx.dxx 即即注注(2)( ),yf xx

9、函数在任意点 的微分11例例解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d)3( xxxxxxy xxy )(d)1(3 xx 23 xxyxx 2223d)2(函数的微分函数的微分x 1212几何意义几何意义y 当当,很小时很小时当当 x ( (如图如图) )ydxxfyd)(d0 二、微分的几何意义二、微分的几何意义函数的微分函数的微分对应的增量对应的增量,.MNMP可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段增量时增量时;是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标,的附近的附近在点在点M就是就是切线切线纵坐标纵坐标x

10、tanPQ yd xyO)(xfy T0 xM xx 0N PQy yd)( xo x 13xxfyd)(d 求法求法1. 基本微分公式基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 三、微分公式与运算法则三、微分公式与运算法则函数的微分函数的微分计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.14xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd1

11、1)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 运算法则运算法则2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu 函数的微分函数的微分),),(),(Rxvvxuu 15例例解解.d),ln(2yexyx求求设设 ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例解解.d,cos31yxeyx求求设设 )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131 .d)sincos3(31xxxex 函数的微分函数的微分.sin)(cosxx )(cosd3

12、1xex vuuvuvdd)(d 16;d)(d,)1(xxfyx 是自变量时是自变量时若若的可微的可微即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若tx,)2(),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数 ydxd.d)(dxxfy 结论结论)(xfy 微分形式的不变性微分形式的不变性xxfyd)(d 3. 复合函数的微分法复合函数的微分法此结论用于求复合此结论用于求复合函数的导数函数的导数,有时有时能简化运算能简化运算.函数的微分函数的微分无论无论x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 函数函数的微分形式总是的微分形式总是则则函数函数),(tx )(xf )(t td17例例.

13、d,2yeybxax求求设设 解解 法一法一 用复合函数求导公式用复合函数求导公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不变性用微分形式不变性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在计算中也可以不写中间变量在计算中也可以不写中间变量,直接利用直接利用微分形式不变性微分形式不变性.d)(2bxax xbxad)2( xbxad)2( 函数的微分函数的微分18例例)2arctan(dxx例例解解.d,lnyxy求求设设 )(lndx xxxdln1 x1ln d)(ln xx2arctan )2(arctandx xxd2arctan

14、)2(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd x函数的微分函数的微分19例例解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt ttdcos .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt )(d)(sind)2(2xx,cos42xxx )(sind2x)(sind1t xxxdcos22).(d)cos4(2xxxx函数的微分函数的微分xxd2120函数的微分函数的微分例例解解)2(dd642xxx 求求法一法一

15、 把把 作为一个整体作为一个整体,2x关于关于2x有有 )2(dd642xxx222)(32)(2xx 4262xx 求导求导,法二法二)(2)(dd32222xxx 把导数看作微分之商把导数看作微分之商,分子分子,分母分别求微分分母分别求微分,有有 )2(dd642xxx264d)2(dxxx xxxxxd2)d62(453 4262xx 用了用了微分形式不变性微分形式不变性.21例例解解.d122yxyyx求求设设 yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 函数的微分函数的微分22例例?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了

16、多少半径伸长了半径伸长了的金属圆片加热后的金属圆片加热后半径半径cmcm解解,2rA 设设,10cmr 05. 0102 ).(2cm .)(0 xxf yyd 0()0,fxx且很小时. y 用用来来近近似似计计算算.05. 0cmr rr 2A rAr Ad 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用函数的微分函数的微分1. 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值23)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x .),(0微微分分函函数数的的原原值值函函数数的的末末值值即即用用来来近近似似计计算算 xxf2. 计算函数

17、的近似值计算函数的近似值函数的微分函数的微分)(0 xx x曲线曲线处处在点在点)(,()(00 xfxxfy 的切线的表达式的切线的表达式.通常称为函数通常称为函数的一次近似或线性近似的一次近似或线性近似.)(xfy 0(1)( )f xxx求在点附近的近似值240360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值计计算算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算与与xxfxf xxfcos)( 360 x就是函数就是函数.3603处的值处的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()

18、(000函数的微分函数的微分253603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cos xx函数的微分函数的微分26常用的几个一次近似式常用的几个一次近似式)|(|很小时很小时x附附近近的的近近似似值值在在点点求求0)()2( xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx 1(1) 11;(2)sin();nxxxx xn 为弧度);(tan)3(为弧度为弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 函数的微分函数

19、的微分2. 计算函数的近似值计算函数的近似值27证证)1(111( )1,( )(1),nnf xx fxxn设, 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 007. 1 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式021. 01021. 1 x函数的微分函数的微分28例例.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0 e.

20、97. 0 xex 103. 01 (1)(很小时很小时x35 . 11000 (2)(很小时很小时x)10005 . 11(1000 3函数的微分函数的微分111nxxn 29定义定义由于测量仪器的精度、条件和方法等各种由于测量仪器的精度、条件和方法等各种因素的影响因素的影响,测得的数据往往带有误差测得的数据往往带有误差,带有误差的数据计算所得的结果也会有误差带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,把它叫做把它叫做aA |AaAA而绝对误差与的比值间接测量误差间接测量误差. .的的绝对误差绝对误差. .的的相对误差相对误差. .函数的微分函数的微分3. 误差估计误差估计而根据而根据那末那末叫

21、做叫做A叫做叫做A,Aa如果某个量的精度值为它的近似值为30,A如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是问题问题在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得办法办法 将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.,A 又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过AaA 即即的的叫做测量叫做测量那末那末AA AAA叫做测量叫做测量而而| , a测得它的近似值是测得它的近似值是函数的微分函数的微分绝对误差限绝对误差限 ,的的相对误差限相对误差限 .)()(31函数的微分函数的微分根据直接测量的根据直接测量的x值按公式值按公式计算计算y值时值时,)(xfy 如果已知

22、测量如果已知测量x的绝对误差限是的绝对误差限是,x 即即,|xx 那么那么, ,0时时当当 y y的绝对误差的绝对误差|d|yy 即即y的的绝对误差绝对误差(限限)约为约为;|xyy 即即y的的相对误差相对误差(限限)约为约为一般一般,|xy ,|xy .|yxyyy32例例.,005. 041. 2误差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解, x设正方形边长为设正方形边长为.2xy 则则,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 24.82 0.0050.0241().m %.4 . 0 , y面面积积为为0.005,xx边长 的绝对误差为yy 函数的微分函数的微分 y的的绝对误差绝对误差(限限)约为约为xyy |面积面积y的的绝对误差绝对误差(限限)为为面积面积y的的相对误差相对误差(限限)为为8081. 50241. 0 xyy |33微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则五、小结五、小结函数的微分函数的微分导数与微分的关系导数与微分的关系可微可