高等数学：8-2 偏 导 数

1、1第二节第二节 偏偏 导导 数数偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法偏导数的几何意义偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数小结小结 思考题思考题 作业作业partial derivativehigher-order partial derivative第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法定义定义),(yxfz 设函数设函数,0yy固定为固定为将将),(),(0000yxfyxxfzx xzxx0lim存在存在,处处在点在点),(),(00yxyxfz 的某邻域的某邻域在点在点),(00yx内有定义，内有定义，,0

2、时时处有增量处有增量在在而而xxx 函数有相应的增量函数有相应的增量如果极限如果极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000则称此极限为函数则称此极限为函数偏偏 导导 数数(称为称为关于关于x的偏增量的偏增量).记为记为对对x的偏导数的偏导数,3记为记为,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或).,(00yxfx同理同理,可定义函数可定义函数处处在点在点),(),(00yxyxfz 为为 yzyy0limyyxfyyxfy ),(),(lim00000记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或).,(00yxfyxyxfyxxfxz

3、xxx ),(),(limlim000000偏偏 导导 数数对对x的偏导数的偏导数,对对y的偏导数的偏导数,4那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是yx、的二元函数的二元函数,它就称为函数它就称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定义函数可定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数 (简称偏导数简称偏导数),记作记作,yz ,yf yz或或).,(yxfy偏偏 导导 数数在区域在区域D内任一点内任一点(x, y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在, ),(yxfz

4、 ),(yxfz 5偏导数的概念可以偏导数的概念可以 ),(zyxfx ),(zyxfy ),(zyxfz推广到二元以上函数推广到二元以上函数如如,),(zyxfu 处处在在),(zyx,),(),(lim0 xzyxfzyxxfx ,),(),(lim0yzyxfzyyxfy .),(),(lim0zzyxfzzyxfz 偏偏 导导 数数6求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数 例例 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.yyxzsin2 解解,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz利用一元函数利用一元函数),(yxfx如求如求只需将只

5、需将y的的求导法对求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,偏偏 导导 数数例例 求求 的偏导数的偏导数.)0( xxzy解解,1 yyxxzxxyzyln 7三个偏导数三个偏导数.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf)2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf12lncos2 xxx2 0(0)0,y例例变为一元函数变为一元函数,代入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导, 常常较简单常常较简单.偏偏 导

6、导 数数2(0)0.z8 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 1: pTTVVp求证求证,为为常常数数为为温温度度为为体体积积为为压压强强RTVp 偏导数的记号只是一个整体记号偏导数的记号只是一个整体记号,不能像不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商微分的商. 例例偏偏 导导 数数,pVRT已知理想气体的状态方程其中9二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义偏偏 导导 数数),(yxfz 设二元函数设二元函数),(,(00000yxfyxM设设在点在点),(

7、000yxM有有如图如图,),(yxfz 为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,0M),(yxfz yxzO过点过点0M作作平面平面,0yy 此平面此平面与曲面相交得一曲线与曲面相交得一曲线, 曲线的曲线的方程为方程为 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于偏导数由于偏导数),(00yxfx等于一元函数等于一元函数),(0yxf的的导数导数),(0yxf ,0 xx 故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义0 x0y10偏偏 导导 数数可知可知:0 xyTxT0y),(yxfz yxzO),(0yxfz 0M偏导数偏导数),(00yxfx在几何上表示在几何上表示曲线

8、曲线 ),(yxfz 0yy 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数),(00yxfy在几何上表示在几何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0 xx 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.),(0yxfz 11 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4 , 2( xf4 在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz偏偏 导导 数数 曲线曲线2

9、2,44xyzy12偏偏 导导 数数 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当解解例例.),(的偏导数的偏导数求求yxf,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 ,)()(22222yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 22222().()x xyxy,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得13 )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy注注 但前面已证但前面已证,此函数在点此函数在点(0,0)是是不连续不连续的的. x

10、fxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0偏偏 导导 数数,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当.),(的偏导数的偏导数求求yxf 由以上计算可知由以上计算可知,),(yxf 在点在点)0 , 0( 处处可偏导可偏导,看下一函数又如何：22( , )f x yxy14偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续不了连续性不了连续性.偏导

11、数都存在偏导数都存在,函数未必有极限函数未必有极限, 更保证更保证偏偏 导导 数数15 x = x0上的值有关上的值有关 ,而而与与(x0, y0)邻域内其他点上邻域内其他点上所以偏导数存在不能保证函数所以偏导数存在不能保证函数说明说明因偏导数因偏导数fx (x0, y0)仅与仅与函数函数 f (x, y)在在y = y0上的值有关上的值有关,偏导数偏导数 f y(x0, y0)仅与仅与函数函数 f (x, y)在在的函数值无关的函数值无关,有极限有极限.偏偏 导导 数数16 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0

12、, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的( ).A. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件D1994年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分偏偏 导导 数数17 xz),(yxfyy ),(yxfxy ),(yxfyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 偏偏 导导 数数三、高阶偏导数三、高阶偏

13、导数高阶偏导数高阶偏导数. .二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为18偏偏 导导 数数例例xyyxz 23求求的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数.解解 xz,322yyx ,23xyx 22xz,62xy 22yz,23x xyz2. 162 yx yxz2; 162 yx yz19偏偏 导导 数数例例 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设解解,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(232224222yxyxyxyx .)(2222232

14、23yxyxyxx (0,0)(0,0).xyyxff求和20,)0 , 0(),(时时当当 yx偏偏 导导 数数按按定义定义得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 )0 , 0(xf yfyfxxy)0 , 0()0 , 0(lim02224222)(23),(yxyxyxyxyxfx , 0 )0 , 0(yf xfxfyyx)0 , 0()0 ,0(lim0. 122223223)(2),(yxyxyxxyxfy 00 ).0 , 0(),(0),0 , 0

15、(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设).0 , 0()0 , 0(xyxyff和和求求xy21多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏),(yxfyx与与),(yxfxy在区域在区域D内内定理定理连续，连续， 那么在那么在导数导数该区域内该区域内偏偏 导导 数数但就通常所遇到的函数但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情此种情后一题中两者不相等后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏这说明混合偏导数与求

16、偏导数的次序有关导数的次序有关.但在但在况不会发生况不会发生,这是因为有下述的定理这是因为有下述的定理:).,(yxfyx ),(yxfxy如如 yxf23 xyxf3.23xyf 处处在在点点和和)0 , 0(yxxyff后一题中后一题中),0 , 0()0 , 0(yxxyff 这只能说明这只能说明都不连续都不连续.注注),(yxfz 22偏偏 导导 数数多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段规律的一种重要手段.例如方程例如方程22222xzayz (a是常

17、数是常数)称为称为波动方程波动方程, 它可用来描述各类波的它可用来描述各类波的运动运动.又如方程又如方程02222 yzxz称为称为拉普拉斯拉普拉斯(laplace)方程方程, 它在热传导、流体它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用运动等问题中有着重要的作用.23例例偏偏 导导 数数验证函数验证函数)sin(ayxz .22222xzayz 满足满足波动方程波动方程:证证 因因 xz 22xz yz 22yz故有故有.22222xzayz ),cos(ayx );sin(ayx ),cos(ayxa ),sin(2ayxa 24 22lnyxz,22yxxxz . 02222 yzxz偏偏

18、 导导 数数例例 验证函数验证函数满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程:22lnyxz 证证 因因 2222222)(2)(yxxxyxxz,)(22222yxxy 由由x, y在函数表达式中的对称性在函数表达式中的对称性,),ln(2122yx 立即可写出立即可写出,22yxyyz ,)(2222222yxyxyz 即证即证.251988年研究生考题年研究生考题, 计算计算,6分分有连续的有连续的其中其中设设gfxyxgyxyfu, .,222yxuyxux 求求二阶导数二阶导数 答案答案: 0解解 xu222uxxyyfgx yyyxx 偏偏 导导 数数 xygxy yxf xyg22231uxyyfgxyyxx261994年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分).()1, 2(,sin2处的值为处的值为在点在点则则设设 yxuyxeux 2 e 1998年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分有连续的二阶有连续的二阶且且设设 ,)()(1fyxyxyfxz ).(,2 yxz则则导数导数)()()(yxyyxxyf y 偏偏 导导 数数27偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算偏导数的计算高阶偏导数高阶偏导数(偏增量比的极限偏增量比的极限) 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导(相等的条件相等的条件)四、小结四、小结偏偏 导