高等数学：2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

1、1第四第四节节 隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所确定的函数的导数确定的函数的导数 相关变化率相关变化率第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思考题思考题 作业作业2定义定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义)(xyy 所确定的函数所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率称为称为隐函数隐函数(implicit fun

2、ction).的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的013 yx可确定显函数可确定显函数;13xy 例例),10(sin yxy开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒( (J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家德国数学家, ,天文学家天文学家. .xy关于关于的隐函数客观存在的隐函数客观存在, ,但无法将但无法将yx表达成表达成的的显式显式表达式表达式. .显化显化. .32. 隐函数求导法隐函数求导法隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则

3、,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如何求导4例例解解0 yxeexy设想把设想把.,00 xyxyyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,)(xyy 所确定的函数所确定的函数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得xxy)( xxe )( xye )( )0( 因为因为y是是x的函数的函数,

4、是是x的复合函数的复合函数,所以所以ye求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx . 1 0, 0 yx00 xy00 xy5 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.y y 一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对

5、x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,6隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解, 0sin yxey设设.xy 求求法一法一利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos解出解出,xy 得得法二法二 从原方程中解出从原方程中解出,x得得 yeyxsinyeysin 7隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数

6、方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率yeeyxyysinsin 先求先求x对对y的导数的导数,得得 yx)sin(cosyyey yeyysincos 再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得yxxy 1yyxeye coscossin)1(yeyeyy 8例例.,23,23,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对x23xxyxyy 22. 1 切线方程切线方程)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy, xy 即即23y y3 y

7、x 3y 法线方程法线方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率通过原点通过原点. 23,23 23,239例例.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解得得求导求导方程两边对方程两边对,x34xy 得得求求导导,x212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)1 , 0(41 将上面方程两边再对将上面方程两边再对y )1 , 0(010101014141414110.)1

8、, 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 或解或解得得求导求导方程两边对方程两边对,x04433 yyyxyx解得解得xyxyy 3344得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy yy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)4(3xy )12(2xy )4(3xy ;41 )1 ,0(y )1 ,0(.161 2(121)yy32(4)yx11隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题利用隐函数求导法来证明曲线族的正交

9、问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线正交轨线. .称这两条曲线是称这两条曲线是正交的正交的. .如果一个曲线如果一个曲线族族中的每条曲线与另一个曲线中的每条曲线与另一个曲线族族中的所有与它相交的曲线均正交中的所有与它相交的曲线均正交, 称这称这是正交的是正交的两个曲线族两个曲线族或互为或互为正交曲线族在很多物理现象中出现正交曲线族在很多物理现象中出现,例如例如,静电场中的电力线与等电位线正交静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的热力学中的等温线与热流线正交等温线与热流线正交, 等等等等.12).()2, 2(2282222正交正交

10、处垂直相交处垂直相交在点在点与曲线与曲线试证曲线试证曲线yxyx 证证:8222求导得求导得两边关于两边关于对对xyx , 042 yyx )2,2(y:222求导得求导得两边关于两边关于再对再对xyx ,222yx )2, 2(y即证即证.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率两条曲线在该点的两条曲线在该点的现只须证明现只须证明切线斜率互为负倒数切线斜率互为负倒数.21 . 2(2,2),易验证点是两曲线的交点13隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率2002年考研数学一年考研数学

11、一, 3分分016)(2 xxyexyyy由方程由方程已知函数已知函数 )0(y则则解解ye确定确定,y yx 6y6 x2 0 yexyxy 662 y )6(yex )62(y )6(yey )62(yx 2)6(yex 00, 0 x00000 y000000000 y02 14.)()2()(xvxu幂指函数幂指函数3. 对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍介绍(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy 如如对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对

12、数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.sinxxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 适用于适用于方方 法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.15例例解解 yln求导得求导得上式两边对上式两边对 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111 xxxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得 142)1(3111)4

13、(1)1(23 xxxexxxyx)1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隐函数隐函数16)(xu)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 两边对两边对x求导得求导得)(xf :幂指函数幂指函数 )(xf)(xv)0)( xu隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得( )( ) ln ( )( )( )u xv xu xv xu x)(xf 17例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上

14、式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得18注注复合函数复合函数)0)()()( xuxuyxv改写成改写成)(ln)(xuxvey .),0(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx将将则则sin lnxxye xx ln(cos )sinxx 只要将只要将,lnsinxxey 改写成改写成幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,隐函数

15、及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率19例例.,22yxyxxx 求求设设解解,21yyy ,21xxy ,22xxy ,lnln2112xxyxyx 两边取对数得两边取对数得对对求求导导得得两两边边对对xxxxxyy211ln2 ,ln2xxx .ln221xxxxyx 得得2lnln222xxxyyx 两两边边取取对对数数得得对对求求导导得得两两边边对对x xeyyxxln12lnln22 ,2lnln xxe )ln1(22ln2xxyxxx 得得.21yyy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相

16、关变化率相关变化率20有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便. .例如例如, ,)1,0,0( babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数 yln两边对两边对x求导求导 yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率bx21.,1. 12sinyxxyx 求求设设解答解答求导得求导得上式两边对上式两边对x)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy 2sin2(cos

17、 ln).1xxyyxxxx 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数等式两边取对数22.,. 2yyxxy 求求设设解答解答,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率23二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t(parametric equation)参数方程参数方程隐函数及由

18、参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数yx确定 与 的函数关系函数关系24,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx xyddtydd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以,tyddxtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率),(1xt 单调连续的单调

19、连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 25例例解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率26,2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即 )cos1()sin(tayttax),12( ax. ay 隐函数及由参数方程所确定

20、的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率27例例解解 ,21sin,cos,2000gttvytvxv 其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力,0时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在t;)1(0的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求t.)2(0的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻 t隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率可由可由切线的斜率切线的斜率来反映来反映.即即xyO0v 0(1)t在 时刻的运动方向28 xydd cossin00v

21、gtv ,21sin,cos200gttvytvx 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率.cossin000 vgtv tttvgttv)cos()21sin(020 xydd0tt 0000sin( )arctan.cosvgttv29轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(0 0ddttxtxv 0ddttytyv00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv ,21sin,cos200gttvytvx cos0v 隐函数及由参数方程所确定的

22、函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率0)cos(0tttv 0)21sin(20ttgttv xyO0v vxvyv30设由方程设由方程 )10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy方程组两边对方程组两边对t 求导求导, ,得得故故 xydd)cos1)(1(ytt txdddd2ytt d2d1cosytty22 tycos tydd 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解 txddtxddtydd2(1)t 31若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程)(

23、 rr 给出给出, ,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程, ,因此曲线因此曲线 y sin)( r cos)( r ( )cos( )sinrr隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 ddy ddx)( rr 切线的斜率为切线的斜率为 oAM r( )cos,( )sinxryr32例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数为参数 则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为x

24、ydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx, 1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.33,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx xyxxydddddd22 )()(ddttt )(

25、1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即xtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率d( )d( )txt34如如: 33ddxy注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理这样对求更高阶的导数也容易处理. 22ddddxyxtxydddd22 dtxtxyddddd22 xtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率35例例解解.sincos33表示的函数的二阶

26、导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率36022dd,2 tyttxyeetex求求设设解解),1(ddtetxt , 0dd tyeeyt1dd0 ttx,0时时当当 t得得,ddytety 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变

27、化率 22ddxy tey1tx 1 2)1(t ye ty )1(t ye 22ddxy t0 t011 tx 10, 0 yxdd(1)1tyytyeexett 0d1dtyt 37)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化

28、率相关变化率0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)38例例解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t500tanh 求求导导得得两两边边对对t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多少多少员视线的仰角增加率是员视线的仰角增加率是观察观察米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升一气球从离开观察员一气球从离开观察员),(th其高度为其高度为则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t tdd 5001 thdd

29、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率d140/,500, tan1,dhht米 秒 当时 tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 22tan1sec h50039当气球升至当气球升至500m时时, ,有一观测者以有一观测者以的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来, ,min100m当距离当距离500 m时时, ,仰角的仰角的增加率是多少增加率是多少? ?提示提示 tanx500对对t 求导求导 2sectdd txxdd5002 ,min100ddmtx .ddt mx500

30、 求求隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 x50040水面水面例例桥面高出水面桥面高出水面的速度通过一座桥的速度通过一座桥某人以某人以,2sm解解桥面桥面20mxy秒钟后秒钟后设经设经t222220)()()( tytxtz(1),mx人行走距离为人行走距离为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以,20msm34的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5s后后,人与小船相分离的人与小船相分离的速度速度.z,ymzm船航行距离为船与人的距离为对对t求导求导tyytxxtzzdd2dd2dd2 (2)dd42,.dd3xytt,10 x,3702032010222 z(3),5时时当当 t,320 y).(2126dd5s