动力学运动学

1、Harbin Engineering University孙秋华孙秋华4.1 功功 rFcosrFA:记作定义：恒力的功等于质点受的力和它的位移的点积定义：恒力的功等于质点受的力和它的位移的点积单位：焦耳（单位：焦耳（J） 量纲：量纲：ML2T2FFr当/2， A 0;当 /2， A 0;当 =/2， A=0;4.1.1 恒力的功恒力的功 Harbin Engineering University孙秋华孙秋华位移无限小时：位移无限小时： 如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：动，则功的计算如下：drFab在元位移中将

2、力视为恒力，力沿在元位移中将力视为恒力，力沿ab 的功为所有无限小段位移的功为所有无限小段位移上的元功之和。上的元功之和。dscosFrdcosFrdFdAbabardFdAArdFdAdA称为元功称为元功, dr为元位移。为元位移。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解析式：解析式：bazyx)dzFdyFdxF(AFxxF0 x1x2图示：图示：说明：说明：1、功是过程量，与路径有关；、功是过程量，与路径有关；4、合力的功为各分力的功的代数和。、合力的功为各分力的功的代数和。A合力合力= Ai2、功是标量，只有正负，没有方向；、功是标量，只有正负，没有方向

3、；3、指明何种力作功、指明何种力作功Harbin Engineering University孙秋华孙秋华 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功单位：瓦（单位：瓦（W） 量纲：量纲：ML2T-3vFdtrdFPrdFdAtAP平均功率：平均功率：dtdAtAlimPt0瞬时功率：瞬时功率：Harbin Engineering University孙秋华孙秋华*质点的动能定理质点的动能定理*动能动能：物体由于运动所具有的能量。：物体由于运动所具有的能量。 Ek=mv2/2 单位：焦耳（单位：焦耳（J） 量纲：量纲：ML2T2一质量为一质量为 m的质点在力的质点在力F的作用下，从的作用下，

4、从 a 点开始沿点开始沿路径路径 acb 运动到运动到 b 点，合外力点，合外力F 的功为：的功为：babababavdvmvddtrdmrddtvdmrdamAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华kakbabbaEEmvmvmvdvA222121合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。而而 , 则则vdvdvvvdvvdvdvvdv2)(22abavbvrdF 222121abvvbatbababamvmvmvdvdrdtdvmdrFdrcosFrdFAbaHarbin Engineering University孙秋

5、华孙秋华例例1、一质量为、一质量为m 的质点，在的质点，在xoy平面上运动。平面上运动。j tbi tarsincos其位置矢量为：其位置矢量为：其中其中a , b , 为正值常数，为正值常数，a b。(1)求：质点在求：质点在A (a,0)点和点和B(0,b)点时的点时的 动能。动能。(2)求：质点所受的作用力以及当质点从求：质点所受的作用力以及当质点从A 运动到运动到B的过程中分力的过程中分力Fx、Fy所做所做 的功。的功。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解： sincos)1(j tbi tar cos sintbvtavyxtbytaxsin

6、cosA(a,0)点：cos t=1 sin t=02222212121mbmvmvEyxKAB(0,b)点：cos t=0 sin t=12222212121mamvmvEyxKBHarbin Engineering University孙秋华孙秋华j tmbi tmajmaimaFyxsincos )2(22220202021madxxmtdxcosmadxFAaaaxx2202021mbtdysinmbdyFAbbyyHarbin Engineering University孙秋华孙秋华例例2、一链条总长为、一链条总长为l，质量为质量为m。放在桌面上并使其下垂，。放在桌面上并使其下垂，下

7、垂的长度为下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ，令链，令链条从静止开始运动。条从静止开始运动。求：（求：（1）到链条离开桌面的过程中，摩）到链条离开桌面的过程中，摩 擦力对链条做了多少功？擦力对链条做了多少功？ （2）链条离开桌面时的速率是多少？）链条离开桌面时的速率是多少？al-a xOHarbin Engineering University孙秋华孙秋华al-a xO解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图lalafdx)xl (lmgrdfA注意：摩擦力作负功！注意：摩擦力作负功！lxlmgf/)( 22)(2)21( allmgxlxlmgla(2

8、)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：Harbin Engineering University孙秋华孙秋华2022121mvmvAAAfP21222)()(alallgv得20210mvAAvfPl)al(mgxdxlmgrdPAlalaP222l)al(mgAf22前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmgHarbin Engineering University孙秋华孙秋华例例3、在光滑的水平面上，、在光滑的水平面上， 固定平放如图所示的半圆形屏障，固定平放如图所示的半圆形屏障， 质量为质量为 m 的滑块以初速度的滑块以初速度 v0 沿切线方向进入屏障内，滑

9、块与沿切线方向进入屏障内，滑块与屏间的摩擦系数为屏间的摩擦系数为 。求：当滑块从屏的另一端滑出时，摩擦。求：当滑块从屏的另一端滑出时，摩擦力所作的功。力所作的功。v0OHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：建立自然坐标系，受力分析如图解：建立自然坐标系，受力分析如图dtdvmNfRvmNr2dtdvRv2dvdvRvddvdtdddvdtdvRv即即：2v0ONvfr Harbin Engineering University孙秋华孙秋华积分得：积分得：evvdvdvvv000由动能定理得：由动能定理得：)e(mvmvmvA1212121220202Harb

10、in Engineering University孙秋华孙秋华4.4 保守力保守力4.4.1重力的功重力的功abhahbdsmgyxmgdy)jdyidx(jmgSdgmdA)hh(mg)hh(mgmgdyAbaabhhbaHarbin Engineering University孙秋华孙秋华4.4.2 万有引力的功万有引力的功ararbdsrMmb 两个质点之间在万有引力作用两个质点之间在万有引力作用下相对运动时下相对运动时 ，以，以M 所在处为原所在处为原点点, M 指向指向m 的方向为矢径的正方的方向为矢径的正方向。向。m 受的引力方向与矢径方向相受的引力方向与矢径方向相反。反。barr

11、rrGMmdrrGMmAba1112Harbin Engineering University孙秋华孙秋华4.4.3弹簧弹力的功弹簧弹力的功 a bkxF)kxkx(kxdxAabxxba222121结论：以上三种力作功都与路径无关，只与始末位置有结论：以上三种力作功都与路径无关，只与始末位置有 关。我们将该种力称为保守力。关。我们将该种力称为保守力。数学表达式：数学表达式：0LrdF势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点 间的相对位置决定的能量称为势能。间的相对位置决定的能量称为势能。Harbin Engineering University

12、孙秋华孙秋华由保守力作功的特点可知，势能是系统内相对位置的函数，由保守力作功的特点可知，势能是系统内相对位置的函数，即势能函数。用即势能函数。用 EP表示。表示。所以有：所以有：ASdFEEEbaPppab引力势能：引力势能：rMmGEP重力势能：重力势能：mghEP弹性势能：弹性势能：221kxEPHarbin Engineering University孙秋华孙秋华小小 结：结：1 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。、只要有保守力，就可引入相应的势能。2 2、计算势能必须规定势能零点。质点在某一点的势能大小、计算势能必须规定势能零点。质点在某一点的势能大小 等于在相应的保守力的作用下，

13、由所在点移动到零势能等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能 点时保守力所做的功。点时保守力所做的功。3 3、势能仅有相对意义，所以必须指出势能零点。两点间的、势能仅有相对意义，所以必须指出势能零点。两点间的 势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函 数。数。4 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华1、势能和保守力的关系、势能和保守力的关系：dllFlFBAdldEFPl保守力沿某一给定的保守力沿某一给定的l方向

14、的分量等于与此保守力相应的势能方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿函数沿l 方向的空间变化率。方向的空间变化率。dlFdlFl dFdElPcos kzEjyEixEkFjFiFFPPPzyx xEFPx yEFPyzEFPz Harbin Engineering University孙秋华孙秋华2 2、势能曲线、势能曲线: :势能随位置变化的曲线。势能随位置变化的曲线。重力势能曲线重力势能曲线弹性势能曲线弹性势能曲线万有引力势能曲线万有引力势能曲线 曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的选取，曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。可分析

15、系统的平衡条件及能量的转化。HEPOEkEpxEPOEEkEpEPrOEkEk0EpHarbin Engineering University孙秋华孙秋华4.9.1 一对内力的功一对内力的功ffdr1dr2r1r2A1A2B1B2rdFdA2211rdfrdfdA21ff)rr(dfdA122122rdfdAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华r2ABBArdfA122说明：说明：（1）两质点之间作用的）两质点之间作用的内力所做的功等于其中一内力所做的功等于其中一个质点相对另一质点所移个质点相对另一质点所移动路径所做的功。动路径所做的功。（2）一对内力所做的功

16、）一对内力所做的功只取决与两质点的相对路只取决与两质点的相对路径。径。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华质点：质点：m1 m2 , 系统：系统：m1m21f2f1F2F内力：内力：外力：外力：1f2f21FF初速度：初速度：末速度：末速度：AAvv21BBvv21211211111112121 :1111ABBABAvmvmrdfrdFm222222222222121 :2222ABBABAvmvmrdfrdFmHarbin Engineering University孙秋华孙秋华两式相加得：两式相加得：2211221122112211 BABABABArd

17、frdfrdFrdF）（2222112222112121)2121(AABBvmvmvmvm记作：记作：A外外A内内EKB - EKA所有外力对质点系做的功和内力对质点所有外力对质点系做的功和内力对质点 系做的功之和等于质点系总动能的增量。系做的功之和等于质点系总动能的增量。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华* 质点系的功能原理质点系的功能原理质点系的动能定理：质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA因为因为 A内=A保内A非保内所以所以 A外+ A保内A非保内= EkB - EkA 又因为又因为 A保内=EPAEPB所以所以 A外 A非保内= (E

18、kB+EPB )-(EkA +EPA)即即 A外 A非保内=EB - EA Harbin Engineering University孙秋华孙秋华* 机械能守恒定律机械能守恒定律A外外0A非保内非保内0则则EB EA常量常量如果如果 在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。不变。4.6.3 能量守恒定律能量守恒定律封闭系统：不受外界作用的系统。封闭系统：不受外界作用的系统。 一个不受外界作用的孤立系统经历任何变化时，系统一个不受外界作用的孤立系统经历任何变化时，系统的所有能量的总和保持不变，能量只能从一种形式转化为的所有能量的总和保持不

19、变，能量只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体传给另一个物体。这是普遍的另一种形式，或从一个物体传给另一个物体。这是普遍的能量守恒定律。能量守恒定律。注意：能量表示状态注意：能量表示状态 功代表过程功代表过程Harbin Engineering University孙秋华孙秋华4.11.1 4.11.1 碰撞的定义及分类碰撞的定义及分类定义：碰撞是作用时间极短的相互作用。定义：碰撞是作用时间极短的相互作用。 一般可以将恒外力忽略，系统动量守恒一般可以将恒外力忽略，系统动量守恒按运动形式分，碰撞可以分为两类：按运动形式分，碰撞可以分为两类：正碰正碰和和斜碰斜碰，我们主，我们主要分析要分析正

20、碰正碰。按能量损失分，碰撞可以分为三类：按能量损失分，碰撞可以分为三类：（1 1）（完全）弹性碰撞；）（完全）弹性碰撞；（2 2）非（完全）弹性碰撞；）非（完全）弹性碰撞；（3 3）完全非弹性碰撞。）完全非弹性碰撞。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华设两物体设两物体m1、m2发生完全弹性正碰发生完全弹性正碰)2(21212121) 1 (222211220221012211202101vmvmvmvmvmvmvmvm由由(1)得得)3()()(20221101vvmvvm由由(2)得得)4()()(220222212101vvmvvm(4)/(3)得得)5(

21、202110vvvv4.11.2 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 特点：碰后无形变，分离。能量守恒特点：碰后无形变，分离。能量守恒Harbin Engineering University孙秋华孙秋华由由(3)、(5)得得211012012221202102112)(2)(mmvmvmmvmmvmvmmv定义：恢复系数定义：恢复系数 e ，即：牛顿碰撞定律。，即：牛顿碰撞定律。201012vvvve对完全弹性碰撞对完全弹性碰撞e=1。讨论：讨论：1、若、若m1=m2，则，则v2=v10, v1=v20 ;2、若、若m1m2，且，且v20=0，则，则v1=v10, v2=2v10;3、若、若m1m2，

22、且，且v20=0，则，则v1=-v10, v2=0。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华vmmvmvm)(2120210121202101mmvmvmv此此 时：时：0e4.11.3 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞特点：碰后发生形变，不分离。特点：碰后发生形变，不分离。机械能损失：机械能损失：)(2)()(212121212201021221220221010mmvvmmvmmvmvmEEEKKKHarbin Engineering University孙秋华孙秋华4.11.4 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞10)(2010122211202101evvevvvm

23、vmvmvm此时：特点：碰后发生形变，彼此分离。系统有能量损失。特点：碰后发生形变，彼此分离。系统有能量损失。机械能损失：机械能损失：)()()1 (2121220102120mmvvmmeEEEKKKHarbin Engineering University孙秋华孙秋华例例1 质量为质量为M的木块放在光滑的固定斜面上，由的木块放在光滑的固定斜面上，由A点从静止开点从静止开始下滑，当经过路程始下滑，当经过路程l 运动到运动到B点时，木块被一颗水平飞来的点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内。设子弹的质量为子弹射中，子弹立即陷入木块内。设子弹的质量为m, 速度为速度为v, 求子弹

24、射入木块后，子弹与木块的共同速度。求子弹射入木块后，子弹与木块的共同速度。A M m v B l Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：M由由A点下滑到点下滑到B点，由机械能守恒得：点，由机械能守恒得：221sinMMvMgljvivvsincos x A y M m v B l 建立直角坐标系如图，则建立直角坐标系如图，则m的速度为的速度为在碰撞过程中，重力可以忽略，因此在碰撞过程中，重力可以忽略，因此在在x方向上方向上，由，由m和和M 组成的系统动量守恒组成的系统动量守恒VMmMvmvM)(cos得得mMglMmvVsin2cosHarbin Eng

25、ineering University孙秋华孙秋华例例2.一物体从固定的光滑圆球顶端从静止下滑，一物体从固定的光滑圆球顶端从静止下滑，如图所示。如图所示。求求:（1）物体在何处）物体在何处( =? )脱离圆球面？脱离圆球面？ （2）物体飞出时的速度多大？）物体飞出时的速度多大？ （3）当物体到达地面时，离开）当物体到达地面时，离开O点的距离为点的距离为 多少？多少？Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：物理过程物理过程物体作加速运动物体作加速运动脱离球面脱离球面物体作曲线运动物体作曲线运动解：解： （1）利用机械能守恒）利用机械能守恒 2211mv)cos(mgR 02 NRvmNcosmg （2）利用牛顿定律）利用牛顿定律 解得：解得： gRvcos3232 Harbin Engineering University孙秋华孙秋华（3）利用运动学）利用运动学2类题型类题型 xygaayx 0