函数的奇偶性-精品

1、编辑ppt编辑ppt 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。个例子。 除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。编辑ppt观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=xf(x)=x2 2（1）（2）yxO)0(1)(xxxfx0-x0f x 3f x 编辑ppt例如：对于函数例如：对于函数f(x)

2、=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)= - f(1)f(-2)= - f(2)f(-x)= - f(x)-xx结论结论:当自变量任取定义域中的当自变量任取定义域中的两个相反数时两个相反数时,对应的函数值也对应的函数值也互为相反数互为相反数,即即f(-x)=-f(x)编辑ppt-xxf(-2)=(-2)2=4 f(2)=4而函数而函数f(x)=xf(x)=x2 2 ， 却是另一种情况，却是另一种情况，如下：如下： f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=

3、x2 f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论结论:当自变量当自变量x任取定义域任取定义域中的一对相反数时中的一对相反数时,对应的对应的函数值相等，即函数值相等，即f(-x)=f(x)而函数而函数f(x)=xf(x)=x2 2 ， 却是另一种情况，却是另一种情况，如下：如下：编辑ppt函数奇偶性的定义: 偶函数定义偶函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x, ,都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义奇函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x, , 都有f(-x)=-f

4、(x)f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.编辑ppt对于奇、偶函数定义的几点说明:(2) 定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 （3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。编辑ppt练习: 说出下列函数的奇偶性:f(x)=x4 _ f(x)=x _ f(x)=x -2 _ f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ f(x)= x -1 _奇函数奇函数奇函

5、数奇函数偶函数偶函数 对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。Zn编辑ppt例1. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a解: 定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数解: 定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.再判断f(

6、x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.编辑ppt11)()4(1)()3(2xxfxxxf 为奇函数即解：定义域是xfxfxfxxxxxfoxx)1(1)( 为偶函数即）（解：定义域是xfxfxfxxxfR1111)(22编辑ppt思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。编辑ppt (1) f(x)= (2)

7、f(x)=x2 x- 4 , 4) 解: 定义域不关于原点 对 称 或 f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. f(x)为非奇非偶函数x解: 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？编辑ppt思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数 f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1编辑ppt奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 编辑ppt本课小结:

8、 两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意 一个x 两个步骤:（判断函数的奇偶性）如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。编辑ppt练一练： 2211xxxf判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性:点此播放讲课视频点此播放讲课视频编辑ppt课本课本 P P4444页页 A A组组 10. 10. 课外思考题课外思考题:1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)21xfxx22（） 2.判断函数 的奇偶性:编辑ppt3. 已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x);当x0,f(x)等于( ).x(1-x) B. x(1-x)C. -x(1+x) D. x(1+x)4 4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x) = a f(x) + b g(x) ,(a,b不为0的常数)则F(X)为( )A. 奇