电路设计--电路定律的相量形式

1、1. KCL：0)(1tiknk0)cos(21ikknktI01knkI时域时域:频域频域: 对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出（或流入）（或流入）任一节点的电流代数和等于零。任一节点的电流代数和等于零。以相量表示正弦量，有以相量表示正弦量，有 在正弦稳态电路中，在正弦稳态电路中，对于任一节点，流出（或流入）该对于任一节点，流出（或流入）该节点的电流相量代数和等于零。节点的电流相量代数和等于零。8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式一一. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式2、KVL：时域时域:0)(1tukmk0)cos(2

2、1ukkmktU频域频域:01kmkU 对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。以相量表示正弦量，有以相量表示正弦量，有 在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降相量的代数和等于零。其电压降相量的代数和等于零。1. 电阻电阻)cos(2)( tIti已知)cos(2)()( tRItRituR则uR(t)i(t)R+- -相量形式：相量形式： RIUIIR有效值关系：有效值关系：UR = RI相位关系：相

3、位关系：u , i 同相同相相量模型相量模型R+- -RUI相量关系相量关系IRUR IU相量图相量图二、电阻、电感和电容元件的二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式相量形式频域频域有效值关系有效值关系 U= L I相位关系相位关系u 超前超前 i 90ILU jo0 IIj L相量模型相量模型+- -UIUI相量图相量图2. 电感电感i(t)u (t)L+- -时域模型时域模型时域时域tIticos2)(od ( )( )d2sin2cos(90 )i tu tLtL ItL It tu, iu i0波形图波形图 电感元件的时域模型如图电感元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流瞬时所

4、示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图值关系的波形图如图 (b)所示。由此可以看出所示。由此可以看出电感电压超前电感电压超前于电感电流于电感电流90，当电感电流由负值增加经过零点时，其，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。电压达到正最大值。感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。 XLXL= U/I = L= 2 f L， 单位单位: 欧姆欧姆感抗感抗; , ,; , 0 ),(0开路开路短路短路直流直流LLXX U= L I(3) 由于由于感抗的存在使电流落后电压。感抗的存在使电流落后电压。i

5、uL IUL 错误的写法错误的写法频域频域有效值关系有效值关系 I= C U相位关系相位关系i 超前超前u 90UCI jo0 UU时域时域tUtucos2)(od ( )( )d2sin2cos(90 )u ti tCtCUtCUt tu, iu i0波形图波形图3. 电容电容时域模型时域模型i (t)u(t)C+- -UI相量图相量图相量模型相量模型IU+- -Cj 1 电容元件的时域模型如图电容元件的时域模型如图(a)所示，反映电压电流瞬时所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出所示。由此图可以看出电容电流超电容电流超前于电容电压前于电容电压9

6、0，当电容电压由负值增加经过零点时，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大值。其电流达到正最大值。容抗的物理意义：容抗的物理意义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) 容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。容抗容抗C0, , ( ;, 0, ;CXX 直流开路 隔直作用)高频短路（旁路作用）I= CU(3) 由于由于容抗的存在使电流领先电压。容抗的存在使电流领先电压。iuC 1IUC 1错误的写法错误的写法CIU 1CXC 1定义定义 CX如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同

7、一频率的正弦量。则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。kU0kIjIjU4、受控源、受控源ku0kijijujkigujkIgU三三. . 电路的相量模型电路的相量模型 : :时域列写微分方程时域列写微分方程相量形式代数方程相量形式代数方程RCLiiiRCLIIISdddutiCtiLCL1tiCiRCRd1Sj1UICILjCL CRICIR j1相量模型：电压、电流用相量模型：电压、电流用相量相量；元件用；元件用复数阻抗复数阻抗或或导纳导纳。LCRuSiLiCiR+- -时域电路时域电路12j LSULICIRIR+- -相量模型相量模型12Cj 1例例1：正弦电流源的电流，其有效值正

8、弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率，角频率=103rad/s， R=3，L=1H，C=1F。求电压。求电压uad和和ubd。Siabcdi+- - - -RuLuCu解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图SIabc+- - - -RULUCUdIRjLCj1设电路的电流相量为参考相量设电路的电流相量为参考相量SIabc+- - - -RULUCUdIRjLCj10/5SII即令IRURILjULICjUC1= 15 /0 V= 5000 / 90V= 5000 / - 90 VCLbdUUU0/15bdRadUUU= 00bdu15ad

9、u)10cos(23tV例例2：如图正弦稳态电路，已知交流电压表：如图正弦稳态电路，已知交流电压表V1读数为读数为60V，V2读数为读数为80V，求，求V读数。读数。解解:（1）相量法求解相量法求解RLi假设以电流为参考相量，即设：假设以电流为参考相量，即设：0 (A)II 12: 600 (V) 8090 (V)VV 则则12: 6008090 (V) 608010053.1 (V)KVLVVVj 由由相相量量形形式式有有: | 100(V)V 故故（2）相量图解法相量图解法V-+V1V2+-+I 1V 2V V 6080100相量图解法相量图解法RRIRULLILjUCCICjU1相量法的

10、三个基本公式相量法的三个基本公式以上公式是在电压、电流以上公式是在电压、电流关联关联参考方向的条件参考方向的条件 下得到的；下得到的；如果为如果为非关联非关联参考方向，则以上各式要变号。参考方向，则以上各式要变号。以上公式以上公式 既包含电压和电流的既包含电压和电流的大小大小关系，关系，又包含电压和电流的又包含电压和电流的相位相位关系。关系。四、相量法注意点：四、相量法注意点：1. 同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；2. 正角度按逆时针计；正角度按逆时针计；3. 应选定一个参考相量应选定一个参考相量(设初相位为零。设初相位为零。)选选 R为参考相量

11、为参考相量URICUURLICILUj L1/j CULICIRIR+- -RU+- -+- - -LUCU例例3 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知 2rad/s ,A cos2)(,H2,3SttiLR 试求电压试求电压u1(t), u2(t), u(t)及其有效值相量及其有效值相量。 解：根据图解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量所示的相量 模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同，模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同， 仅将时域模型中各电压电流符号仅将时域模型中各电压电流符号 用相应的相量符号用相应的相量符号 表示，根

12、据相表示，根据相 量形式的量形式的KCL求出电流相量求出电流相量 uuuii、21SUUUII、21S1A A01SII 由相量形式的由相量形式的VCR方程求出电压方程求出电压 V904V4 j 0122 jjjV03013S2S1ILILUIRIRU(b) 根据相量形式的根据相量形式的KVL方程式得到方程式得到 V1 .5354 j321UUU 得到相应电压的瞬时值表达式得到相应电压的瞬时值表达式 V )1 .532cos(25)(V )902cos(24)(V 2cos23)(21ttuttuttu 相量图如图相量图如图(c)所示。由此图可以看出电压所示。由此图可以看出电压u(t)超前于超

13、前于电流电流i(t)的角度为的角度为53.1。此例中，。此例中，U=5 U1+U2=3+4=7(c)例例4 电路如图电路如图 (a)所示所示,已知已知5rad/s , Vcos210)(, F1 . 0,4SttuCR解：画出图解：画出图(a)相量模型如图相量模型如图(b)所示。根据所示。根据RLC元件相量形元件相量形 式的式的VCR方程计算出电流相量。方程计算出电流相量。 A5 . 205 . 24010S1RUI 试求电流试求电流i1(t), i2(t), i(t)及其有效值相量。及其有效值相量。A905j5Aj20100.151j010j12CUIs 根据相量形式的根据相量形式的KCL方

14、程得到方程得到 A4 .6359. 5j55 . 221III 得到电流的瞬时值表达式得到电流的瞬时值表达式 A 5cos25 . 2)(1ttiA )905cos(25)(2ttiA )4 .635cos(259. 5)(tti 根据所求得的各电压电流相量画出相量图。根据所求得的各电压电流相量画出相量图。 由此图可以看出电流由此图可以看出电流i(t)超前于电压超前于电压uS(t)的角度为的角度为63.4。 此例中，此例中，I=5.59 I1+I2=2.5+5=7.5,再次说明正弦电流电再次说明正弦电流电路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等于零。于零。 小