[精选]初中数学因式分解(精华例题)--资料

1、初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法.如多项式 ambmcmm( abc),其中 m叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用a 2b 2(ab)(ab),a 22abb2(ab)2 ,a 3b 3(ab)( a2abb 2 )写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的

2、联系。解：原式 = (aman)(bmbn)= a( mn)b(mn)每组之间还有公因式！= (m n)(a b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10 ay)(5bybx)原式 = (2axbx)( 10 ay 5by)= 2a( x5y)b( x5y)= x(2ab)5 y(2ab)= ( x 5 y)(2ab)= (2ab)( x5 y)练习：分解因式

3、1、 a 2abacbc2、 xyx y1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x 2y2 )(axay)= ( x y)( x y) a( x y)= ( x y)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = (a 22abb 2 )c2= (ab) 2c2= (abc)( a bc)注意这两个例题的区别！练习：分解因式 3、 x2x9 y 23 y4、 x2y 2z 22 yz综合练习：（ 1） x3x2 yxy

4、2y 3（2） ax 2bx2bxaxab（ 3） x26 xy9 y 216 a28a1（ 4） a 26ab12b9b 24a（ 5） a42a3a 29（ 6） 4a2 x 4a 2 y b2 x b2 y（ 7） x22xyxzyzy2（ 8） a 22ab22b2ab1（ 9） y( y2)(m1)(m1)（ 10） (ac)( ac)b(b2a)（ 11） a 2 (bc)b 2 (ac)c 2 (ab)2abc （ 12） a3b3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( pq)xpq( xp)( xq) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数

5、是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： x 2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1)× (-6)，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即 2+3=5。12解： x25x6= x 2(23)x 2 313= (x 2)( x 3)1× 2+1 × 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 27x6解：

6、原式 = x2( 1)(6) x ( 1)(6)1-1= (x1)( x6)1-6（ -1） +（ -6） = -7练习 5、分解因式 (1)x 214 x24 (2) a 215a 36(3) x 24x5练习 6、分解因式 (1)x 2x 2(2) y22 y 15(3) x210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式条件：（ 1） aa1 a2（ 2） cc1c2（ 3） b a1 c2a2c1分解结果： ax2bxc = (a1x c1 )(a2 x例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11ax 2bxca1c1a2c2ba1c2

7、a2 c1c2 )解： 3x211x 10 = (x2)(3x5)练习 7、分解因式：（ 1） 5x27x6（ 2） 3x 27 x 2（ 3） 10x 217 x3（ 4） 6 y 211y 10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：a 28ab128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab128b 2 = a 28b( 16b) a8b( 16b)= (a 8b)( a 16b)练习 8、分解因式 (1) x 23xy2y 2 (2) m26mn8n2 (3) a 2a

8、b6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x27xy6 y2例 10、 x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2x3y)解：原式 = (xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（ 1） 15x 27 xy4 y 2（ 2） a 2 x26ax8综合练习 10、（1） 8x67 x31（2） 12x211xy 15 y 2（ 3） (x y) 23( x y) 10（ 4） (a b)24a 4b 3（ 5） x2 y 25x 2 y6x 2（ 6） m 24

9、mn4n 23m6n2（ 7） x24xy4 y22x4 y3（ 8） 5(ab) 223( a2b2 )10( ab) 2（ 9） 4x 24xy6x3yy 210 （ 10） 12( xy) 211(x 2y2 )2( xy) 2思考：分解因式：abcx2(a 2b 2c2 )xabc五、主元法 .例 11、分解因式：x23xy 10 y 2x9 y 25-2解法一：以 x 为主元2-1解：原式 = x 2x(3y1)(10 y 29 y2)(-5)+(-4)= -9= x 2x(3y1)(5 y2)(2 y1)1-(5y-2)= x(5y2) x( 2y1)1(2y-1)= ( x 5y

10、2)( x2 y1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以 y 为主元1-1解：原式 =10 y2y(3x9)( x2x2)12=10 y 2(3x9) y(x 2x2)-1+2=1=10 y 2(3x9) y(x1)( x 2)2( x-1)= 2 y( x1) 5y( x2)5-(x+2)=( 2 yx1)(5yx2)5(x-1)-2( x+2)=(3 x-9)练习 11、分解因式 (1) x2y 24x6 y5(2) x2xy 2y 2x 7 y 6(3) x 2xy6 y 2x13 y6(4) a2ab6b25a35b36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对Ax

11、 2BxyCy 2DxEy F 型多项式的分解因式。条件：（ 1） Aa1 a2 ， Cc1c2 ， Ff1 f2（ 2） a1 c2a2 c1B ， c1 f 2c2 f1E ， a1 f 2a2 f1D即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2 c1B ， c1 f 2c2 f1E ， a1 f2a2 f1D则 Ax 2Bxy Cy 2DxEyF( a1 xc1 yf1 )( a2 xc2f 2 )例 12、分解因式（1） x23xy10 y 2x9y2（ 2） x2xy6y 2x13y6解：（ 1） x23xy10 y2x9 y2应用双十字相乘法：x5 y2x2y12xy 5xy3xy

12、 ， 5 y 4 y9 y ，x 2x x原式 = (x5 y2)( x2 y1)（ 2） x2xy6 y2x13y6应用双十字相乘法：x2 y3x3y23xy2xyxy ， 4 y9y13 y ，2x3xx原式 = ( x2 y3)( x3y2)练习 12、分解因式（1） x 2xy2 y 2x7 y6（ 2） 6x27 xy 3y 2xz 7 yz 2z 2七、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005 x2(2005 21)x2005（ 2） (x 1)( x2)( x3)( x6)x 2解：（ 1）设 2005= a ，则原式 = ax2( a 21)xa= (ax1)( xa)=

13、(2005 x1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x 27 x 6)( x 25x 6) x2设 x25x6 A ，则 x 27 x 6 A 2x原式 = (A2x) A x 2 = A22 Axx 2= ( A x) 2 = ( x26x6) 2练习 13、分解因式（1） ( x2xyy2 ) 24 xy( x2y2 )（ 2） (x 23x2)(4x 28x3)90 （ 3） (a21) 2(a 25) 24(a 23) 2例 14、分解因式（ 1） 2x 4x36x 2x 2观察：此多项式的特点是关于x 的降幂排列， 每

14、一项的次数依次少1，并且系数成 “轴对称”。这种多项式属于 “等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x 2 (2x 2x6112) = x 22(x 212 )( x1 )6xxxx设 x1t ，则 x21t 22xx2原式 =x2222)t622t10（ t= x2t= x 2 2t 5 t 2= x2 2x25 x12xx= x·2x25 ·x·x12 = 2x25x 2 x 22x 1xx= ( x 1) 2 (2x 1)( x 2)（ 2） x44x 3x 24x 1解：原式 = x 2x 24 x141

15、= x2x214 x11xx2x2x设 x1y ，则 x21y 22xx 2原式 = x 2y 24y3 = x 2y1y3= x 2 (x11)(x13) = x 2x 1 x 23x 1xx练习 14、（ 1） 6x47 x336 x27x6 （2） x42x 3x21 2(x x 2 )八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） x33x24解法 1拆项。解法 2添项。原式 = x31 3x23原式 = x33x24x 4x 4= (x1)( x2x1)3(x1)( x1)= x( x23x4)(4x4)= (x 1)( x 2x 1 3x 3)= x(x 1)( x 4) 4( x 1)= (x1)( x 24x4)= (x1)( x24x4)= (x1)( x2)2= (x1)(x2) 2（ 2） x9x6x 33解：原式 = ( x 91)( x 61)( x 31)= ( x 31)( x6x31) (x31)( x31) (x 31)= ( x31)( x6x31 x 31 1)= ( x1)( x 2x1)( x62x 33)练习 15、分解因式（1） x39x8（ 2） (x1)4(x 21) 2( x1)4（ 3） x47 x21（4）