高数全套公式

1、名师推荐精心整理学习必备初等数学基础知识一、三角函数1公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin2( )+cos2( )=1; tan2( )+1=sec2( );cot2( )+1=csc2( )·商的关系：tan =sin /cos cot =cos /sin ·倒数关系：tan · cot ; =1sin · csc ; =1cos · sec =1三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos( + )=cos · cos-sin· sin cos( - )=cos · c

2、os +sin · sin sin( ± )=sin · cos ± cos · sin tan( + )=(tan +tan -tan)/(1· tan )tan( - )=(tan -tan )/(1+tan· tan )倍角公式：sin(2 )=2sin· cos cos(2 )=cos2()-sin2( )=2cos2( -)1=1- 2sin2()tan(2 )=2tan-/1tan2( )·半角公式：sin2( /2)=(1-cos )/2cos2( /2)=(1+cos )/2tan2( /

3、2)=(1-cos )/(1+cos)tan( /2)=sin /(1+cos-cos)=(1 )/sinsin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)·积化和差公式：sin· cos =(1/2)sin( +-)+sin(cos · sin =(1/2)sin(- sin(+)-)名师推荐精心整理学习必备cos · cos =(1/2)cos( + )+cos(-) sin · sin-=(1/2)cos( +-)cos( - )

4、·和差化积公式：sin +sin =2sin( + )/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( + )/2sin(- )/2cos +cos =2cos( + )/2cos(- )/2cos -cos =-2sin( + )/2sin(- )/22特殊角的三角函数值0(0)6432f ()(30 )(45 )(60 )(90 )cos13 / 22 / 21/ 20sin01/ 22 / 23 / 21tan01/313不存在cot不存在311/ 30只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。456021214530133 诱导公式

5、：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg 记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限

6、正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式b 24ac000名师推荐精心整理学习必备一元二次函数yax 2bxc(a0)x1x2有二互异实根x1 .2一元二次方程bb24ac有二相等实根 (有一根 )b无实根ax 2x1, 2bx c02ax1,22a一元(x1x2 )b二ax 2bx c0x Rxx1或 xx2x次2a不等式ax 2bx c0x1x x2xx( a0)三、因式分解与乘法公式(1)a2b2(ab)(ab)(2) a22abb2(ab) 2(3)a22abb2( ab) 2(4) a3b3( ab)(a2abb2 )(5)a3b

7、3( ab)(a2abb2 )(6) a33a2b 3ab2b3(ab)3(7) a33a2b 3ab2b3(ab) 3(8)a2b2c22ab2bc2ca(a bc)2(9) anbn(ab)(an1an2bab n2bn 1),( n 2)四、等差数列和等比数列1. 等差数列通项公式： ana1n1 d前 项和公式Snn a1 an或Snna1n n1n22d2. 等比数列 GP通项公式ana1qn 1an0， q0名师推荐精心整理学习必备前 项和公式.na11qn1Sn1qqna1q1五、常用几何公式平面图形名称符号正方形a 边长长方形a 和 b边长三角形a,b,c 三边长h a 边上的

8、高s周长的一半A,B,C 内角其中 s(a+b+c)/2平行四边形a,b 边长h a 边的高两边夹角菱形a边长夹角D 长对角线长d短对角线长梯形a 和 b上、下底长h高m 中位线长圆r半径d直径扇形r 扇形半径a 圆心角度数圆环R 外圆半径r内圆半径D 外圆直径d内圆直径椭圆D 长轴d短轴周长C和面积 SC 4aS a 2C 2(a+b)S abSah/2 ab/2 ·sinC s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2a2sinBsinC/(2sinA)S ah absin S Dd/2 a2 sin S (a+b)h/2 mhC d 2r2S r2 d/4C 2r 2 r 

9、5; (a/360)2S r×(a/360)S (R2 -r2 ) (D2-d 2)/4S Dd/4立方图形名称符号表面积 S 和体积 V名师推荐精心整理学习必备正方体a边长S 6a2V a3长方体a长S 2(ab+ac+bc)b宽V abcc高圆柱r底半径C2rh高S2C 底面周长底rS 侧ChS 底 底面积S 表Ch+2S2S 侧 侧面积底= Ch+2r2VSh rS 表 表面积底圆锥r底半径2V rh/3h高球r半径3V 4/3 rd直径3 d/62S= 4r2 d基本初等函数名表达式定义域图形特性称yC常y CR数函0x数1.8过点 (1，1);幂y x随 而异，但在R 上函

10、均有定义数指ya x数a 0函aR数11.6y=x3y=x1.40时在 R1.2y=x1/31单增；0.8y=x -10时在 R0.60.4y=x -2单减0.200.20.40.60.811.21.41.61.804.54xyxy0 y=a3.5y=a3过点 0,1 2.5a1单增20<a<11.50a 1单减1(0,1)0.5m0xamanam n aam n, am nam n-0.5o,na-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5名师推荐精心整理学习必备对ylog a xR数a0函 a 1数正弦ysin xR函数余弦ycos xR函数yOy1- /2O-1y

11、1-/2O-1(1,0)/2/2yy=logxaa>1x0<a<1y=logxa3/22x3 /22x过点 1,0 a 1单增0 a 1单减loga a1,loga 10,M , N0logaMNloga Mloga N ,logaMlog a Mlog a N ,Nloga M pP loga M ,loga blog c bc0,1 ,log c aloga axx( x0)aloga xx( x0)奇函数T 2 y 1偶函数T 2 y 1奇函数正ytan xx k切2函k Z数余xk,切y cot xkZ函数- /2O/2xy-OxT 在每个周期内单增奇函数T 在每个周

12、期内单减名师推荐精心整理学习必备反正弦yarcsin x1,1函数反余1,1 y arccos x弦函数反正yarctan xR切函数反余切yarc cot xR函数极限的计算方法一、初等函数：1.lim CC (C是常值函数）y/2-1o1x-/2y/2-1o1xy/2ox- /2y/2ox奇函数单增y 22单减0y奇函数单增y 22单减0y若fx（即fx是有界量），（即是无穷小量），lim f x0,2.Mlim0特别 : fxClim C0若fx（即fx是有界量）limf x0,3.M特别 : fxCC0Clim04.lim CC0C005.未定式1 0 型0分子,分母含有相同的零因式,

13、消去零因式A.等价无穷小替换(常用xB.sin x x,e 1 x,ln x 1 x)名师推荐精心整理学习必备洛必达法则：要求fx , g x存在,且fx 存在,此时, limf xfxC.limxg xlimxgg2型A.忽略掉分子 , 分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大, 保留最高阶的无穷大, 再化简计算B.分子 , 分母同除以最高阶无穷大后, 再化简计算 .C.洛必达法则 .3 型通过分式通分或无理函数有理化,转化为 "0"型或 ""型0140转化为00 01 0500 型求对数060 型求对数0171 型通过 lim 1 x xx 0e 或求对数来

14、计算 .二、分段函数： 分段点的极限用左, 右极限的定义来求解 .1切线方程 为： yy0f (x0 )( xx0 )法线方程 为 yy0( xx0 )f ( x0 )基本初等函数的导数公式(1)(C )0，C是常数(2)( x)x1(3)(a x )a x ln a ，特别地，当 ae 时，（ex） ex(4)(log a x)1， 特别地，当 ae 时，（ ln x ）1x ln ax(5)(sin x)cos x(6)(cos x)sin x(7)(tan x)1sec2 x(8)(cot x)1csc2 xcos2 xsin 2x(9)(sec x)(sec x) tan x(10)(

15、csc x)(csc x) cot x(11)(arcsin x)1(12)(arccosx)1x21 x 21(13)(arctan x)1(14)(arccot x)1x21 x21函数的和、差、积、商的求导法则名师推荐精心整理学习必备函数 uu(x) 及 v v( x) 都在点 x 可导 ， u( x) 及 v( x)的和、差、商 ( 除分母为 0 的点外 ) 都在点 x 可导 ,(1) u(x)v(x)u ( x) v ( x)(2) u(x)v(x)u ( x)v( x)u( x)v (x)(3)u( x)u (x)v( x)u( x)v ( x) ( v( x) 0 )v( x)v

16、2 ( x)基本初等函数的微分公式(1)、 dc0( c 为常数 )；(2)、 d( x)x 1dx(为任意常数 )；(3)、 d( ax )axln adx ，特别地，当 ae 时， d (ex ) ex dx ；(4)、 d(log a x)1dx ，特别地，当 ae 时， d (ln x)1 dx ；x ln ax(5)、 d(sin x)cos xdx ；(6)、 d(cos x)sin xdx ；(7)、 d(tan x)sec2 xdx ；(8)、 d(cot x)csc2 xdx ；(9)、 d(sec x)secx tan xdx ；(10)、 d (csc x)csc xco

17、t xdx ；(11)、 d (arcsin x)1dx ；1x2(12)、 d (arccosx)1dx ；1 x212 dx；(13)、 d (arctan x)x1(14)、 d ( arc cot x)1dx 21 x曲线的切线方程yy0 f '(x0 )( xx0 )幂指函数的导数v xv xuxu x' u xv x ln u x v xxu极限、可导、可微、连续之间的关系极限连续名师推荐精心整理学习必备可导可微条件条件条件ABA条件条件条件B，A A ，A B，A为 B 的充分条件为 B 的必要条件和 B 互为充分必要条件边际分析边际成本MC = C (q) ；边

18、际收益MR = R (q) ；边际利润ML = L (q) ， L (q)R (q)C (q) = MR MC弹性分析Eyx0 y ( x0 )y f ( x) 在点 x0处的弹性，Ex x x0y0p D ( p)特别的，需求价格弹性：EDEpD罗尔定理若函数 f ( x) 满足： (1)在闭区间 a, b 连续；(2) 在开区间 ( a, b) 可导；(3)f (a)f (b) ，则在 ( a,b) 内至少存在一点，使 f ( )0 拉格朗日定理设函数 f ( x) 满足 :(1)在闭区间 a,b 连续；(2)在开区间 ( a,b) 可导，则在 ( a, b) 上至少存在一点，使得 f (

19、 )f (b)f ( a)ba基本积分公式(1)0 dxC(2)kdxkxCk为常数特别地：dx xC(3)x dxx1C11(4)1 dxln | x |C（有时绝对值符号也可忽略不写）x(5)a x dxa xCln a(6)ex dxexC名师推荐精心整理学习必备(7)cos xdxsin xC(8)sin xdxcos xC(9)dxsec2xdxtan xCcos2 x(10)dxxcsc2xdxcot xCsin 2(11)secx tan xdxsecxC(12)csc x cot xdxcsc xC(13)dxarctan xC （或dxarc cot xC ）1x 2x21(

20、14)dxarcsinxC（或dxx C ）1x21arccosx 2(15)tan xdxln | cos x |C ，(16)cot xdxln | sin x |C ，(17)secxdxln | secxtan x |C ，(18)cot xdxln | csc xcot x |C ，(19)dx1arctanxC ， (a0)，a 2x2aa(20)dx1 ln xaC ， (a0) ，a 2x22axa(21)dxarcsin xC ， (a0) ，a2x2a(22)dxln xx 2a 2C ， (a 0) x 2a 2常用凑微分公式(1)、 dx1 daxba, b为常数 ,

21、且 a0a(2)、 xdx1d x22(3)、 12dxd1xx(4)、 1dx2dxx(5)、 1 dxd ln xx(6)、 ex dxde x(7)、 sin xdxdcosx名师推荐(8)、 cos xdxd sin x(9)、 sec2xdxd tan x(10)、 csc2 xdxd cot x(11)、1dx d arcsin x1x2(12)、1dxd arctan x1x2dy一阶线性非齐次微分方程P( x) y Q (x) dx平面图形面积的计算公式1)区域 D 由连续曲线yf (x), yg (x)和直线 x=a,x=b 围成 ,其中f ( x)g(x)(ax b)（右图

22、）bD的面积 Ag ( x)f (x) dxa2)区域 D 由连续曲线x( y), x( y)和直线 x=c,x=d 围成 ,其中( y)( y) c yddD的面积A( y)( y) dyc平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1 、绕 x 轴的旋转体体积（右图）b2 ( x) dxVxfa精心整理学习必备P( x ) dxP ( x) dx的通解为 y eQ( x)edx Cyyg (x)yf ( x)0abxydx( y)x( y)（右图）c0x注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴2、绕名师推荐y 轴的旋转体体积（右图）精心整理学习必备d2 ( y)dyVygc注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴由边际函数求总函数q(C0