[精选]东南大学-数学实验-高数B下册--资料

1、实验一空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。1、 空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D”。如画xx(t )出参数方程 yy(t ) , t1tt 2 所确定的空间曲线的命令格式为:zz(t )ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,tmin,tmax,选项 例1画出旋转抛物面 zx 2y 2 与上半球面 z 11x 2y2交线的图形。xcost解：它们的交线为平面 z1 上的圆 x2y 21 ，化为参数方程为ysin t ,

2、 t 0, 2 ，z1下面的 mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：p ParametricPlot3DCos t,Sin t ,1 ,t,0,2Pi运行即得曲线如图1 所示。10.5在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的0-0.5-1F ( x, y, z)0参数方程。如果曲线为一般式，其在 xOy 面上的投G( x, y, z)0影柱面的准线方程为H ( x, y)0 ，可先将 H ( x, y)0 化为参数方21.510.50-1-0.500.5xx(t)1程， 再 代 入 G ( x, y, z) 0 或 F ( x, y, z)0 解 出

3、yy(t )图 1z z(t) 即可。2、 空间曲面的绘制作一般式方程zf (x, y) 所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：Plot3Dfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax,选项 xx(u, v)作参数方程yy(u, v),u umin ,max , v vmin ,vmax 所 确 定 的 曲 面 图 形 的zz(u,v)Mathematica 命令为：ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,umin,umax,v,vmin,vmax,选项 例2作出上半球面 z 11 x 2y2 的图形。解：首先我们选取绘图区间1x1, 1y1

4、作图，输入下面语句：Plot3D11x 2y 2 ,x,1, 1 ,y,1,1运行后得到了该曲面的图形（图6-2），但是在图形的前面出现了一些蓝色字体报错信息，而且图形不完整，这是因为函数z 在范围 1x1, 1y1内的一些点处无定义。为避免上述问题，可用下面两种方法：（1）定义一个分区域函数f (x) ，将无定义的点赋予函数值1：f ( x, y)11 x2y 2 , x 2y 21x 2y 2，1,1作出该函数的图形只要键入命令：f x_,y_:Ifx2y21, 11 x 2y2, 1Plot3Dfx,y, x,1,1 ,y,1,1运行后得图3，可以看到该图形比上半球面多了一部分曲面的图形

5、（即z 1 平面上的部分）。但是图形比较粗糙，我们可以提高采样点数，例如取采样点数为30，即运行命令Plot3Df x,y,x,1,1,y,1, 1,PlotPoints30可得图形4，由此可见图形已经比较精细了。21.752211.751.51.75111.250.51.51.51.250.51.250.5111-10-10-10-0.5-0.5-0.5-0.500-0.50-0.50.50.50.5-1-1-1111图2图3图4（ 2） 采用参数方程，选取参数的范围使得区域内的每一点都有定义。对于题目中的球面x cosu sinv有参数方程ysin u sin v, u0, 2 , v 0

6、, ，我们输入命令：z1cosv2ParametricPlot3DCosuSinv , SinuSinv ,1Cos v,u, 0,2Pi, v,Pi, PlotPoints300,2运行后得图形5。我们还可以改变参数的范围画出上半球面的3 部分（如图6）：4ParametricPlot3DCosuSinv , SinuSinv ,1Cos v,u, 0,3Pi2 ,v, 0,Pi2, PlotPoints30221.751.751.511.511.250.51.250.51100-1-1-0.5-0.5-0.5-0.5000.50.5-1-111图 5图 63、 空间图形的叠加与平面图形类似

7、，空间的立体图形同样可用“Show”命令，把不同的图形（曲线或曲面）叠加并在一个坐标系中显示出来。例 3 画出由旋转抛物面 z x2y2 与上半球面 z1 1 x 2y2 相交所围成的立体几何图形。解：这是一个组合图形。一般地，直接画出两者的图形再组合在一起。但是，这里所要的图形仅仅是两个曲面图形的一部分，因此需要有选择地画出两曲面的相应部分再组合。由于它x 2y21们的交线为，故相应的曲面部分的参数方程为：z1xr costxcosu sin vyr sin t , t0,2, r0,1与ysin u sin v, u0, 2, v 0, 。zr 2z1cosv2输入以下 Mathemati

8、ca 语句：t1ParametricPlot3Dr Cost ,rSint, r2 ,t,0,2Pi,r, 0,1 ,PlotPoints30;t2ParametricPlot3DCos uSinv,SinuSinv ,1Cosv,u, 0,2Pi , v,0,PiPlotPoints30;,2Showt1,t2运行后即得旋转抛物面、上半球面及叠加曲面的图形（图7）。10.50-0.5-12121.50.750.51.751110.251.50.51.250.50.501-10-100-0.5-0.5-0.5-100-0.5-0.500.50.5-11-10.511图 7例 4 绘制由曲面 z

9、 x 2 y 2、 x y2、 x 1与 z 0 所围成的立体区域。解：输入命令：s1ParametricPlot3Du,v,u 2v 2 ,u, 1, 1 ,v,1,2 ,PlotRange0,2,AxesLabel"X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity;s2ParametricPlot3Du2,u,v,u,1,1 ,v, 0, 2 , AxesLabel"X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity;s3Parame

10、tricPlot3D1,u,v,u,1,1,v, 0, 2 , AxesLabel"X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity;Y0-211.5Z 10.50-1-0.521s4ParametricPlot3Du,v,0 ,u,1,1 ,v,1,1 , AxesLabel"X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity;Show s1,s2,s3,s4,DisplayFunction$DisplayFunction0X0.51图

11、 8在上述语句中，选项“DisplayFunctionIdentity”表示不显示图形，而“DisplayFunction$DisplayFunction”则表示显示图形。运行结果如图8 。4用动画来演示产生旋转曲面的过程。例 5用动画演示由曲线ysin z, z0, 绕 z 轴旋转产生旋转曲面的过程。解 ： 该 曲 线 绕 绕 z 轴 旋 转 产 生 的 曲 面 方 程 为 x 2y 2sin 2 z ， 其 参 数 方 程 为xsin z cosuysin z sin u, z 0, u 0,2 ，输入以下命令，就可得到连续变化的20 幅图形：zzm20;Fori1,im,i,Parame

12、tricPlot3DSin zCos u , SinzSin u ,z,z,0, Pi,u,0,2Pi i m , AspectRatio1, AxesLabel"X","Y","Z",PlotPoints30运行后得到20 幅曲面的图形，图8 中列举了其中的三幅。大家还可以进行动画演示，观察到旋转曲面产生的过程。-1X1-0.5YX0.50000.50.250.5Y1-1X10.80.750.75-0.5Y0.61-0.50.40.5000.20.250.51-10333222ZZZ111000图 8实验习题1、 作出各种标准二次曲

13、面的图形。2、 利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体：（1）z1x2y2 、x 2y 2x 及 xOy 面（ 2） z xy、 x y 1 0 及 z 03、观察二次曲面族 z x 2y 2kxy 的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。实验二无穷级数与函数逼近本实验的目的是用 Mathematica 显示级数部分和的变化趋势； 学会如何利用幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算；展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。1、 级数部分和的变化趋势在实验一中，我们通过图形能够清楚地显示极限的变化趋势，而级数的和就是部分和序列的极限，下面我们采用散点图来观察级数部分和序列的变化趋势。例 1 观察级数( 1) n 1的部分和序列的变化趋势，并求和。n 12n 1解：（ 1）可以用以下两种方法，从图形来观察级数的敛散性。（a）利用“ Table”命令生成部分和数列的数据点集后作点图，输入语句如下：sn_ :1k11,n;Sum2 k1, k,dataT