高等数学向量代数与空间解析几何题

1、第五章向量代数与空间解析几何5.1.1向量的概念_例 1在平行四边形ABCD 中，设 AB a， AD b。试用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、_MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点（图5 8）_解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a b AC 2 AM_即 （ a b） 2 MA_于是1（a b）。MA 2_1 （ a b）.因为 MC MA ，所以 MC图 582_1（ a b）.又因 a b BD 2MD ，所以 MD 1（ b a）.由于 MB MD ，MB 22例 2设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域， 液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）

2、v。设 n 为垂直于 S 的单位向量（图5 11（ a），计算单位时间经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为） .（ a）（ b）图 511解该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v 与为| v |cos,体积为A| v |cos=Av· n.从而，单位时间经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量为n 的夹角，所以这柱体的高P=Av· n.例3设ABC 的三条边分别是a、 b、 c(图5 15)，试用向量运算证明正弦定理abcsin Asin Bsin C证明注意到CB =CA+AB ,故有CBCA =(CA+AB)CA =CACA+ABCA=A

3、BCA=AB(CB+BA) =ABCB图 515于是得到CBCA =ABCA =ABCB从而|CBCA |=|ABCA| =|ABCB|即absinC cbsinA casinB所以abcsin Asin BsinC5.2 点的坐标与向量的坐标例 1已知点 A(4,1,7)、 B(-3,5,0) ，在 y 轴上求一点 M，使得 |MA |=|MB|.解因为点在 y 轴上，故设其坐标为M (0, y,0)，则由两点间的距离公式，有(40)2(1y)2(70)2(3 0)2(5 y)2(0 0)2解得 y4 ，故所求点为M (0, 4,0)例 2求证以 M 1 (4,3,1)、 M 2 ( 7,1

4、,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为|M1M2 |2(74) 2(13) 2(21)214|M2M3|2(57)2(2 1)2(32)26|M3M1 |2 (45) 2(32)2(13)26所以 |M2M3 | |M3M1 |，即 M1M 2M3为等腰三角形 .向量运算的坐标表示例 3 设有点 M 1( x1 , y1, z1 ) ， M 2 (x2 , y2 , z2 ) ，求向量 M 1 M 2 的坐标表示式。解 由于 M 1M 2OM 2OM 1 ，而 OM 1( x1 , y1, z1 ) ， OM 2(x2 , y2 , z2 ) ，于是OM

5、2OM 1( x2 , y2, z2 )(x1, y1 , z1 )(x2x1 , y2y1 , z2z1 )即M 1M 2( x2x1, y2y1, z2z1)_例 4已知两点A（ 4， 0， 5）和 B（ 7，1， 3），求与 AB 方向相同的单位向量e.解因为_AB OB OA （ 7， 1， 3）（ 4， 0， 5）（ 3， 1, 2），_所以AB3212( 2)214，于是eAB1 (3,1, 2) .| AB|14例 55x3 ya求解以向量为未知元的线性方程组2 y其中 a（ 2,1,2）， b=(-1,1,-2).3xb解解此方程组得x=2a3b , y =3 a5b以 a，

6、b 代入，即得x=2(2,1,2) 3(1,1, 2)=(7, 1,10)y=3(2,1,2) 5( 1,1, 2)=(11, 2,16).例 6已知两点 A ( x1, y1, z1) 和 B ( x2, y2 , z2 ) 以及实数1 ，在直线 AB 上求点 M，使_AMMB .解如图 7 13 所示 .由于_AM OM OA，MB OB OM ，_因此OMOA（OBOM ），_1_从而OM（ OAOB ）.1_以 OA 、 OB 的坐标（即点A、点 B 的坐标）代入图 713_x1x2 , y1y2 , z1z2OM111本例中的点 M 称为定比分点，特别地当1时，得线段 AB 的中点为

7、M x1x2 , y1y2 , z1z2.222_例 7已知两点 M 1(2,2,2) 和 M 2 (1,3,0) ，计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角 ._解M1M2（ 12, 3 2,0 2 ）=( 1, 1,2 );_|M1M 2 |= ( 1)212(2) 2=11242 ;cos1 ,cos1 , cos2;2222 ,3.334例 8 已知三点 M( 1, 1, 1)、A( 2, 2, 1) 和 B( 2, 1, 2),求 AMB .解 作向量 MA ， MB ，则 AMB 为向量 MA 与 MB 的夹角 . 这时 MA =( 1, 1, 0) ，MB =( 1, 0

8、, 1) ，从而MA ? MB =11+10+01=1;|MA|= 1212022 ;MB= 1202122 .从而MA MB11cosAMB =22,|MA |MB |2由此得AMB .3例 9设立方体得一条对角线为OM，一条棱为 OA，且|OA| =a，求 OA在方向 OM 上的投影 prjOA .OM解如图 5 21 所示，记 MOA ，有cos|OA |1，|OM |3于是prj OA OA cosa图 521.O M3例 10设 a（ 2， 1， 1）， b（ 1， 1，2），计算 ab.ijk解a b 211 i -5 j -3k .1 1 2例 11 已知三角形 ABC 的顶点分

9、别是 A（ 1， 2，3）、 B（ 3， 4，5）、和 C（ 2， 4， 7），求三角形 ABC 的面积 .解由向量积对于，可知三角形ABC 的面积S ABC1 | AB | AC |sin A21|ABAC|2由于 | AB |（ 2， 2，2）， | AC| （ 1，2， 4），因此ijkAB AC2224i - 6 j2k,124于是S ABC1| 4i - 6 j 2k142(6) 22214.22例 12设刚体以等角速度绕 l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度 .解 刚体绕 l 轴旋转时，我们可以用在l 轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出： 即以

10、右手握住 l 轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图 5 22） .图 522设点 M 到旋转轴 l 轴上任取一点O 做向量 r OM ，并以 表示与 r 的夹角，那么a=| r |sin .设线速度为 v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v 的大小为| r |sin ;| v |=| | a=|v 的方向垂直于通过点 M 的与 l轴的平面，即v 垂直于 与 r ；又 v 的指向是使 、 r 、 v 符合右手规则，因此有 v= r .例 13已知不在一平面上的四点：A （ x1, y1 , z1 ）、B（ x2 , y2 , z2 ）、 C（ x3

11、 , y3, z3 ）、D（ x4 , y4, z4 ） . 求四面体ABCD 的体积 .解 由立体几何知道，四面体的体积 VT 等于以向量 AB 、 AC 和 AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一 . 因而1VT =|AB AC AD|.由于AB = ( x2x1, y2y1, z2z1) ,AC = ( x3x1, y3y1, z3z1) ,AD = ( x4x1, y4y1, z4z1)所以x2x1y2y1z2z1VT =1 x3x1y3y1z3z16x1y4y1z4z1x4上式中符号的选择必须和行列式的符号一致.5.3空间的平面与直线平面例 1 已知空间两点M 1 (1,2, 1)

12、和 M 2 (3, 1,2) ，求经过点 M 1 且与直线 M 1M 2 垂直的平面方程。解 显然 M 1M 2 就是平面的一个法向量M1M 2(3 1,12,21)(2, 3,3)由点法式方程可得所求平面的方程为2( x1)3( y2)3( z 1)0即2x 3y 3z 7 0例 2求过三点 M1 （2， 1，4）、 M 2 （ 1，3， 2）和 M 3 （ 0， 2，3）的平面的方程。解先找出这平面的法线向量n. 由于向量 n 与向量 M 1M 2 、M 1M 3都垂直，而 M1M 2（ 3， 4， 6）， M M3（ 2，3， 1），所以可取它们的向量积为n：1ijkn M 1M 2M1

13、M3 346 14i 9j k,231根据平面的点法式方程（1），得所求平面的方程为4) 0，14(x2) 9(y 1) (z即14x 9yz 15 0.例 3设一平面与 x，y，z 轴的交点依次为P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三点（图5 24），求这平面的方程（其中a0， b0， c0） .解设所求的平面的方程为Ax+By+ Cz+ D= 0.因 P(a， 0， 0)、Q(0， b，0)、 R(0， 0， c)三点都在平面上，所以点 P、 Q、R 的坐标都满足方程（ 2）；即有aAD0,bBD0,cCD0,得 AD , BD ,CD .abc以此代入（ 2）并除以 D

14、（D 0），便得所求的平面方程为图 524xyz 1(5)abc方程（ 5）叫做平面的截距式方程，而a、 b、 c 依次叫做平面在x、 y、z 轴上的截距 .例 4 因平面通过z 轴及点（ 1， 2， 3）的平面方程。解 因平面通过z 轴，故可设其方程为AxBy 0又因（ 1， 2， 3）点在平面上，将其坐标代入方程，则有A2B0，即 A 2B故所求平面方程为2Bx By 0，即 2x y 0例 5 设平面的方程为3x 2y z5 0，求经过坐标原点且与平行的平面方程。解显然所求平面与平面有相同的法向量n（ 3， 2， 1），又所求平面经过原点，故它的方程为3x 2y z 0空间直线例 6 求

15、经过两点M 1 ( x1, y1 , z1) 和 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 的直线方程。解 该直线的方向向量可取n= M 1M 2( x2x1, y2y1, z2z1 ) 。由点法式方程立即得到所求直线的方程xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1该方程称为直线的两点式方程。例 7 用直线的对称式方程及参数式方程表示直线x y z 1 0,（ 4）2xy3z40.解 易得（ 1， 0， 2）为直线上的一点。直线的方向向量为两平面的法线向量的向量积，从而ijks= 1114i j - 3k.213因此，所给直线的对称式方程为x1y z2413令x 1yz241=t，3得所给直线的

16、参数方程为x14t,y t,z 2 3t.点、平面、直线的位置关系1 点到平面的距离例 8 求两个平行平面1 : z 2x2 y1，2 : 4x4 y2z3 0 之间的距离。解 在平面 1上任取一点 M (0,0,1) ，则两平面间的距离d 就是点 M 到 2 的距离， 于是d =4040213142(4)2(2)262 点到直线的距离例 9 求点 M (1,2,3) 到直线 L ： x2y2z的距离35解 由直线方程知点 M 0 ( 2,2,0) 在 L 上，且 L 的方向向量 s=(1,-3,5) 。从而M 0 M( 1,0,3)ijkM 0M s1 03 9i 8 j 3k135代入（

17、11），得点 M 到 L 的距离为| M 0M 1 s |92823222d( 3)252| s |1253. 两平面之间的夹角例 10 一平面通过两点M1(1, 1,1)和 M 2(0, 1,1)且垂直于平面x+y+z =0 ，求它的方程 .解 设所求平面的一个法线向量为n （ A， B，C） .因 M 1M 2 ( 1，0， 2)在所求平面上，它必与n 垂直，所以有 A 2C=0(7)又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.(8)由（ 7）、（ 8）得到A= 2C，B C.由点法式，平面方程为A(x1)+ B(y1)+ C(z 1)=0.将 A= 2C， B C

18、 代入上式，并约去 C(C0)，便得 2(x1)+( y1)+( z1)=0 或 2x yz 0.这就是所求的平面方程.4 两直线的夹角例 11 求直线 L1: x 1yz3和L2： xy 2z141221的夹角 .解直线 L1 的方向向量s1 =(1, 4，1)，L2 的方向向量s 2 =(2, 2, 1).设直线 L1 和 L2 的夹角为，那么由公式（5）有cos |1 2( 4)( 2)1 (1) |1 ，故.12( 4)21222( 2)2( 1)2245. 直线与平面的夹角例 12 求过点（ 1， 2，4）且与平面2x 3yz 4 0 垂直的直线方程。解 因为直线垂直于平面， 所以平

19、面的法线向量即为直线的方向向量， 从而所求直线的方程为x1y2z 423.16平面束例 13求直线xyz10,在平面 x+y+z =0 上的投影直线的方程 .xyz10xyz10,解过直线xyz10的平面束的方程为( x y z 1)( x y z 1) 0即(1)x(1) y ( 1) z ( 1 ) 0 ，（14）其中为待定系数。这平面与平面x+y+z =0 垂直的条件是(1)1 (1)1(1 )10，即1.代入（ 14）式，得投影平面的方程为2 y2z20即yz10 .所以投影直线的方程为yz10,xyz0.7杂例例 14求与两平面 x4z 3 和 2xy5z1 的交线平行且过点（3，2

20、，5）得直线方程解 因为所求直线与两平面的交线平行， 所以其方向向量 s 一定同时垂直于两平面的法向量 n 1 、 n 2 ，所以可以取ijks=n 1 n 2 104 = (4i+ 3j +k) ，215因此所求直线方程为x3y2z5431.x2y3z4 与平面 2x+y+z 6=0 的交点 .例 15 求直线112-解 所给直线的参数方程为x= 2+t， y=3+t ， z=4+2t，代入平面方程中，得2(2+t)+(3+ t)+(4+2 t)- 6=0.得 t=- 1,代入参数方程得交点为x=1， y=2， z=2.例 16 求过点（ 2， 1， 3）且与直线x1y 1z 垂直相交的直线

21、的方程 .321过点（ 2， 1， 3）且垂直于已知直线的平面方程为3(x- 2)+2( y- 1)- (z- 3)=0(9)已知直线的参数方程为x=- 1+3t， y=1+2t， z=- t.(10)将（ 10）代入（ 9）求得 t3，从而求得直线与平面的交点为2 ,13,3.7777以点（ 2， 1， 3）为起点，点2 ,13 , 3 为终点的向量77722, 131,336(2,1,4)7777这就是所求直线的方向向量，故所求直线的方程为x22y1z 3.145.4曲面与曲线曲面、曲线的方程例 1建立球心在点M 0 ( x0 ,y 0 ,z0 ) 、半径为 R 的球面的方程 .解设 M（

22、 x， y， z）是球面上的任一点（图5-31），那么| M 0 M |=R.由于| M 0 M |=(xx0 ) 2( yy0 ) 2(zz0 ) 2 ，所以( xx0 ) 2( yy0 ) 2( zz0 ) 2R 2（ 2）这就是球心在M 0 ( x0 ,y 0 ,z0 ) 、半径为 R 的球面的方程。如果球心在原点，这时x0y0z00 ，从而球面方程为x2y 2z 2R 2 .例 2 设有点 A（ 1， 2， 3）和 B（ 2， -1 ，4），求线段AB的垂直平分面的方程.解由题意知，所求的平面就是与A 和 B等距离的点的几何轨迹。设M（ x，y， z）为所求平面上的任一点，由于|AM

23、|=|BM |，所以( x1) 2( y2) 2(z3)2=(x 2)2( y 1) 2( z 4) 2等式两边平方，然后化简便得2x -6y + 2z 7=0例 3方程 x2y 2z22x4 y0 表示怎样的曲面？解通过配方，原方程可以改写成( x1) 2( y2) 2z25 ，与（ 2）式比较知原方程表示球心在点M 0 (1, 2,0) 、半径为 R=5的球面.例 4方程组x2y2z24表示怎样的曲线？z 1解方程组中第一个方程表示球心在原点，半径为2 的球面。 而方程组中的第二个方程表示一个垂直于 z 轴的平面，因此他们的交线为一个园，如图5-33 所示。图 532图 533xx(t )

24、,方程组yy(t ),（2）当给定 tt1 时，就得到 C 上的一个点 ( x1 , y1 , z1 ) ；zz(t ).随着 t 得变动便可得曲线C 上的全部点。方程组（2）叫做空间曲线的参数方程。例 5 如果空间一点M 在圆柱面 x2y 2a2 上以角速度绕 z 轴旋转， 同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线 .试建立其参数方程 .解 取时间 t 为参数 .设当 t=0 时，动点位于 x 轴上的一点 A（ a，0，0）处 . 经过时间 t，动点由 A 运动到 M（x， y， z）（图 5-34） .记 M 在 xOy 面上

25、的投影为 M的坐标为 x， y， 0.由于动点在圆柱面上以角速度绕 z 轴旋转，所以经过时间t， AOM =t。从而x= |OM|cosAOM =acost, y=|OM |sin AOM = asint.由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升，所以z=M M= vt。xa cost ,因此螺旋线的参数方程为ya sint,也可以用其他变量作参zvt.xa cos ,数；例如令t ，则螺旋线的参数方程可写为yasin,zb .这里 b，而参数为 .v当 OM 转过一周时， 螺旋线上的点M 上升固定的高度 h2 b .这个高度在工程技术上叫做螺距 .图 534柱面、旋转面和锥面1.柱

26、面例 6 方程 x2y 2R 2在 xO y 面上表示圆心在原点O、半径为 R 的圆，在空间中表示圆柱面（图 5-35），它可以看作是平行于z 轴的直线 l 沿 xO y 面上的圆 x 2y 2R2 移动而形成的。这曲面叫做圆柱面（图5-35 ），xO y 面上的圆 x 2y2R2 叫做它的准线，这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线 .例 7 将 xOz 坐标面上的双曲线x 2z21 ，分别绕 z 轴和 x 轴旋转一周，求所生a 2c2成的旋转曲面的方程 .解 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面（图5-41 ），它的方程为x2y2z21 .a 2c 2图 541图 5 42绕

27、x 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面（图5-42），它的方程为x2y 2z2a2c 21.3锥面例 9 求顶点在原点，准线为x2y2a2b21的锥面方程。图 543zc(c 0)解设 M(x, y, z) 为锥面上任一点， 过原点与 M 的直线与平面z=c 交于点 M 1 (x1, y1 ,c)（图 5-44），则有x12y12a2b2 1由于 OM 与 OM 1 共线，故xyzx1y1c既有 x1cx ， y1cy ，代入 x12y121，整理得zza2b2x2y2z2（ 6）a2b2c2这就是所求锥面的方程，该锥面称为椭圆锥面图 544二次曲面通常将三元二次方程 F（ x， y， z

28、）=0 所表示的曲面称为二次曲面。而把平面称为一次曲面 . 二次曲面有九种，它们的标准方程如下（ 1）椭圆锥面x 2y 2z2（图 5 45）（2）椭球面x 2y 2z21a 2b 2a 2b 2c2图 545图 546（3）单叶双曲面x2y2z2x 2y 2z21ab21（ 4）双叶双曲面b 2c 22c 2a2（5）椭圆抛物面x2y2z （图5 46） （ 6）双曲抛物面x2y2z （图 5 47）a2b2a 2b2（7）椭圆柱面x 2y21（8）双曲柱面x 2y21a2b2a2b2（9）抛物柱面x 2ay图 546图 547空间几何图形举例例 10 已知两球面的方程为x 2y 2z21（

29、 7）和x2( y 1) 2( z 1) 21（ 8）求它们的交线 C 在 xO y 面上的投影方程 .解 （7） -（ 8）得 y + z=1.将 z=1 y 代入（ 7）或（ 8）得所求柱面方程为x 22 y 22 y 0. 于是投影方程为x22y 22 y0,z0.例 11设一个立体由上半球z4x 2y 2 和锥面 z3( x 2y2 ) 所围成（图 5-48），求它在xO y面上的投影 .解半球面和锥面的交线为C：z4x2y2 ,由 上 列 方 程 组 消 去z ， 得 到z3(x 2y 2 ).x 2y 21,xO y 面上的投影，就是该圆在z0.，这是 xO y 面上的一个圆，于是

30、所求立体在xO y 面上的一个圆，图 5-48于是所求立体 xO y 面上的投影，就是该圆在xO y 面上所围的部分： x2y21 。习题课例 1已知 AB (- 3，0， 4)， AC （ 5，- 2，- 14），求 BAC角平分线上的单位向量 .解由平面几何的知识知，菱形对角线平分顶角，因此，只要在AB、 AC 上分别取点，使 |AB|=|AC|, 则B 、 CADABAC ，即为 BAC 的分角线向量，特别地取AB 、 AC 为单位向量，则AB 1AB 1 (3,0,4) ，|AB|5AC1AC 1（ 5,- 2,- 14）|AC|15于是AD 1 (3,0,4) 1（5,- 2,- 1

31、4） 1(-4, -2, -2)= -2 (2,1,1)5151515其单位向量为AD1 (2,1,1)|AD|6例 2设 a+3b 和 7a- 5b 垂直， a-4 b 和 7a-2 b 垂直，求非零向量a 与 b 的夹角 .解 由a+ 3b7a- 5b， a-4 b 7a-2 b得(a+ 3b) ?( 7a- 5b)=7|a| 2 +16a?b - 16|b| 2 =0(1)(a-4 b) ?( 7a-2 b)= 7|a|2 -30 a?b +8 |b| 2=0(2)(1)-(2)得2a?b |b| 2即 2|a|b|cos( a,b )=|b| 2 ,从而 cos( a,b ) | b |.2 | a |（1）8（ 2）15，得161|a| 2 322 a?b，得 cos( a,b ) | a |.2 | b |由| b | | a | ，推得 |a| |b|.所以 cos( a, b )=1( a,b ) .2 | a |2 | b |23例 3 已知 |a| 13， |b| 19， |a+b|=24，求 |a b|.解|a+b| 2 (a+b)?( a+b)= |a| 2 +2a?b+ |b| 2又|a b| 2 (a b)?( a b)= |a| 2 2a?b+ |b| 2两式相加 ,得|a