高等数学试题及答案代数与解析几何

1、高等代数课程试卷及参考答案代数与解读几何试卷（一）一、计算（ 20 分）1351x aaa5272ax aa1）1412）23463aax a二、证明：（ 20 分）1）若向量组2）若向量组1 n 线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。1n 中部分向量线性相关，则向量组1n 必线性相关三、（ 15或 0。分）已知 A 为 n 阶方阵 A 为 A 的伴随阵，则 |A|=0， A 的秩为 1四、（ 10分）设 A 为 n 阶阵，求证， rank（A+I ） +rank（A-I ） n五、（ 15分）求基础解系x1x2x3x40x1x2x33x40x1x22x33x40六、（ 10 分）不含零向量

2、的正交向量组是线性无关的七、（ 10 分）求证 ABC 的正弦正定理abcsin Asin Bsin C答案(一)一、 1）-1262） x (n2)a( x2a) n 1二、证明：1） 1n 线性无关，1r 是其部分向量组，若存在不全为0 的数 k1kr使k11kr r 0则取kr 1kr 2kn0，则k1 1krr0 r 10 n0，则可知 1n 线 性相 关 矛 盾， 所以1 r 必线性无关。2）已知1r 是向量组中1n 中的部分向量，且线性相关即k1kr 不1 / 8全 为 0 ，使 k1 1krr0 ， 取 kr 1k n0，于是有不全为 0 的k1 k r 00 ，使 k11krr

3、0 r 10 n 0 即1n 线性相关。| A |三、证明：| A |A|IAA| A |由于 |A|=0 ，A 的秩 n-1）若A的秩为n-1，则中的各元素为A 的所有 n-1 阶子式，必有一个子式1A不为 0，又由于AX=0 齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（ n-A 的各列都是1） = 1，由此 A 的秩为 1。）若的秩，则n-1 阶子式全为 0，即，中的所有 A 的A的秩为2An-1A=0A0。四、证明：对任意n 级方阵 A 与 B，有rank（ A+B） rank（ A） +rank （ B）又 rank（ A I） =rank（ A I ） =rank（ I A） rank （

4、 A+I ） +（ I A） = rank（2I） = rank（ I ） =n rank（ A+I ） +rank（ I A）=rank（ A+I ） +rank（ AI ）五、1111110110A 1113001x22 取,基础解系1123000x40101110102201六、证明：设 e1e2en 是正交向量组，且不含空向量。若有k1e1k2 e2kn en则 (k1e2knen,ei)(, ei)0且(k1e2knen , ei )ki (ei ei)0i1n(ei ei )0ki0,i1n 即e1en 线性无关2 / 8七、证明：如图：aba(ca)acbc(ca)cacA| a

5、b |ab sin C c b| ac |bcsin B| bc |bcsin ABaCbc sin Aab sin Cac sin Babcsin Asin Bsin C代数与解读几何试卷（二）一、计算：（ 20 分）1b100010021 1 b1b200300401 1 b2001）4132）512340001 bn 1bn00011 bn二、（ 20 分）若一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余n-1 个向量的线性组合。三、（ 10 分）若 S1 与 S2 是线性空间V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，使Sii1,2四、（ 10 分）求基础解系3x1x26x3

6、4x42 x502x12x23x35x43x50x15x26x38x46x50五、（ 15 分）证明：含有n 个未知数的 n+1 方程的方程组3 / 8a11 x1a12 x2a1n xnb1a21 x1a22 x2a2 n xnb2有解的必要条件是行列式an1 x1an2 x2ann xnbnan 11 x1an 12 x2an 1n xnbn 1a11a1nb1a21a2nb20 但这一条件不充分，试举一反例。an1annbnan 11ann nbn 1六、（ 15 分）设 V 是 n 维欧氏空间V,0，求 | () 0,V的维数为 n-1。七、（ 10 分）设 ABC 的三条中线的交点为

7、 O，求证： OAOBOC0答案(二)一、 1）-602） 1二、证明：若相关， Nwh 不全为0 的数 k1kn 使 k11kn n0 设 ki 不等 0，于是 kiik11ki1 i 1ki 1i 1k1ki1ki 1iki1kiii 1若有一个向量表示其余之向量n-1 个向量的组合1k1 1kii 1ki 1 i 1knn有k1 1kii 1iki 1 i 1knn三、证明：设1S1 ,1S2 ,2S2, 2S1，则 12，则S1,S2否则S1 有21S1 矛盾，若S2 有1S2 S2 矛盾。四、解：4 / 81093131642444A2235301375444156860000093

8、1444x3100375x40,1,014, 24, 34x5001100010001五、解：若有解：则把系数阵各列看作列向量有：x1b1( 1n )， 即1n线性相关，于是有D=0，反之不成立xnbn 12xy 12112xy2有 2120但无解。2xy2212六、证明：非空间且1 , 22有 （ k1 1k2 2）k (1 )k2 (2 )000是子空间。把扩充为 V 的一组基1 2n ，把这组基正交化，1e1 , e2en有ei ，eii2n ，即的维数为n-1七、证明：如图A已知 O 是 ABC 三条中线的交点，由向量加法有EAD1(ABAC)F OC2BF1 (BABC )BD2CF

9、1 (CACB)22 AD ,OB2 BE, OC2CF AC又OA333OAOBOC2(ADBECF )35 / 8又 APBECF1(AB AC BA BC CA CB)1 0 022OAOBOC0代数与解读几何试卷（三）一、计算：（ 20 分）123011140xx23411x0x1）412） 1324123xx01二、（ 10 分）若一个不含零向量的向量组成线性相关，则至少有两个向量是其余向量的线性组合。三、（ 20 分）若 S1S2Sm 是线性空间 V（F ）的真子空间，求证到存在一个向量，使 iSi (i1m)四、（ 15分）求证： 1）A2=A，求证：为对合阵P=2A I五、（

10、102） A 为 2n+1 阶方阵，且 A=A，求证 |A|=0分）求基础解系x1x2x3x40x1x2x3x402x12x22x32x40六、（ 10 分）若A 为n 阶方阵，若对任意的一列矩阵X ，均有AX=0，求证A为零阵七、（ 15 分）设e1en 是n 维欧氏空间V 的标准正交基，1k 是V 中k 个向量，若1k 两两正交，则必有n(i es )(j es )0 i , j1k ,ijs 1答案(三)一、 1） 1602） ( 1) n 1 ( n1) xn 2二、证明：1n 线性相关，且不含0 向量，则有一组不全为0的数 k1k n 使k1 1kn n，因为至少有一个ki 0有6

11、/ 8kik1 1knk1kbk j全为inik 21n 若其余的 n 一个系数kiki0，则矛盾，故必有至少有一个k j0,i j 于是 jk1kni1k jnk j即至少有两个向量是其余向量的线性结合。三、证明：用归纳法，当n2 命题成立（由习题4）解设为： nk 的命题，当 n k 1时，由归纳假定存在Si (i1 k )若Sk 1 则命题成立。若Sk 1，则由 Sk 1为真子空间，有Sk 1 ，此时有k，使 kr S ，否则kr Sk 1 ， 则kSk 1 同 时 ， 对 不 同 的 k1 , k2不 含 有 k1与k 2同属于一个Si (i1k) 反之，若 k1Si , k2Si有

12、(k1k 2 )Si 中的所有ki(i1k) ，于是这样的k，有 kSi (i1k1)A2A四、证明： 1） P2(2A I )(2AI )4A24 A IIP 为对合阵2） A 为 2n+1 阶方阵，且 AA有 AA(1)2 n1 AA又 AA即 AA , A0五、解：1111101x310A111 10 1 01 令有x40,222200001100,1112001100六、证明： A 对任意一列矩阵X 均有 AX=0，取 X 10 ,X21X n于000是，,0 ，则 A=0A X1X 2X nAI7 / 8七、设 e1en 是 n 维欧氏空间V 的标准正交基1k 是 V 中 k 个向量，若