九章节多元函数微分法及其应用PPT学习教案

1、会计学1九章节多元函数微分法及其应用九章节多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念一、平面点集 n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第1页/共44页一、平面点集 n 维空间1、平面点集 坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作 E,| ),(RyRxyx 2R坐标平面：建立了直角坐标系的平面),( | ),(pyxyx具有性质),(yx点P第2页/共44页以点P表示(x , y)，|OP|表示点P到原点O的距离，那么| |rOPP C=| ),(222ryxyxC 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是xyorC第3页/共44页，即记为

2、，邻域的的全体，称为点的点距离小于是某一正数，与点平面上的一个点，是设),(),(),(),(00000000 PUPyxPyxPxOyyxP |),(00 PPPPU )()(),( 220 oyyxxyx邻域：0P xyo第4页/共44页)(0PU去心邻域 ),(00 PU|0 PPP 0 )()(0),( 220 oyyxxyx第5页/共44页2R2RE 平面点集设P为坐标平面上的一点，那么，点P与集E之间有怎样的关系？只有下面三种关系。第6页/共44页(1)内点:如果存在点P的某个邻域 ，使得 则称P为E的内点.,)(EPU )(PU)(EE的内点一定属于PE第7页/共44页(2)外点

3、：如果存在点P的某个邻域 ，使得 ，则称P为E的外点. EPU)()(PU)(EE的外点一定不属于PE第8页/共44页(3)边界点：如果点P的任一邻域内既含有属于E的点，也含有不属于E的点，则称P为E的边界点. PE第9页/共44页E E的边界点的全体称为E的边界，记为 .),(EEE也可能不属于的边界点可能属于21 | ),(221 yxyxE例xyo121E,求1E的内点和边界点第10页/共44页聚点：如果对于任意给定的 ，点P的去心邻域 内总有E中的点，则称P是E的聚点.0 ),( PU可能第11页/共44页2| ),(22 0 2 yxyxE例xyo22E2E点)0 , 0(是的聚点，

4、但)0 , 0(2E 圆周222 yx上的点都是2E的聚点，也属于 2E.第12页/共44页的聚点的内点一定是EE的聚点也可能不是的聚点，的边界点可能是EEE说明第13页/共44页开集: 如果点集E的每一点都是内点，则称E为开集.21),( 22 yxyxE3:例如，的每个点都是内点内点它的它的3E.为开集开集3Exyo123E第14页/共44页闭集：如果点集E的余集 为开集，则称E为闭集.cExyo124E21),( 22 yxyxE4:例如21| ),(2222 yxyxyxEc或4.为闭闭集集4E为开集第15页/共44页连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都

5、属于E，则称E为连通集.区域(或开区域)：连通的开集称为区域（或开区域).21),( 22 yxyxE3:例如是开集，又是连通集.是区域3E第16页/共44页闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.21),( 22 yxyxE4:例如.是闭区域第17页/共44页有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得 ，其中O是坐标原点，则称E为有界集.),(rOUE 无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.第18页/共44页集合21| ),(224 yxyxE是有界闭区域例如，xyo124E第19页/共44页集合是无界开区域例如，0| ),(5 yxyxExyxy 第20页

6、/共44页集合是无界闭区域例如，0| ),(6 yxyxExyxy 第21页/共44页2、n维空间为自然数，设n即的全体所构成的集合，),.,(21nxxx元有序实数组表示用nRn,.,2 , 1,| ),.,(21niRxxxxRinn 中的元素2R平面上的点在解析几何中，我们知道中的元素3R空间中的点类似地，),.,(21nnxxxxR 中的元素将.维向量中的一个点或一个也称为nRn第22页/共44页 yx x ),(2211nnyxyxyx ),(21nxxx 规定中任意两个元素，为设,),.,(),.,(2121RRyyyyxxxxnnn .维空间维空间称为称为集合集合这样定义了线性运

7、算的这样定义了线性运算的nRn第23页/共44页 ),(yx 规定规定记为记为之间的距离之间的距离和和中的点中的点),(,),.,(),.,(2121yxyyyyxxxxRnnn 2222211)()()(nnxyxyxy x22221nxxxx 记作记作之间的距离之间的距离与零元与零元中的元素中的元素)0 ,(0),(21xxxxxRnn ，即即记记作作中中，通通常常将将在在),(321xxRRR第24页/共44页采用这一记号，结合向量的线性运算，得2222211)()()(nnyxyxyx yx),(yx 第25页/共44页0 axnnnnRaaaaRxxxx ),(),(2121 在n维

8、空间 中定义了距离以后，就可以定义 中变元的极限：nRnR则称变元 在 中趋于固定元 ，记作axnRxa如果设第26页/共44页 在n维空间 中定义了距离以后，就可以类似地定义nRnR中的邻域的概念. ),(0 PU),(|0 PPP这样，内点，外点，边界点，聚点，区域等概念都可定义 .聚点的性质：.,00 PPPEEPnn使得中的点列找到的聚点，则一定可以为若点第27页/共44页二、多元函数的概念定义1 设D是 的一个非空子集，称映射 f： 为定义在D上的二元函数，通常记为或点集D称为该函数的定义域，x、y 称为自变量，z 称为因变量。1、二元函数的定义2RDyxyxfz ),(),( ，D

9、PPfz ),(RD 第28页/共44页与自变量x、y的一对值（即二元数组）(x,y)相对应的因变量z的值，称为 f 在点(x,y)处的函数值，记作),(yxf),(yxfz 即记作的值域函数的全体构成的集合称为函数值),(,),(Dffyxf )(Df即),(),(|Dyxyxfzz 第29页/共44页与一元函数类似，记号f 与 f (x,y) 的意义但是，习惯上常用记号),(),(Dyxyxf 来表示D上的二元函数 f .是不同的，),(),(Dyxyxfz 或第30页/共44页 把定义1中的平面点集D换成n维空间 内的点集D，映射 就称为定义在D上的 n元函数，通常记为RDf:Dxxxx

10、xxfunn ),(),(2121 nR.),(),(21DxxxPPfun 也可记为Dxxxxxfun ),(),(21 或简记为第31页/共44页注2一般地，在讨论用算式表达的多元函数时，就以使算式)(xfu )(xfu 有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。注1元函数称为多元函数。时，当元函数就是一元函数；时，当nnnn2 1第32页/共44页例1 矩形的面积和它的长x、宽y的关系为：例2 圆柱体的体积V 和它的底半径R、高h的关系为：,2hRV ,xyS )0,0( hR)0,0( yx第33页/共44页例3 ) 1 ,2(2|:,1)sin(zyxyz求设 )1

11、,(|2z解211)1sin( 2.21 第34页/共44页在上述函数概念中，关键的两点为:(1) 点(x,y)的变化范围，称为定义域；(2) 对应法则，即函数关系.关于函数概念，我们主要研究下面三个问题：(1)求函数的定义域； (2)建立函数关系； (3)求函数值.第35页/共44页注意：二元函数 z=f(x,y)中，自变量在定义域内的取值是独立的，即x的取值与y的取值没有必然的联系.第36页/共44页例4.)(1)2ln(2的定义域求函数yxxyz 要使ln(y2x)有意义，解：即 y2x,)(12 有意义要使yx 11 xyx 即 D所以，定义域：112| ),( xyxxyyx 且, 1| yx须使须使 y2x 0第37页/共44页xyoxy2 1 xy1 xyD第38页/共44页例5 求函数1142222 yxyxz的定义域.4122 yx 即：解：1142222 yxyxz 要使函数有意义，0122 yx须使0422 yx4122 yxyxD| ),( 第39页/共44页2、二元函数的几何意义： 设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应； 当点P(x,y)在D中变动时，点M(x