2.6-运筹学应用实例汇总

1、第六节应用实例一、生产计划问题例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、 丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备每月可利 用的时数如下表所示，求使总利润最大的月度生产计划。每件产品占用的 机时数（小时/件）产品甲产品乙产品丙产品丁设备能力（小时）设备A1.51.02.41.02000设备B1.05.01.03.58000设备C1.53.03 51.05000利润（元/件）5.24臺7308344.18建模思路用线性规划制订使总利润最大的生产计划。设变量Xj为第i种产品的生产件数(i=1, 2,3, 4),目标函数z为相应的生产计划可

2、以获得的总利润。在加工时间以及利润与产 品产量成线性关系的假设下，可以建立如 下的线性规划模型：max z= 5 24X +7.30 x2+8.34*3 +4.18X4目标函数s.t.1.5X+ 1.0 x2+2 4%3+1.0 x42000l.OXj+5 0 x*+ 1.0 x3+36X48000约束条件1.5X,+3 0 x分+36X3+1.0 x40变量非负约束兀 O练习：某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产， 但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司

3、为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件?甲乙丙资源限制铸造工时（小时/件）51078000机加工工时（小时/件）64812000装配工时（小时/件）32210000自产铸件成本（元/件）354外协铸件成木（元/件）56机加工成本（元/件）213装配成本（元/件）322产品售价（元/件）231816解：设坷，可，鬲分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，刃,冯 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙 两种产品的件数。求召的利润：利润二售价-各成本之和产品甲全部自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润 产

4、品乙全部自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润 产品丙的利润=23-0+2+3)=15=23-(5+2+3)=13=18-(5+1+2)=10=18-(6+1+2)=9=16-(4+3+2)=7可得到 坷（i = 1,2, 3,4, 5）的利润分别为15、10、7、13、9通过以上分析，可建立如下的数学模型:二、混合配料问题例：某工厂要川四种介金T, T” T3和1；为原料，经熔 炼成为一种新的不锈钢G。这四种原斜含元素縮(Cr),鎰(Mn)和鎳(Ni)的含量()、四种原料的单价以及 新的不锈钢材料G所耍求的Cr, Mn和Ni的最低含量() 如下表所示，求生产100公斤G总成本最小的配料方案

5、。2G4GCr3.214.532191.763.20Mn2.041.123.574.332.10Ni5.823-064.272.734.30单价(元/公斤)115978276Max15坷 +10兀 +7 7+ 1 3冯+ 9X55坷+10也 +7七W 80006jq +4乃+8 + 6為+4冯W120003坷+2X2+ 2X3+ 3X4+ 2W10000为，X X2i2i3,XyXy冯0目标函数:约束条件:建模思路:设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤 不锈钢G,应选用原料T2, T3和T4各多 少公斤，使总成本最小。设选用原料T2, T3和T4分别为X- x2, x3, X4公斤，根据条

6、件，可建立相应的线性 规划模型。模型min z=115X+97X2+82X3+76X4s.t.0.0321X+0.0453X2+0.0219+0.0176X43.200.0204x,+0.01 12X2+0.0357+0.0433X42.100.0582X+0.0306X2+0.0427X3+0.0273*44.30 xi+X2+X3+X4=100XPX”X3,X4012练习：某厂使用某种7 4m长圆钢下料，制造100套钢架, 一套钢架由直径相同而长度不等（长度分别为2.9、2.1、1.5m）的三种钢料各一个组成，采用什么样的下料方案 可以使用料最少？11考虑下料方案，如下表所示方案12345

7、6782.9m211100002.1m021032101.5m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4142xj + x2+4-x4100 (2.9m)2X2+X3+3*5 +2X6+X7 100 (2.1m)Xj+ 兀3+ 3X4+2X6+3X7+4X8工100 (1.5m)x;0i =1,2 ,8)注意：在建立此类型数学模型时，约束条 件用大于等于号比用等于号要好。因为有 时在套用一些下料方案时可能会多出一根如果用等于号，这一方案就不是可行解了。某种但它可能是最优方案。假讼；(U1.2.8)(U1.2.8)为上

8、面第i种方案下料的原材料根数, 建立如下的数学模型：目标函数：约束三、背包问题例：一只背包最大装载重量为50公斤。现有三 种物品，每种物品数量无限。每种物品每件的重量、 价值如下表所示，要在背包中装入这三种物品各多少 件，使背包中的物品价值最高。物品1物品2物品3重量（公斤/件）104120价值（元/件）177235建模思路设装入物品1,物品2和物品3各为X, x2, x3件，由于物品的件数必须是整数，因此背包 问题的线性规划模型是一个整数规划问题。s.t.IOXJ+41x+2OX30, X, X2, X3是整数B- B2,B3O各供应地的供应：供应地到毎个需求地的单位物资运价如下表所示，求满

9、足各 地需求量和供应量的最小运输成本。运价（元/吨）Bi供应量 （吨）235 535A247825需求量（吨）103020maxz=17+72X9+35X3IlTr例：设某20建模思路这个问题也可以用图解表示，其中节点A1、A2表示 发地，节点B1、B2、B3表示收地，从每一发地到每 一收地都有相应的运输路线，共有6条不同的运输路线。设xij为从供应地Ai运往需求地Bj的物资数量(i=1,2；j=1,2,3) , z为总运费，则总运费最小的线 性规划模型为模型minz=2x i+3X2+5X3+4X2+7X22+8X7s.t.xn+X|2+X|3=35(1)X21+X+X23=25(2)xn+

10、X21=10(3)X12+X22=30Xl3+X23=20(5)xQO五、人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司 乘人员数如下：设司乘人员在各时 间段一开始时上班, 并连续工作8小时，解：设七表示第 i班次时开始上班的司机和乘务人员 数，这样可以建立如下的数学模型：日标函数；Min Z = Xj + x2-x3+x4-x5+x6（XJ+X660XJ+X270 x2+x360I x3+x450班次时间所需人数16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:0030怎样安排既能

11、满足工作需要，又使需要配约束x4+x520 x5+x630no（i=l,26）且为整数24练习：一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分 析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每 周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问 应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少?时间所需售货员人数星期曰28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28Min+X2+ .+ . 禺+ % +可t.X+X2+28X2+再+15+X.+X724+X1+坷三25+坯+X1+坷+X219+X1+坷+X2+31+X+X2+28X2, 三025解：设(

12、 i = 1,2,，7)表示星期一至日开始休 息的人数，这样我们建立如下的数学模型。目标函数:约束条件:26六、广告投资问题例:某企业要在本地电台做广告节目，分早、中、 晚三次播出，广告目标是对老年人和青少年宜传, 一次早上广告需 20 元，估计有 300 位老年人和 200 位青少年听，一次下午广告需 10 元，估计有 100 位老年人和 100 位青少年听，一次晚上广告需 28 元，估计有 100 位老年人和 200位青少年听，该企 业广告节目要求每天至少有 2000 位老年人和 3000 位青少年听，如何安排广告节目的配合比，使之 达到上述要求，又能使广告费最小？25解:设早上、下午、晚上广告次数为 X x2x3,广告费为 Z。可建立如下的数学模型：minZ=20X|+1OX2+28X3300呂+ 100X2+ 100X 2000$丿0例:直缓閔视为改版后的“花儿朵朵”栏目播放两套五中宣传片甲播映时间为 3 分钟 30 秒，广告时间 为 30秒，收视观众为 60 万；宣传片乙播映时间为 1 分钟，广告时间为 1 分钟，收视观众为 20 万。广 告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告，而电视台每 周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目 时间。电讹台每周应挙映