2.2.1函数极限的定义(精)

1、XKx)1 2.0000000000000000125937424601000000. 012. 7048138294215300. 0012.716923932235520_ 0. 00011_2. 718145926824360_ 0. 000011_7182682371923000.000001；2.718280469156430_0. 0000001 _2. 7182816939803700.000000012.7182817863958000.0000000012.718282052011560_ IE-10 2.718282053234790IE-11 2. 71828205335

2、7110上一页一页1二二二二二XKx)-().12.867971990792440_ -0OL2.731999026429030-0. 0012.719642216442830-0. 00012.718417755009750-0. 000012.718295419980410-0. 0000012.718283187681450-0.00000012.718281963292900-0. 000000012.718281852014560-0. 0000000012.718281752939930-IE-10 2.7182820535066201-IE-112.718282053384290

3、上一页J返回*2 _二考察函数y y = = f(x)f(x) = =-=兀+1在x x = = l lZ Z兀一1z z附近的函数值的变化二二二二tx/(X)Xf(x)匸1.91.12上1.991.012.01fo.9991.9991.0012.(M)1M).99991.99991.0001 2.0001C.999991.999991.00001 2.000012二这一过程表示为 二兀亠时，y2二即：limf(x)f(x) = = 2 2XTI宀11二设/(兀)在点。的某去心邻域内有定义 L 为实数，若/0,30,当 Ovlx-alvS 时，有f(x)Lf(x)L L (x -a)x-a二给

4、定后，5 的选择并不唯一 J 依赖于 H 与。二(2)此极限的定义中 Ovlx-dlvs,指出有两层 二含义：二 I. 4 可以不在(兀)的定义域内二 n. 0 可以属于于(兀)的定义域，但此时极值Z Z与/(兀)在。处的函数值无关二例 1 证明 lim C = C二极限的几何解释L + ryL_XfXo证明：4/(x) = C, V0,取3 3 = = 9 9当 Ovlx-XolvS = 时，有/(x)-CI=Ov,limC C = = C CXf XV0,要侧(x) CI=OV,分析:例 2证明 lim(ax(ax b)=axb)=ax)+6(a(aHO)x-x0二证明：令/(x) = a

5、x+方，Z Z0o,取 5 =三，当 Ovlx-XolvS = 2 时，有 2lalaIlala I I二lf(x)-(axlf(x)-(ax0 0+b)l=la(x-x+b)l=la(x-x0 0)llal-)l) =axax0 0+ + b bXT%分析：VT 0,要便I /(x) (ax(ax0 0+ ft)I =1a(xa(x x x)a)a 660,取 5 = ,当 0l 兀一 Iv5 = 时，有lsinx-sinx0l=l2cossinl.2lsinlx x x x 21- l=lx-x0Sx0分析：/0,要便lsinx-sinx01=12cosX + X sin IM 21 si

6、n I2 2 2x x x xW 21 I =1 x X。lv 5 =斜取 5 =e e乙类似地 lim cosx x= cos x0例 5 证明 lim/=4.x2二 证明：设 1 兀一 210, = mln,-),limx2=44 5分析：VT 0,要便lx241=1 (x 2)(x4-2)l 51 兀-2lv55 =e,e,(不妨设兀一 21 1,艮卩 3x + 25)一二二二二Z Z当 0 vlx-2lv5V 三时，有5取 5 = mint,)5(EwI+KWIdmrYII I呂里煤氐)I+xI+x0A3AMI+Xz!引E=L+x- + xGvlc X_Y!Tvn二I一耙fe3HCXv

7、0汕(3WUIEU醫6A3A Ivl二X一酬“s肖HI+呂-TH M二s肖9區xefCHAH ox MIHXMIUI= 0耳,3V- IT- oxflx2f-耙feevoxlxvo训Yal/H)oxvIID03U 卡H醫6A3A(II V。呂I mD。呂ox ox nV I引VIIUHbIV对VUHOHGVIOI V3IXoxG V- -2?T二xmlx2p一遇M“feeH*OHTH f0 xo7xlu=怒肖卜X1X1x = 1,讨论 lim/(x)与 lim/(x)Z Z极限存卷的充要条件二二二定理 1 lim/(x) = L o /( + 0) = /(-0) = L二提示：0lx xa

8、a 0 x0 xa a 8 80a-x80a-x0X 1OJX0-xo =| X I UIJI6丑I X I iun v_OJX+0XxX时, /(X)0-X例如f(x)f(x) = = _-X X-. 一 j二当兀趋于无穷远时丄无限接近于)，X玉时把0看作/U)=1当 X-OO 时的极限二定义(x-oo 时的极隔二设f(x)f(x)在(-oa,-a)U(,4-oo)(a0)内有定义，W 0, 3X0,当xXxX时，成 ia/(x)-LIooZ对应的函数值落在=工-与 y = 1 + 0之间。XT+OO时的极限，记为 limf(x)f(x) = = L L或 /(x)-L (x-+oo)。X-+00X 兀-8 时的极限二 0O, 3X0,当 xv-X 时，有/( (X) )- Dvg 称 I 为/(*)当二 XTYO 时的极限，记为 limf(x)f(x) = = L L或