北师大七年级(上)第四章：动点、动角模型(无答案)

1、动点、动角模型专题一、动点模型【例 1】 A、B 两点在数轴上的位置如图所示，O 为原点，现A、B 两点分别以1 个单位长度/ 秒、 4 个单位长度 / 秒的速度同时向左运动。（1）几秒后，原点 O 恰好在两点正中间？（2）几秒后，恰好有 OA:OB=1：2 ？【练习 1】已知，如图，线段AB=12cm， M 是 AB 上一定点， C、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿线段BA 向左运动，在运动过程中，点C 始终在线段AM 上，点 D 始终在线段BM 上，点 E、 F 分别是线段AC 和 MD 的中点。（ 1）当点 C、 D 运动了 2s，求 EF的长度；（ 2）

2、若点 C、 D 运动时，总是有 MD=3AC，求 AM 的长。【练习 2】如图，数轴上点 A、C 对应的数分别是 a， c，且 a，c 满足 a 42c 1 0 ，点 B 对应的数是 -3.（1）求数 a， c；（2）点 A、 B 同时沿数轴向右匀速运动，点A 的速度为每秒 2 个单位长度，点B 的速度为每秒 1 个单位长度，点 B 的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t 秒，在运动过程中，点A、 B 两点到原点 O 的距离相等时，求t 的值。1/18【例 2】如图， 若点 A 在数轴上对应的数为 a，若点 B 在数轴上对应的数为b ，且 a，b 满足：a 2 b 120 。（1）求线段 AB

3、 的长；1x 2 的解，在数轴上是否存在点P，（2）点 C 在数轴上对应的数为 x，且 x 是方程 2x 12使 PA+PB=PC，若存在，直接写出点P 对应的数；若不存在，请说明理由。（3）在（ 1）的条件下，将点 B 向右平移 5 个单位长度至B ，此时在原点 O 处放一个挡板，一小球甲从点A 处以 1 个单位长度 / 秒的速度向左运动， 同时另一小球乙从B 处以 2个单位长度 / 秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动，设运动时间为t（秒），求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。【练习 1】已知数轴上两点A、 B 对应的数分别为-1，3，点 P 为数轴上一动点，其

4、对应的数为 x。（1）若点 P 到点 A、 B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点 P 到点 A、B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从原点向左运动时，点A 以每分钟5 个单位长度向左运动，点B 以每分钟20 个单位长度向左运动，它们同时出发，几分钟后P 点到点 A、B的距离相等？2/18【例 3】已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为 -1、 3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为x。AOPB-2-103（1）若点 P 到点 A，点 B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点

5、P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为6？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由。（3）点 A、点 B 分别以 2 个单位长度 / 分、 1 个单位长度 / 分的速度向右运动，同时点P 以 6个单位长度 / 分的速度从O 点向左运动。当遇到A 时，点 P 立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A 与点 B 之间，求当点A 与点 B 重合时，点P 所经过的总路程是多少？【练习 1】如图， AOB 的边 OA 上有一动点 P，从距离 O 点 18cm 的点 M 处出发，沿线段MO，射线 OB 运动，速度为 2cm/s；动点 Q 从点 O 出发，沿射线 OB 运动，速度为 1cm/s

6、，P、Q 同时出发，设运动时间是 t （ s）。（ 1）当点 P 在 MO 上运动时， PO=_cm（用含 t 的代数式）；（ 2）当点 P 在 MO 上运动时， t 为何值，能使 OP=OQ？（3）若点 Q 运动到距离 O 点 16cm 的点 N 停止，在点 Q 停止运动前，点 P 能否追上点 Q？如果是，求出 t 的值；如果不能，请说明理由。3/18【例 4】如图，若点A 在数轴上对应的数为a，若点 B 在数轴上对应的数为b ，点 A 在负半轴，且 a3 ， b 是最小的正整数，（1）求线段 AB 的长；（2）点 C在数轴上对应的数为x，且 x 是方程 2x 1 3x4 的解，在数轴上是否

7、存在点P，使PA PB1P 对应的数；若不存在，请说明理由。BC AB ，若存在，求出点2（3）如图 Q 是 B 点右侧一点， QA 中点为 M ，N 为 QB 的四等分点且靠近 Q 点，当 Q 在 B的右侧运动时，有两个结论：1 QM3 BN 的值不变；QM2 BN 的值不变，其中只243有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。【练习 1】如图，射线OM 上有三点A、 B、 C，满足 OA=20cm， AB=60cm，BC=10cm，点 P从 O 点出发沿OM 方向以 1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动）

8、 ，两点同时出发。（1）当 PA=2PB时，点 Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的运动速度；（2）若点 Q 的运动速度为3cm/s ，经过多长时间P、 Q 两点相距 70cm？（3）当点 P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和 AB 的中点 E、 F，求 OBAP 的值。EFOABCM【练习 2】如图，线段AB=24，动点 P 从 A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿射线AB 运动， M 为 AP 的中点。（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当 P 在线段 AB 上运动时，试说明2BM-BP 为定值。（3）当 P 在 AB 的延长线上运动时，N 为 BP 的中点，下

9、列两个结论：MN 的长度不变；MA+PN 的值不变。选择一个正确的结论，并求出其值。4/18【例 5】如图，已知数轴上两点 A、 B 对应的数分别为 -1、 3，点 P 为数轴上的一动点，其对应的数为 x。（ 1） PA=_， PB=_（用含 x 的式子表示）；（ 2）在数轴上是否存在点 P，使 PA+PB=5？若存在， 请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由。（3）如图，点P 以 1 个单位 /s 的速度从点D 向右运动，同时点A 以 5 个单位 /s 的速度向左运动，点B 以 20 个单位 /s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP、 OB 的中点，问：ABBP 的值是否发

10、生变化？请说明理由。MN（4）当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从O 点向左运动时， 点 A 以每分钟5 个单位长度的速度向左运动，点 B 以每分钟 20 个单位长度的速度向左运动，问：它们同时出发，几分钟时间点 P 到点 A、点 B 的距离相等？【练习 1】已知线段AB=m， CD=n，线段 CD在直线 AB 上运动（ A 在 B 左侧， C 在 D 左侧），若 m 2n26 n ，（ 1）求线段 AB、 CD 的长；（ 2） M 、N 分别为线段 AC、 BD 的中点，若 BC=4，求 MN ；（ 3）当 CD运动到某一时刻时， D 点与 B 点重合， P 是线段 AB 延长线上任意

11、一点，下列两个结论：PAPB 是定值； PA PB 是定值，请选择正确的一个并加以证明。PCPC5/18【练习 2】点 A 在数轴上对应的数为a，点 B 对应的数为 b，且 a、b 满足 a 62b 40 .（1）求线段 AB 的长；（2）如图，点C 在数轴上对应的数为x，且是方程 x 11 x5 的根，在数轴上是否存4在点 P使 PA PB1BC AB ？若存在，求出点 P 对应的数；若不存在，请说明理由。4（3）如图，若 P 是 B 点右侧一点， PA 中点为 M ，N 为 QB 的三等分点且靠近P点，当 Q在 B 的右侧运动时，有两个结论：1 pM3 BN 的值不变；PM3 BN 的值不

12、变，其284中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。6/18（选讲）【例 6】如图，已知线段AB=180 厘米，线段AB 上的动点 P 从端点 A 开始在两个端点 A、B 之间一直作往返移动ABABL，点 P 移动规则如下：第一次， 点 P从 A 点出发移动 m（ m>0）厘米到达 P1，第二次，点 P 从 P1 点出发移动 2m 厘米到达 P2，第三次，点 P 从 P2 点出发移动 3m 厘米到达 P3（点 P 在移动过程中到达线段 AB 端点处立即折返移动）APB【例】如：当 m=30 厘米时， P1、P2、P3、P4 位置如图所示，其中 P3 与点 B 恰好重合，

13、AP1=m=30 厘米， P1P2=2m=60 厘米， P2P3=3m=90 厘米， P3P4=4m=120 厘米；AP1P4P2B P3当 m=20 厘米时， P1、 P2、P3、P4、P5 位置如图所示，其中P4 是点 P从 P3移动到点 B后折返到途中的位置（即P3B+BP4=4m=80厘米），而 P5 恰好与P2 重合。A1P2 5P3PBPP4仔细阅读上述材料后，解答下列问题：（1）若 m=25 厘米，请利用图操作实践，则P2P3=_厘米；（2）若 m 取值在 20 厘米与 29 厘米之间，且点P4 恰好平分线段P2P3，在图中分析P1、P2、 P3、P4 的大概位置，并求出m 的值

14、。（3）若 m 的取值小于34 厘米，且 P2P4=20 厘米，则 m 对应的值是 _AP1BAP1B7/18作业：1.已知线段AB=a，CD=b，线段 CD 在直线 AB 上运动（ A 在 B 的左侧， C在 D 的左侧）， a2b2与 6b互为相反数。（ 1）求 a， b 的值；（ 2）若 M， N 分别是 AC，BD 的中点， BC=4，求 MN 的长；（ 3）当 CD 运动到某一时刻， D 点与 B 点重合， P 是线段 AB 延长线上任意一点， 问 PA PBPC的值是否改变？若不变，求出其值，若改变，请说明理由。2.如图，已知点A， B，C 是数轴上三点，点C 对应的数为6， BC

15、=4， AB=12。（ 1）求点 A， B 对应的数；（ 2）动点 P，Q 同时从 A，C 出发，分别以每秒 6 个单位和 3 个单位的速度沿数轴正方向运动。 M 为 AP 的中点， N 在 CQ 上，且 CN=1CQ，设运动时间为t（ t>0）。3求点 M， N 对应的数（用含t 的式子表示）t 为何值时， OM=2BN。ABC3.如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点 A 在数轴上表示的数是-10，点 C 在数轴上表示的数是16.若线段 AB 以 6 个单位 / 秒的速度向右运动，同时线段CD 以 2 个单位 / 秒的速度向左运动。（ 1）问运动多少秒时 BC=8？（ 2）当运动到

16、BC=8 时，点 B 在数轴上表示的数是 _；（ 3）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式存在，求线段 PC 的长；若不存在，请说明理由。BD AP3 ？若PC8/18专题二、动角模型【例 1】已知 D 是直线 AB 上的一点， COE是直角， OF 平分 AOE。（ 1）如图 1，若 COF=34°，则 BOE=_；若 COF=m°，则 BOE=_； BOE 与 COF的数量关系为 _（2）在图 2 中，若 COF=75°，在 BOE 的内部是否存在一条射线OD，使得 2 BOD 与AOF 的和等于 BOE 与 BOD 的差

17、的三分之一？若存在，请求出BOD的度数；若不存在，请说明理由。（3）当射线OE 绕点 O 顺时针旋转到如图3 的位置时，（ 1）中 BOE 和 COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由。若不成立，求出BOE与 COF的数量关系。【练习 1】已知： AOB=60°，OD、OE 分别是 BOC和 COA的平分线。（ 1）如图 1，OC 在 AOB 内部时，求 DOE的度数；（ 2）如图 2，将 OC 绕 O 点旋转到 OB 的左侧时， OD、 OE 仍是 BOC和 COA的平分线，求此时 DOE的度数；（ 3）当 OC绕 O 点旋转到 OA 的下方时， OD、 OE分别是 BOC和 CO

18、A的平分线， DOE的度数又是多少？（直接写出结论，不必写出解题过程）【练习 2】已知 AOB=160°， COE=80°， OF 平分 AOE9/18（ 1）若 COF=14°，则 BOE=_；若 COF=n°，则 BOE=_； BOE 与 COF的数量关系为 _（ 2）当射线 OE 绕点 O 顺时针旋转到如图 3 的位置时，（ 1）中 BOE 和 COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由。（3）在（ 2）的条件下，如图 3，在 BOE的内部是否存在一条射线 OD，使得 BOD 为直角，且 DOF=3 DOE？若存在，求出 COF的度数；若不存在，请说

19、明理由。【练习 3】已知： AOD=160°， OB、OM 、 ON 是 AOD 内的射线。（ 1）如图 1，若 OM 平分 AOB， ON 平分 BOD，当射线 OB 绕点 O 在 AOD 内旋转时，求 MON 的大小；（ 2） OC 也是 AOD 内的射线，如图 2，若 BOC=20°，OM 平分 AOC， ON 平分 BOD，当射线 OB 绕点 O 在 AOD 内旋转时，求 MON 的大小；（3）在（ 2）的条件下，当射线 OB 从边 OA 开始绕 O 点以每秒 2°的速度逆时针旋转 t 秒，如图 3，若 AOM： DON=2：3 ，求 t 的值。【例 2】

20、已知 OC 是 AOB 内部的一条射线， M、 N 分别为 OA、 OC 上的点，线段 OM、 ON 分别以 30°/s、10°/s 的速度绕点 O 逆时针旋转。（1）如图，若AOB=140°，当 OM、 ON 逆时针旋转2s 时，分别到OM 、 ON 处，求BONCOM 的值；BOC（2）如图，若 OM、ON 分别在 AOC、 COB内部旋转时， 总有 COM=3 BON，求AOB的值。（3）知识迁移， 如图， C 是线段 AB 上的一点， 点 M 从点 A 出发在线段 AC 上向 C 点运动，点 N 从点 C 出发在线段 CB上向 B 点运动，点 M、 N 的

21、速度比是 2： 1，在运动过程中始终有 CM=2BN，求 BC _AC10/18【练习 1】已知 AOB=100°， COD=40°， OE平分 AOC，OF 平分 BOD。（1）如图 1，当 OB、 OC重合时，求EOF的度数；（2）当 COD 从图 1 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n°（ 0<n<90）时， AOE- BOF的值是否为定值？若是定值，求出 AOE- BOF的值；若不是，请说明理由。（ 3）当 COD 从图 1 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n°（ 0<n<180）时，满足 AOD + EOF=6 COD，则

22、n=_11/18【练习 2】已知点O 是直线 AB 上的一点， COE=90°， OF是 AOE的平分线。（1）当点 C， E， F 在直线 AB 的同侧（如图1 所示）时，试试说明BOE=2COF；（ 2）当点 C 与点 E， F 在直线 AB 的两旁（如图 2 所示）时，（ 1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；（ 3）将图 2 中的射线 OF 绕点 O 顺时针旋转 m°（ 0<m<180），得到射线 OD.设 AOC=n°，若BOD= 602n，则 DOE的度数是 _（用含 n 的式子表示） 。3【例 3】如图，两个形状、大小完全相

23、同的含有30°，60°的三角板如图放置，PA、PB与直线 MN 重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P 逆时针旋转。（ 1）直接写出 DPC的度数；（ 2）若三角板 PAC的边 PA从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转一定角度（如图） ，若 PF平分APD， PE平分 CPD，求 EPF的度数；（ 3）如图，在图基础上，若三角板 PAC的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 3°/s，同时三角板 PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针，转速为 2°/s，（当 PC转到与PM 重合时，两三角板都停止转动） ，在旋转过

24、程中，当 2 CPD=3 BPM，求旋转的时间是多少？12/18【练习 1】如图，在直线AB 上任取一点O，过点 O 作射线 OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 放在射线OB 上，另一边ON 放在直线AB 的下方。（1）将图中的直角三角板绕点O 逆时针旋转至图，点D 为线段 NO 延长线上一点，且OD 平分 AOC。若 BOC=119°40，求 COM 的度数；试说明射线OM 是 BOC的角平分线。（2）将图中的三角板绕点O 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，若BOC=2AOC，且在旋转的过程中，第t 秒时 ON 所在的直线恰好平分锐角AOC，求 t

25、 的值。13/18【练习 2】如图，点O 为直线 AB 上一点，过O 点作射线OC，使 AOC： BOC=1： 2，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线 OB 上，另一边ON 在直线 AB 的下方。（1）将图中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为_度。（2）继续将图中的三角板绕点O 按逆时针至图的位置，使得ON 在 AOC的内部。试探究 AOM 与 NOC 之间满足什么等量关系，并说明理由。（3）在上述直角三角板从图开始绕点O 按 30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在 OM 所在直线

26、平分 BOC和 AOC中的一个角， ON 所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间 t；若不存在，说明理由。作业：1.如图， AOD=150°， BOC=30°， BOC绕点 O 逆时针在 AOD 的内部旋转，其中OM 平分 AOC，ON 平分 BOD，在 BOC从 OB 与 OA 重合时开始到OC与 OD 重合时为止， 以每秒 2°的速度旋转过程中，有下列结论，其中正确的是（）14/18（1）射线 OM 的旋转速度为每秒 2°；（2）当 AON=90°时，时间为 15 秒；（ 3） MON 的大小为 60°。A.（ 1）（ 2

27、）（ 3）B.（ 2）（ 3）C.（ 1）（ 2）D.（ 3）2.已知 AOB=110°， COD=40°， OE 平分 AOC，OF 平分 BOD。（1）如图所示，当OB、OC 重合时，求 AOE- BOF得值；（2）当 COD 从图示位置绕点O 以每秒 3°的速度顺时针旋转t 秒（ 0<t<10），在旋转过程中AOE- BOF的值是否会因 t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由。3.如图：（ 1）已知 AOB=90°， BOC=30°， OM 平分 AOC，ON 平分 BOC，求 MON 的度数；（ 2）如果（ 1）中 AOB= ，其他条件不变，求 MON 得度数；（3）如果（ 1）中 BOC=（90 ），其他条件不变，求MON 的度数；（ 4）从（ 1）（ 2）（ 3）的结果中你得到什么样的规律？（ 5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法， 请你模仿（ 1）（ 4），设计一道以线段为背景的计算题，给出解