随机数学于永光概率论与数理统计JA分析实用教案

1、 nXX，的的点点估估计计数数在在统统计计推推断断中中，未未知知参参1 仅仅仅仅是是未未知知参参数数，但但是是，点点估估计计值值nxx1 第七章 参数估计3 区间(q jin)估计 区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围，并希望知道这个(zh ge)范围包含该参数的可信程度。 ，旦得到了样本观测值旦得到了样本观测值是一种有用的形式，一是一种有用的形式，一nxx1 的值有一个的值有一个能使我们对未知参数能使我们对未知参数，估计值估计值 nxx1明明确确的的数数量量概概念念范范围围，映映出出这这个个近近似似值值的的误误差差的的一一个个近近似似值值，没没有有反反 便便的的这这在在应应用用上上是是

2、非非常常不不方方第1页/共34页第一页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估计一、 置信区间与置信度使使得得：找找出出统统计计量量；对对于于样样本本含含一一待待估估参参数数设设总总体体,),2 , 1)(,(,2111 iXXXXXniin)10(,121 P.1)(21置置信信区区间间的的的的置置信信度度为为为为，称称区区间间 是是一一个个随随机机区区间间；，区区间间)(21 定义(dngy)：.1的可能性的可能性表示该区间不包含真值表示该区间不包含真值的可靠程度的可靠程度给出该区间含真值给出该区间含真值 第2页/共34页第二页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)

3、估计.595100100%.951%5个个左左右右真真值值的的有有个个左左右右，不不包包含含真真值值的的有有个个区区间间中中包包含含次次，则则在在得得到到的的这这时时重重复复抽抽样样，即即置置信信度度为为例例如如：若若 通常(tngchng)，采用95%的置信度，有时也取99%或90%.1,),(,20201的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为已已知知。求求其其中中的的一一个个样样本本为为总总体体设设 NXXXn例1第3页/共34页第三页，共34页。第七章 参数估计解：解：3 区间(q jin)估计nXU/0 构构造造样样本本的的函函数数).1 , 0( N -1 /)-(-2/02/ z

4、nXzP则 1- 02/02/nzXnzXP即 nznz02/02/x,-x 则 的的置置信信区区间间。的的置置信信度度为为就就是是 1第4页/共34页第四页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估计求置信区间的步骤(bzhu)：),;,()1(1 nXXZZ 找一个样本的函数找一个样本的函数. 赖赖于于未未知知参参数数的的分分布布是是已已知知的的，不不依依且且数数，而而不不包包含含其其它它未未知知参参它它包包含含待待估估参参数数Z.1,1)2( bZaPba使使，确确定定常常数数对对给给定定的的置置信信度度.,);,()3(122111211都是统计量都是统计量）（），），（其中

5、其中得到等价的不等式得到等价的不等式从不等式从不等式nnnXXXXbXXZa .1)()4(21的的置置信信区区间间是是置置信信度度为为，随随机机区区间间 第5页/共34页第五页，共34页。第七章 参数估计1） 均值(jn zh)的区间估计).(1,),(,2121 ，的置信区间的置信区间下，来确定下，来确定在置信度在置信度的一个样本的一个样本为总体为总体设设 NXXXn(1)方差(fn ch)已知时，估计均值,202 设设已已知知方方差差第七章 参数估计3 区间(q jin)估计二、一个正态总体未知参数的置信区间nXU/0 构构造造样样本本的的函函数数).1 , 0( N第6页/共34页第六

6、页，共34页。第七章 参数估计:121，使使得得，查查正正态态分分布布表表，找找出出对对于于给给定定的的置置信信度度 使：使：间间；通常我们取对称区；通常我们取对称区，由此可找出无穷多组由此可找出无穷多组),(21 即： -1- 0 nXP3 区间(q jin)估计.1 21 UP -1| UP第7页/共34页第七页，共34页。第七章 参数估计得得：查查正正态态分分布布表表, 2/1)(2 z 2/02/)-(- znXz ，可可知知：由由正正态态分分布布表表的的构构造造， 1|UP推得，随机(su j)区间：3 区间(q jin)估计 nznz02/02/x,-x .1的置信区间的置信度为是

7、 第8页/共34页第八页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估计说明(shumng)：（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件(tiojin)下，置信区间越短，估计精度越高。（2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间越短，估计精度越高。（3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低。第9页/共34页第九页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估计解：解：115)110120115(91 x，由由此此得得置置信信区区间间：查查正正态态分分布布表表得得临临界界值值96. 1025. 0 z)57.119,43.110()9/796. 1115,9/

8、796. 1115( 由由样样本本值值算算得得：已已知知.05. 0, 9, 70 n例1 已知幼儿身高服从(fcng)正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）;；，置置信信度度为为假假设设标标准准差差%9570 .的的置置信信区区间间试试求求总总体体均均值值 nznz02/02/x,-x 第10页/共34页第十页，共34页。第七章 参数估计(2) 方差未知时，估计(gj)均值未未知知，由由于于方方差差2 nSXT/ 而而选选取取样样本本函函数数：，使使得得：与与分分布布表表，找找，查查对对于于

9、给给定定的的211 t ， 121TP使使得得：我我们们仍仍然然取取成成对对称称区区间间),( 3 区间(q jin)估计).1( nt， 1| TP第11页/共34页第十一页，共34页。第七章 参数估计),1(2 nt )1(/-X)1(- 22 ntnSnt 由此得：，可可知知：分分布布表表的的构构造造及及由由 1|TPt，即即 1/ nSXP3 区间(q jin)估计第12页/共34页第十二页，共34页。第七章 参数估计)1(,)1(-(22nSntXnSntX 推得，置信区间为：3 区间(q jin)估计例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：120,113.4,111.2

10、,114.5,112.0,112.9,113.6度; 设温度。),(2 NX的的所所在在范范围围。时时，试试求求温温度度的的均均值值在在置置信信度度为为 %95解：解：由由样样本本值值算算得得：已已知知.05.0,7 n.29. 1, 8 .1122 sx)1(,)1(-(22nSntXnSntX 第13页/共34页第十三页，共34页。第七章 参数估计2）方差的区间(q jin)估计.),(,21的的一一个个样样本本为为总总体体设设 NXXXn222)1( Sn 样样本本函函数数：3 区间(q jin)估计由由此此得得置置信信区区间间：查查表表得得.447.2)6(025.0 t)85.113

11、,75.111()729. 1447. 28 .112,729. 1447. 28 .112( )1(,)1(-(22nSntXnSntX ).1(2 n 第14页/共34页第十四页，共34页。第七章 参数估计使使得得：，与与分分布布表表，得得，查查对对于于给给定定的的2121 ， 1221P对对称称的的区区间间：，我我们们仍仍采采用用使使概概率率分分布布密密度度函函数数无无对对称称性性虽虽然然2 3 区间(q jin)估计，2/ 2212 PP得得分分布布表表查查,)1(2 n ),1(222 n 。)1(2211 n 第15页/共34页第十五页，共34页。第七章 参数估计由此得：)1()1

12、()1(2222221 nSnn 3 区间(q jin)估计)1()1()1()1(22122222 nSnnSn 推推得得：这就是说，置信区间为： )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 第16页/共34页第十六页，共34页。第七章 参数估计例3 设某机床(jchung)加工的零件长度，),(2 NX今抽查16个零件，测得长度(chngd)（单位：mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,

13、在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间.2 解：解：.00244. 02 s由由此此得得置置信信区区间间：)0058. 0,0013. 0()26. 600244. 015,5 .2700244. 015( 得得分分布布表表查查,)1(2 n , 5 .27)15(2025. 0 .26. 6)15(2975. 0 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 由由样样本本值值算算得得：已已知知.05. 0,16 n第17页/共34页第十七页，共34页。一个(y )正态总体未知参数的置信区间待估参数待估参数随机变量随机变量随机变量随机变量的分布的分布双侧置信区间的上、下限双侧置信

14、区间的上、下限 2 已知已知2 未知未知2 已知已知 未知未知 nX/ nSX/ niiX1221 niiXX1221 10，N 1 nt n2 12 n nzX 2 nSntX 12 nXnXniinii211221222 11211221222 nXXnXXniinii 第18页/共34页第十八页，共34页。三、两个正态总体(zngt)(zngt)中未知参数的置信区间 中抽取的样本，中抽取的样本，是从正态总体是从正态总体，设设2111 NXXXm 中中抽抽取取的的样样本本，是是从从正正态态总总体体，2221 NYYYn的的各各种种置置信信区区间间：下下表表给给出出了了置置信信度度为为 1第

15、七章 参数估计3 区间(q jin)估计第19页/共34页第十九页，共34页。两个正态总体(zngt)未知参数的置信区间（一）待估参数待估参数随机变量随机变量随机变量随机变量的分布的分布双侧置信区间的上、下限双侧置信区间的上、下限21 均已知均已知、222 但未知但未知2221 nmYX222121 nmSYXw1121 10，N 2 nmt nmzYX22212 nmSnmtYXw1122 21122212 nmSnSmSw其中其中第20页/共34页第二十页，共34页。两个(lin )正态总体未知参数的置信区间（二）待估待估参数参数随机变量随机变量随机变量随机变量的分布的分布 双侧置信区间的

16、上、下限双侧置信区间的上、下限2221 njjmiiYmXn1222212121/ nmF， ， njjmiiYmXnnmF12212121 均已知均已知、21 均未知均未知、21 njjmiiYmXnnmF122121121 ，22222121 SS），11( nmF ，22211112SSnmF 222111112SSnmF ， 第21页/共34页第二十一页，共34页。例4 4）：）：下（单位：下（单位：如如块，分别测得其收获量块，分别测得其收获量块，乙类试验田块，乙类试验田试验田试验田类类的收获量，随机抽取甲的收获量，随机抽取甲为比较甲乙两类试验田为比较甲乙两类试验田kg108的的置置信

17、信区区间间期期望望差差下下，求求两两个个总总体体差差相相同同试试在在置置信信度度方方量量都都服服从从正正态态分分布布，且且假假设设两两类类试试验验田田的的收收获获2195. 01 解：解：样样本本的的函函数数，乙类：乙类：，甲类：甲类：5 . 81 .105 . 98 . 94 .112 .117 .103 . 99 . 76 . 82 .126 .105 .101 .113 .127 .112 .106 .12 )2(11211222121 nmtnmnmSnSmYXT 第七章 参数估计3 区间(q jin)估计第22页/共34页第二十二页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估

18、计 1)2()2(22nmtTnmtP )2(11211)2(22221212 nmtnmnmSnSmYXnmt 由有 nmnmSnSmnmtYXnmnmSnSmnmtYX11211)2(11211)2(222122122212 第23页/共34页第二十三页，共34页。 21122212 nmSnSmSw由样本观测值由样本观测值，387. 17 . 910851. 04 .1182221 synsxm，得，得又由又由95. 01 12. 2162025. 02 tnmt 查表，得查表，得 6 . 010181508. 012. 27 . 94 .111122 nmsnmtyxw 间间端端点点得

19、得计计算算公公式式，得得将将上上面面各各数数代代入入置置信信区区 8 . 210181508. 012. 27 . 94 .111122 nmsnmtyxw ，所所求求置置信信区区间间为为8 . 26 . 0第七章 参数估计3 区间(q jin)估计025. 02 第24页/共34页第二十四页，共34页。例5 5）假假设设两两个个机机器器生生（测测得得其其样样本本方方差差为为只只，生生产产的的产产品品）；随随机机抽抽取取机机器器（只只，测测得得其其样样本本方方差差为为生生产产的的产产品品抽抽取取机机器器机机生生产产的的钢钢管管的的内内径径，随随与与机机器器研研究究由由机机器器222221mm2

20、9. 013mm34. 018 sBsABA解：解：),1, 1(22222121 nmFSSF 第七章 参数估计3 区间(q jin)估计的的置置信信区区间间下下求求两两总总体体方方差差比比信信度度样样本本相相互互独独立立试试在在置置方方差差均均未未知知又又设设两两个个与与总总体体正正态态分分布布，其其总总体体期期望望产产的的钢钢管管的的内内径径均均服服从从2221/90. 01 样样本本的的函函数数第25页/共34页第二十五页，共34页。由由 1/22222121bSSaP置置信信区区间间为为的的双双侧侧因因此此，得得 12221 ，1121 nmFa ，112 nmFb 22211222

21、111111122SSnmFSSnmF， 第七章 参数估计3 区间(q jin)估计取第26页/共34页第二十六页，共34页。，29. 01334. 0182221 snsm，得得又又由由90. 01 112 nmF，查查表表，得得 间间端端点点得得计计算算公公式式，得得将将上上面面各各数数代代入入置置信信区区. )79. 245. 0(，所求置信区间为所求置信区间为由由样样本本观观测测值值 12171195. 012，FnmF ，45. 011122212 SSnmF ，79. 2111222112 SSnmF 第七章 参数估计3 区间(q jin)估计05. 0295. 021 ， 59.

22、 2121705. 0 ，F 38. 211712105. 0 ，F第27页/共34页第二十七页，共34页。四、（0-10-1）分布(fnb)(fnb)参数的置信区间第七章 参数估计3 区间(q jin)估计。是是样样本本，未未知知。设设总总体体50,), 1(1 nXXppbXn的的置置信信区区间间。的的置置信信度度为为求求 1p由中心(zhngxn)极限定理知)1()1(1pnpnpXnpnpnpXnii 近似服从)1 , 0(N于是有 1)1(2/2/zpnpnpXnzP第28页/共34页第二十八页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估计而不等式等价(dngji)于22)1( zpnpnpXnz 0)2()(222/222/ XnpzXnpzn 记 acbbap42121 acbbap42122 第29页/共34页第二十九页，共34页。第七章 参数估计3 区间(q jin)估计222/22/),2(),(XnczXnbzna 此处的的置置信信区区间间为为的的一一个个近近似似置置信信度度为为则则 1p),(21pp例2 设在一大批产品(chnpn)中抽取100个产品(chnpn)，得一级品60个，求这批产品(chnpn)一级品率p的置信度0.95的置信区间。解: