4高考本源探究之平面解析几何

1、平面解析几何一、思维方法结构图平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科.它的学科思想是用代数方法解决几何问题. 解析几何课教学的根本任务就是要引导学生能深刻领会“平面解析几何”的学科思想，把握“平面解析几何”这门学科的思维方法. 在平面解析几何的综合性问题的教学中，要突出解析几何的研究问题的一般方法，要能够明确用代数方法解决几何问题的几个关键的步骤：（1）要能够根据问题的条件，读出几何对象的几何特征.从两个方面去分析：对于单个的几何对象，要研究它的几何性质，对于不同的几何对象，要关注它们之间的位置关系.再此基础上做出图形，直观地表达出所分析出来的几何对象的几何特征；（2）在明确了几何对象的几

2、何特征的基础上，要进行有效的、合理的代数化.包括几何元素的代数化、位置关系的代数化、所要研究问题的目标进行代数化等；（3）进行代数运算.包括解所联系的方程组、消去所引进的参数、运用函数的研究方法解决有关的最值问题，等等.（4）根据经过代数运算得到的代数结果，分析得出几何的结论.平面解析几何综合题的教学，要能够教出味道，教出东西来.让学生在解决问题的过程中去体会平面解析几何的基本思想，掌握平面研究解析几何问题的一般方法.而要实现这个目标，教师就要打破模式化的束缚，从解决问题的思维层面去引导学生思考问题与解决问题，要让学生能够从学科的思维方法角度理解解题的环节.这种理性地认识我们的解题过程，才能够

3、真正地让学生们掌握研究问题的方法，在教学中的教的逻辑才能够得以实施，学的逻辑也才能够让学生理解和接受.二、例题1.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为 2.如何理解：“直线通过点”？3. 如果圆C:总存在两点到原点距离为1，求实数的取值范围. 4.在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.5.过定点M（4，2）任作互相垂直的两条直线和，分别与x轴、y轴交于A,B两点，线段AB中点为P，求的最小值.6. 满足条件的三角形的面积的最大值 7.直线与圆相交于、两点（其中是实数），且是直角三角形(是坐标原点)，则点与点之间距离的最大值

4、为（ ）A B C D 8.如图，线段，点在线段上，且，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设， 的面积为.则的定义域为 ； 的零点是 . 9.已知点,. 若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 10. 直线与圆交于两点，且关于直线对称.求 的值. 11.双曲线，右支上一点M，的内切圆与x轴切于P点，则的值是 12. 直线与圆的位置关系是 13.设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是A B CD14. 若实数满足，则的最小值是 .15 点P在左右焦点分别为的双曲线上，若则= 16已知椭圆的左右焦点分别为,点P在椭圆上，若P，是一个直角三角形的

5、三个顶点，则点P到轴的距离为 17.已知椭圆C:.确定的取值范围，使得对于直线，C上有两个不同的点关于该直线对称. 18. 抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围.19.已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1.（）当直线过点时，求直线的方程;（）当时，求菱形面积的最大值.20.设分别为椭圆的左、右顶点，设为直线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内.21. 已知：在上，直线倾斜角为，且.证明直线过定点. 22. 已知椭圆.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断与圆的位置关系，并证明你的结论.23.已知W: （），若 A，B

6、是W上的不同两点，O 是坐标原点，求·的最小值.三、如何教会学生解决数学问题的方法如何找到解决数学问题的方法呢.过去我强调比较多的是解决数学问题的一般方法，但是这样的阐述就解决数学问题而言还不是全面的.我曾经的一个观点是解决数学问题的方法越少越好，就是针对解决数学问题的一般方法而言的.但是解决数学问题只靠一般方法就能解决吗？换句话说，解决数学问题的一般方法是解决哪个方面的问题？为什么叫一般方法或通性通法呢？我们常见的数学问题（这里专指学生做的数学题目）都包含两个要素：一个是这个问题中涉及到的研究对象，如函数的解析式、曲线方程、空间几何体、数列的通项等，这个对象不一定是一个，也许是两个

7、或更多；还有一个要素是针对研究对象所提出来的需要解决的具体问题.因此，要解决一个数学问题，首先就要对数学问题的对象（也可以称之为数学问题的主体）进行研究.要研究单个对象的属性、性质以及两个及以上对象之间的关系.如：对于一个函数要研究其所有的性质；对于两个函数不仅要研究它们各自的性质，还要研究它们的代数关系；同样，对于两个几何对象也要研究它们之间的位置关系，等等.这种方法是研究问题主体的性质、属性及关系的，也是解决任何一个数学问题都需要面对的并加以解决的.从这个意义上来说，这种研究数学问题的方法就是一般方法、通性通法.解决针对这个研究对象的具体问题的方法是怎么得到的呢？在教学实践中，教师经常会结

8、合例题来讲解决问题的方法，通常是对数学问题分类，针对不同类型的问题对应着不同的方法进行教学.为了让学生能够熟练地掌握老师教给的方法，常常需要通过一定量的练习、考试等手段达到教学目的.在这种理念下进行的教学，教师不太关注解决数学问题的方法是如何得到的，而是把教学的重点放在了学生会不会熟练运用方法去解决问题. 课堂上如果涉及这个方法是从哪里来的时候，教师经常会说和这个问题类似的我们什么时候做过、上周我们讲过，所以解决这个问题的方法是什么等等.这种说辞掩盖了解决数学问题方法的本质，就是说方法是老师教的，只要会用就够了.如此，在学生的数学思维中，关于方法的思维活动就变得缺乏逻辑，数学教学就很容易演变成

9、对解题方法熟练运用的教学，解决数学问题的思维活动越来越偏离数学学科的本质.我认为，解决数学具体问题的方法是数学问题的研究对象的性质及关系转化而来的，是对研究对象的性质及关系研究之后并深刻理解的基础上得到的. 这种方法不是前面我们所说的一般方法，而是在运用一般方法之后的解决具体数学问题的具体方法.学生要体会到：这种具体方法不是老师告诉的，这样的方法没有套路可循，这样的方法是学生自己根据对问题对象的性质及关系的研究基础上找到的.如果不分析研究对象的性质及关系，就不会有解决数学具体问题的具体方法.这样，我们就看到解决数学问题的方法实际上是两个方法，即一般方法和具体方法.一般方法不多，但是，由于对数学具体问题分理解不同，对研究对象的性质和关系运用的角度不同，就出现了各种各样的具体方法.但是，有经验的数学教师会从多种多样的具体方法中提炼概括，让学生感受到这些具体方法都是来源于问题对象的性质或关系的.如果学生面对数学问题时，不再是急急忙忙地进行运算或套用现成的方法，而是能够比较从容的对数学问题的研究对象进行理解和深入研究，并能够在研究的基础上，找到解决具体问题的具体方法，那么他的解决数学问题的活动就是有逻辑的数学思维活动.这种能力一旦获得，他就不需要依赖老师是否讲过类似的题目，他也不再靠识别问题的类型和所记忆的方法来解决问题.