2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）-文科数学

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图

2、题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013安徽,文1)设i是虚数单位,若复数a-103-i(aR)是纯虚数,则a的值为().A.-3B.-1C.1D.3答案:D解析:由已知,得a-103-i=a-10(3+i)(3-i)(3+i)=a-10(3+i)10=a-3-i,复数a-103-i为纯

3、虚数,a-3=0,即a=3.2.(2013安徽,文2)已知A=x|x+1>0,B=-2,-1,0,1,则(RA)B=().A.-2,-1B.-2C.-1,0,1D.0,1答案:A解析:A=x|x>-1,RA=x|x-1,(RA)B=-2,-1.3.(2013安徽,文3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为().A.34B.16C.1112D.2524答案:C解析:开始,2<8,s=0+12,n=2+2=4;返回,4<8,s=12+14=34,n=4+2=6;返回,6<8,s=34+16=1112,n=6+2=8;返回,8<8不成立,输出s=1112.

4、4.(2013安徽,文4)“(2x-1)x=0”是“x=0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由(2x-1)x=0,得x=12或x=0.故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.5.(2013安徽,文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为().A.23B.25C.35D.910答案:D解析:五人录用三人共有10种不同方式,分别为:丙,丁,戊,乙,丁,戊,乙,丙,戊,乙,丙,丁,甲,丁,戊,甲,丙,戊,甲,丙,丁,甲,乙,戊,甲,乙,丁,甲,乙,丙.其中含甲或乙的

5、情况有9种,故选D.6.(2013安徽,文6)直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为().A.1B.2C.4D.46答案:C解析:由圆的一般方程可化为圆的标准方程:(x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为5,圆心到直线的距离为|1+4-5+5|12+22=1,由勾股定理可得弦长一半为(5)2-12=2.故弦长为4.7.(2013安徽,文7)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=().A.-6B.-4C.-2D.2答案:A解析:由S8=4a3知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以a7=d=-2.

6、所以a9=a7+2d=-2-4=-6.8.(2013安徽,文8)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn,则n的取值范围为().A.2,3B.2,3,4C.3,4D.3,4,5答案:B解析:f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn可化为f(x1)-0x1-0=f(x2)-0x2-0=f(xn)-0xn-0,所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等.由数形结合可得:曲线为n=2,曲线为n=3,曲线为n=4.9.(2013安徽,文9)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.

7、若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=().A.3B.23C.34D.56答案:B解析:3sin A=5sin B,3a=5b.又b+c=2a,由可得,a=53b,c=73b,cos C=b2+a2-c22ab=b2+53b2-73b22×53b2=-12.C=23.10.(2013安徽,文10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数为().A.3B.4C.5D.6答案:A解析:由f'(x)=3x2+2ax+b=0,得x=x1或x=x2,即3

8、(f(x)2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解,由题可知f(x)的草图为:由数形结合及x1<x2可知满足f(x)=x1的解有2个,满足f(x)=x2的解仅有1个,因此3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实数根个数为3.第卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013安徽,文11)函数y=ln1+1x+1-x2的定义域为. 答案:(0,1解析:由1+1x>0,1-x20x<-1或x>

9、;0,-1x10<x1.该函数的定义域为(0,1.12.(2013安徽,文12)若非负变量x,y满足约束条件x-y-1,x+2y4,则x+y的最大值为. 答案:4解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分.由线性规划知识得最优解为(4,0),令z=x+y,则zmax=4+0=4.13.(2013安徽,文13)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为. 答案:-13解析:|a|=3|b|=|a+2b|,|a|2=9|b|2=|a|2+4|b|2+4a·b,a·b=-|b|2,cos<a,b>=a·b

10、|a|b|=-|b|23|b|2=-13.14.(2013安徽,文14)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0x1时,f(x)=x(1-x),则当-1x0时,f(x)=. 答案:-12x(x+1)解析:-1x0,0x+11,f(x)=12f(x+1)=12(x+1)1-(x+1)=-12x(x+1).15.(2013安徽,文15)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号). 当0<CQ<12时,S为四边

11、形当CQ=12时,S为等腰梯形当CQ=34时,S与C1D1的交点R满足C1R=13当34<CQ<1时,S为六边形当CQ=1时,S的面积为62答案:解析:当CQ=12时,D1Q2=D1C12+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以D1Q=AP.又因为AD1PQ,AD1=2PQ,所以正确;当0<CQ<12时,截面为APQM,所以为四边形,故也正确,如图所示.图如图,当CQ=34时,由QCNQC1R得C1QCQ=C1RCN,即1434=C1R1,C1R=13,故正确.图如图所示,当CQ=1时,截面为APC1E.可知AC1=3,EP=2且APC1E为菱形,S四边形APC1E=6

12、2,故正确.当34<CQ<1时,截面为五边形APQMF.所以错误.图三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(2013安徽,文16)(本小题满分12分)设函数f(x)=sin x+sinx+3.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.解:(1)因为f(x)=sin x+12sin x+32cos x=32sin x+32cos x=3sinx+6.所以当x+6=2k-2,即x=2k-23(kZ)时,f(x

13、)取最小值-3.此时x的取值集合为xx=2k-23,kZ.(2)先将y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得y=3sin x的图象;再将y=3sin x的图象上所有的点向左平移6个单位,得y=f(x)的图象.17.(2013安徽,文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(

14、2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2,估计x1-x2的值.解:(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知,30n=0.05,即n=600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1-530=56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x'1,x'2.根据样本茎叶图可知,30(x'1-x'2)=30x'1-30x'2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此x'1-x

15、'2=0.5.故x1-x2的估计值为0.5分.18.(2013安徽,文18)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=6.(1)证明:PCBD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.(1)证明:连接AC,交BD于O点,连接PO.因为底面ABCD是菱形,所以ACBD,BO=DO.由PB=PD知,POBD.再由POAC=O知,BD面APC,因此BDPC.(2)解:因为E是PA的中点,所以VPBCE=VCPEB=12VCPAB=12VBAPC.由PB=PD=AB=AD=2知,ABDPBD.因为B

16、AD=60°,所以PO=AO=3,AC=23,BO=1.又PA=6,PO2+AO2=PA2,即POAC,故SAPC=12PO·AC=3.由(1)知,BO面APC,因此VPBCE=12VBAPC=12·13·BO·SAPC=12.19.(2013安徽,文19)(本小题满分13分)设数列an满足a1=2,a2+a4=8,且对任意nN*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-aa+2sin x满足f'2=0.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=2an+12an,求数列bn的前n项和Sn.解:(1)由题设可得,

17、f'(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.对任意nN*,f'2=an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an=an+2-an+1,故an为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,解得an的公差d=1,所以an=2+1·(n-1)=n+1.(2)由bn=2an+12an=2n+1+12n+1=2n+12n+2知,Sn=b1+b2+bn=2n+2·n(n+1)2+121-12n1-12=n2+3n+1-12n.20.(2013安徽,文20)(本小题满分13分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,

18、区间I=x|f(x)>0.(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为-);(2)给定常数k(0,1),当1-ka1+k时,求I长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=a1+a2,故f(x)>0的解集为x|x1<x<x2,因此区间I=0,a1+a2,区间长度为a1+a2.(2)设d(a)=a1+a2,则d'(a)=1-a2(1+a2)2,令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-ka<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.因此当1-ka1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而d(1-k)d(1+k)=1-k1+(1-k)21+k1+(1+k)2=2-k2-k32-k2+k3<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间1-k,1+k上取得