2020年广东省高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

1、第5页，共16页2020年广东省高考数学二模试卷(二)、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.=()D. x|2<x<6已知集合 A=x|-1vxv6,集合 B=xX2<4,贝UAA (?rB)A. x|-1 <x<2B. x|-1<x< 2 C. x|2 x< 62.设i为虚数单位，则复数£ = 岛的共轲复数Z =()4.5.1。回 147 n3.在样本的频率直方图中，共有 9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的 且样本容量为200,则中间一组的频数为()A. 0.2B. 0.25C. 40D. 50

2、设向量,与向量垂直，且=(2, k),1=(6, 4),则下列下列与向量1 +共线的是( )A. (1, 8)B. (-16,-2) C. (1,-8)某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为则其体积为()A. 一C.6. 阿基米德(公元前 287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数 学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的 乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在 y轴上，且椭圆的离心率为 ；，面积为125则椭圆C的方程为()7. 设a, b, c分别为AABC内角A, B, C的对边，若 B=C小，且b=2a

3、cosA,贝U A= ( )A二B.iC.：D.；8. (NX2-冏俳一：)5的展开式的各项系数之和为3则该展开式中x3项的系数为()A. 30B. 80C. -50D. 1309. 函数=的部分图象不可能为()10,若函数f (x) =x3-keX在(0, +8)上单调递减，则 k的取值范围为()A. 0, +°°)B,耳 + 8) C.与+8) D/；+8)11 .已知高为"的正三棱锥的每个顶点都在半径为R的球。的球面上，若二面角P-AE-C的正切值为4 ,则，二()7 _3D.一、 Ith <012 .已知函数只：幻=>0,若关于x的方程f (f

4、 (x) ) =m有两个不同的实数根X1, X2,则X1 + X2的取值范围为()A. 2, 3)B, (2, 3)C. 2ln2, 4) D. (2ln2, 4)二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分)/ x <413 .若x, y满足约束条件 产昼,0,则:的最大值为 .口盾4-214 .若 tan ( 02 位=4, tan 3 =2则0飞砧=.15 .已知函数f (x) =3X+9X (tq+1),若f (x)的最大值为12,则f (x)的最小值为16 .已知直线x=2a与双曲线C:1一点二1(R>。出>0)的一条渐近线交于点 P,双曲线C的左、右焦点分别为51下

5、2,且仃尚/工麻=一：,则双曲线C的离心率为 三、解答题(本大题共 7小题，共82.0分)17 .已知Sn为数列an的前n项和，且M +2, 国 (%-2川依次成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列f 1的前n项和Tn.18 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱 形，PD 面 ABCD, /PAD=ZDAB=60° , E 为 AB 中点.(1)证明；PEACD；(2)求二面角A-PE-C的余弦值.19 .在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C： x2=6y与直线l： y=kx+3交于M , N两点.(1)设M, N到y轴的距离分别为di, d2

6、,证明：di和d2的乘积为定值；2) ) y轴上是否存在点 p,当k变化时，总有ZOPM = ZOPN?若存在，求点 P的坐 标；若不存在，请说明理由.20) 2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥 公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9： 2010： 40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段 9： 209： 40 记作区20, 40) , 9： 4010： 00 记作40, 60) , 10： 00 10： 20 记作6

7、0, 80) , 10： 20 10： 40 记作80, 100),例如 10 点 04 分，记作 时刻64.(1)估计这600辆车在9： 2010： 40时间内通过该收费点的时刻的平均值(同 一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600辆车中抽取10辆，再 从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9: 2010: 00之间通过的车 辆数为X,求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 N (巴(2),其中 科可用这600辆车在9: 2010: 40之间通过该收费点的时刻的平均值 近似代替

8、，2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代 表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在 9： 4610： 40之间通过的车辆数(结果保留到整数).若 TN (内 幡)贝U P (的T< + +)0=0.6827 , P (片2T< (r +2)产0.9545 , P (得3<T< 科 +3)b =0.9973.0 0200.0051幅率/相距20 40 60 8U LUJ21 .已知函数r(x)=四詈g E勺.(1)讨论函数矶普=竽在1 1, +8)上的单调性； 若a>Q不等式x2f (x) +a>2e对xC (0, +8

9、)恒成立，求a的取值范围.22 .在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 。为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已 知曲线C的极坐标方程为 J-4 P cos-6)p sin 0 +12=0(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上一动点P分别作极轴、直线 pcos+1的垂线，垂足分别为 M, N, 求|PM|+|PN|的最大值.23 .设函数 f (x) =|x+1|+|2-x|-k.(1)当k=4时，求不等式f (x) <0的解集；(2)若不等式> 也+ 1对xQl恒成立，求k的取值范围.第 5 页，共 16 页第10页，共16页 答案与解析1 .答案：C解析：解：B=xx2

10、<4= x|-2vxv 2,贝U ?rB=x|xR2或 x02,贝U A n ( ?rB) = x|2 Wv 6,故选：C.求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可.本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键.2 .答案：D解析：解:Z-1 = 2-1(2-01 I 一0=3 1KI + 0=|-1 + I = (7 + 1)(77 /一我i 1.为j +手.故选：D.直接利用复数代数形式的乘除运算得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3 .答案：D解析：解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间

11、一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的L且样本容量为200,设其他8组的频率数和为m,则由题意得：m+：m=200,解得m=150,，中间一组的频数为'=50.故选：D.设其他8组的频率数和为 m,则由题意得：m+1,m=200,由此能求出中间一组的频数.本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.4 .答案：B解析：解：f &；: 12+ 4k = 0., u b. k=-3； + ：=(艮 1) =2)（-16, -2）与：共线.故选：B.根据1 ；即可得出；=。，从而得出k=-3,从而可求出:+ ；=（&1）,从而

12、可找出与1共线的向量.考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理.解析：解：将三视图还原可知该几何体为球体的I,r="&几何体的体积为：卜% -书.5 .答案：A故选：A.首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的 应用求出结果.本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.6 .答案：A 解析：【分析】本题考查椭圆简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题 利用已知条件列出方程组，求出 a, b,即可得到椭圆方程.【解答】.abn12邛解：由题意可

13、得：”一*,az = b2c2解得 a=4, b=3,因为椭圆的焦点坐标在 y轴上，所以椭圆方程为： + =1.故选A.7 .答案：B 解析：解：在那BC中，.b=2acosA,，由正弦定理可得：sinB=2sin AcosA=sin2 A,. B=2A,或 B=Ti-2A,. B=C 小,.当B=2A时，由于 A+B+C=5A=%可彳导:A=;当 B=Tt-2A时，由于 A+B+C=B+2A,可得：B=C=A （舍去）综上，A=； 故选：B.由正弦定理化简已知等式可得：sinB=sin2A,可求B=2A,或B=ti-2A,根据三角形的内角和定理即可得解 A的值.本题主要考查了正弦定理，三角形

14、的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题.8 .答案：D 解析：解：令x=1得各项系数和为（2-n） （ 1-2） 5=3,即 n-2=3 ,得 n=5,多项式为（2x2-5） （x-：） 5,二项式（x-：） 5 的通项公式为 Tk+i = C5kx5-k （；） k= （-2） kC5kx5-2k,若第一个因式是 2x2,则第二个因式为 x,即当k=2时，因式为4c52x=40x,此时 2x2>40x=80x3,若第一个因式是-5,则第二个因式为x3,即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3,此时-5 X-10） x3=50x3,则展开式中x3项的为80x3+50x3=1

15、30x3,即x3的系数为130 故选：D.令x=1得各项系数为3,求出n的值，结合展开式项的系数进行求解即可.本题主要考查二项式定理的应用，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键.9 .答案：B解析：解：A.由图象知函数的周期丁=2兀，则里=2兀得3=1,a此时f （x） =2sin （x-.） =-2cosx为偶函数，对应图象为 A,故A图象可能B.由图象知函数的周期T= - -（-号）=于=,即H=5,得03 = 3当 3=3时，此时 f （x） =2sin （3x-J , f （卷）=2sin （3号：）=2sin：工2,即 B 图象不 可能，当23 时，

16、此时 f (x) =2sin (-3x,)，f (1)=2sin(-3*'+：) =-2sin：N2,即 B 图 象不可能,1C.由图象知函数的周期 T=4tt,则而=4兀得3=土当时，此时 f (x) =2sin (x-同=-2sin-2x,f （兀）=-2sinj=-1,即此时C图象不可能,当时，此时f (x) =2sin (gx-兀)=2sin：x, f （ %）=2si=-1 ,即此时C图象可能,D.由图象知函数的周期此时 f (x) =2sin (2x-；) , f (；) =2sin (2X；f =2sin；=2,即 D 图象可能, 综上不可能的图象是 B,故选：B.根据三

17、角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论.本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出 3以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键.注意本题的3有可能是复数.10 .答案：C 解析：【分析】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题.令f(x)WO在(0,+8)上恒成立得k之三在(0,+8)上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围.【解答】解：,.函数f (x) =x3-kex在(0, +川 上单调递减，. f (x) =3x2-kexwo在(0, +8)上恒成立，. k>=在(0, +°°)上恒成立，令 g (x)三，x&

18、gt;0，一 ' . 当0vxv2时，g (x) >0,此时g (x)单倜递增,'、，、 一 .x>2 时，g (x) < 0, g (x)单倜递减，故当x=2时，g (x)取得最大值g (2)则k之七 ep故选：C.11 .答案:A 解析：【分析】本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.设棱锥底面边长为 a,由已知把a用含有H的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理解：设P在底面ABC的射影为E,则PE为正三棱锥PTBC的高,D为AB的中点，连结PD, 设正三角形ABC的边

19、长为a,则 CD=yd, . ED='；h-a|, EC=；a, 由题意可得：CD LAB.PD LAB, 二面角归一/8-。的平面角为H由二面角P-AB-C的正切值为4,得=4,解得a=；H.OP=OC=R, OE=H-R, . OC2=OE2+CE2,R2= (H-R) 2+(22，解得手 I.故选：A.12.答案：A 1-h丈E0解析：解：函数fO) =)Q,的图象如下:当 m>W, f (t) =m,有两个解 ti, t2,其中 tiWQ t2>2,f (x) =ti有一个解，f (x) =t2有两个解，不符合题意.当m<0时，f (t) =m,有一个解t,且

20、tC (0, 1) , f (x) =t有一个解，不符合题意.当。用<1时，f(t)=m,有一个解t,且tqi,2), f(x)=t两个不同的实数根xi,X2,符合题意.可得 i-xi=log2x2=t,且 tCI , 2),xi+x2=2t-t+i ,令 g (t) =2t-t+i, g' (t) =2tlnt-i>0,故g (t)在i , 2)单调递增，- g (t)可2, 3).故选：A.画出函数门>)=|4/口 > 0,的图象，可求得当 0<rnvi时，f (t) =m,有一个解t,且tqi, 2) , f (x) =t两个不同的实数根 xi, x

21、2,符合题意.可得 i-xi=log 2x=t ,且 tqi, 2) , xi + x2=2t-t+i ,令g (t) =2t-t+i,利用导数求解.本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题.13 .答案：I 解析：解：设z=则z的几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率, 作出不等式组对应得平面区域如图:由图可知OA的斜率最大,( y = 4由 |2M + y=l。，解得 A(3，4),则OA得斜率k=;则的最大值为£. 3 X4故答案为：1.本题主要考查线性规划求最值，是基础题.设z=作出不等式组对应得平面区域，利用14 .答案：一？z的几何意义即可得到结论.I4解析：解

22、：由 tan 3 = 2 得 tan2 3 1，.“，= 一耳,又 tan ( a-2 3) =4,tan a =tan0-2 3)+2 3 =旧以二,即邓=(§ =而,-iMUA-Z 7T-Z 6,IT 山必” :2 = 7-1 T * I?故答案为：二.由已知求得tan2 3再由tan a =tan( a-2 3) +2 3正出tanq代入 C"；.得答案 本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题.15.答案：2解析：解：设m=3x, 因为 t<xq+i, 所以3t前wt+1,则 g (m) =m2+m, 3t用w/+1,因为函数g (

23、m)在，3t+1为增函数, 所以(3t+1) 2+3t+1=12,解得：3t+1=3,即 t=0, 即 f(X)min = g ( 30) =2, 故答案为：2.由二次型函数值域的求法得：设 m=3x,则3t/wt+1,则g (m) =m2+m, 3t用w产，因 为函数g (m)在，3t+1为增函数，所以(3t+1) 2+3t+1=12,解得：3t+1=3,即t=0,即 f (x) min=g (30) =2,得解本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题.16 .答案：苦 解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.设出双曲线的

24、焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线 PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值.【解答】解：双曲线C的左、右焦点分别为 Fi (-c, 0) , F2 (c, 0),且8£，"短1 = 一；，可得加工251=白考，即有直线PF2的斜率为tan/PFaFi=/jW,由直线x=2a与双曲线C：方>0)的一条渐近线y=：x交于点P,可得 P (2a, 2b),可得15,即有 4b2=i5 (4a2-4ac+c2) =4 (c2-a2),化为 11c2-60ac+64a2=0,由冷得 11e2-60e+64=0,解得e='或e=4,由2a-c&

25、gt;0,可得cv2a,即e< 2,可得e=4舍去.故答案为：行.17 .答案：解：(1)博+ 2,衿,91一2为依次成等比数列，可得( 凡)2=Sn= (n+2) ( a1-2) n,当 n=1 时，a1=S=3 (a1-2),解得 a1二3,当 n>2时，an=Sn-Sn-1=n (n+2) - (n-1) (n+1) =2n+1,上式对n=1也成立，则数列an的通项公式为an=2n+1;(2)/门口+醛，+2 (小；， 可得前n项和Tn4(土:+藐%苏%)a + 3解析：(1)运用等比数列的中项性质，令 n=1,可得首项，再由数列的递推式：当n>2时，an=Sn-Sn-

26、1,计算可得所求通项公式；（2）求得二二门r=（三T月），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和.本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题.18 .答案：证明：（1）连结DE, BD,太.四边形ABCD是菱形，且ZDAB =60 °, E为AB的中点，清. DESB,/r. PD!面 ABCD, .PDXAB,又 DEAPD=D,AB”面 PDE,. AB1PE,.ABED, .PE±CD.解：（2）设AC, BD交点为O,以。为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角 坐标系

27、，如图，则 P （-1, 0,祁），A （0,咫，0） , E （；, J0, 0） , C （0,0）,产（-1,2，金广（孑 W，0）, PC=（1，意-“3） , CE= （g -苧,°），设平面APE的法向量/（x, v, z）,则,取z=1 ,得广（冉一1, 1），第17页，共16页设平面PCE的法向量叶（x, y, z）,=x +2 例a = 0，取 y=1，得价=（3/4,1,2）,-l 3/ n=XTZ = 0CE 上 i设二面角A-PE-C的平面角为0,由图知。为钝角,cos 0而15=-不 仲 m二面角A-PE-C的余弦值为-邛.解析：（1）连Z§DE,

28、BD,推导出 DE!AB,PD4B,从而 AB"面 PDE ,进而 ABPE, 由此能证明PEXCD.（2）设AC, BD交点为O,以。为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PE-C的余弦值.本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19 .答案：解（1）证明：将 y=kx+3 代入 x2=6y,得 x2-6kx-18=0.设 M （x1, y1） , N （x2, y2）,则 x1x2=-18 ,从而 d1d2=|x1|?

29、|x2| = |x1x2| = 18 为定值.（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P （0, b）为符合题意的点，直线 PM, PN的斜率分别为k1, k2,.从而 ki+k2=当b=-3时，有ki+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线 PN的倾斜角互补， 故/OPM=/OPN,所以点P (0,-3)符合题意.解析：(1)先将y=kx+3代入x2=6y,设M (xi, yi) , N (X2, y2),结合韦达定理， 即可证明结论成立；(2)先设设P (0,b)为符合题意的点，直线PM,PN的斜率分别为ki,k2,由/OPM = /OPN, 得当k变化时，ki+k2=0恒成立，

30、进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题.20 .答案：解：(i)这600辆车在9： 20i0： 40时间段内通过该收费点的时刻的平均 值为(30X0.05+50 >0.0i5+70X0.025+90X0.0i0) >20=64,即 i0： 04(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的i0辆车中，在i0: 00前通过的车辆数就是位于时间分组中在 20, 60)这一区间内的车辆数，即(0.005+0.0i5) X20M0=4,所以X的可能的取值为 0, i, 2, 3, 4.所以

31、P (X=0)=工P (X=3)P (X=1)(X=2)P (X=4)所以X的分布列为:X01234111叫4'1 1P图352io|所以 E (X)=0x；+ixt+2g+3x+4/=(3)由(1)得让6402= (30-64) 2X0.1+ (50-64) 2X0.3+ (50-64) 2>0.4+ (70-64) 2>0.4+ (90-64) 2X0.2=324, 所以(7=18估计在9: 4610: 40之间通过的车辆数也就是在46, 100)通过的车辆数，由 TN (64, 182)，得，P (64-18<T<64+2X 18=，1+=0.8186,所

32、以估计在在 9： 4610： 40之间通过的车辆数为1000><0.8186819两.解析：(1)将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为 权重，加权平均即可.(2)抽样比为 篇=：,计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个 X对应的概率，列分布列，求期望即可.(3)根据频率分布直方图估计出方差，再结合(1)求出的期望，得到 臼J再根据其对称性处理即可.本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题.21 .答案：解：(1)函数/(公=1(应幻. x> 0,若 aq.X

33、> 1, . lnx> 0, g' ( x) < 0, g (x)在(1, +川上单调递减，若 a>-1,令 g' ( x) =0,得 x= 口 + ；,当 1vxv/ + ；时，g， (x) > 0,当 x>/ + ；时，g， (x) < 0,.g (x)的单调递减区间是(/ + L +8),单调递增区间为(1, + 1).(2) a>Q不等式x2f (x) +a>2e对xC (0, +对恒成立，xlnx-ax+a+e-2封0对 xC (0, +°0)恒成立， 、一 . . .设 h (x) =xlnx-ax+a

34、+e-2,贝(J h (x) =lnx+1-a,令 h (x) =0,得 x=ea-1,当 xC(0,ea-1)时，h(x)v 0,当 xC (ea-1,+oo)时，h'( x)> 0,. h (x)的最小值为 h (ea-1) = (a-1) ea-1+a+e-2-aea-1= a+e-2-ea-1,令 t (a) =a+e-2-ea-1,贝U t (a) =1-ea-1,令 t (a) =0,得 a=1 , , ' 一 当aq0, 1)时，t (a) >0, t (a)在0, 1)上单调递增，当 aQ1, +8)时，t (a) £0, t (a)在1 , +oo)上单调递减，.当 aC0, 1)时，h (x)的最小值为 t (a)避(0) =e-2-i>0,当 aC1, +8)时，h (x)的最小值为 t (a) =a+e-2-ea-1 n 0=(2),a的取值范围是0, 2.解析：本题