双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用

1、双曲线焦点三角形面积公式的应用22定理 在双曲线 二 L 1(a>0, b>0)中，焦点分别为F1、F2,点P是双曲线上任意 a b一点，F1PF2，则 Sfe证明：记 | PF1 | r1,| PF2 | r222| r12 | 2a, (r1 4a .2在 F1PF2中，由余弦th理得：r1x4c2.配方得:(r1 r2)2 2r1r2 2r1r2 cos即4a22必1 cos ) 4c2.解：SF1PF22(c a2)2b21 cos 1cos由任意三角形的面积公式得:F1PF2$1r2 sinb2sinb22sin cos2- b2cos2sin2 2cot.2S F1PF

2、2bcot .2同理可证，在双曲线2 y_2 a(a>0, b >0)中，公式仍然成立.典题妙解例1 设F1和F22x为双曲线一41的两个焦点，p在双曲线上，且满足F1PF290 ,则4 F1PF2的面积是(A. 1B.C. 2D. - 51,选 A.2b cot cot 452 x 例2（03天津）已知F1、F2为双曲线 一4y2 i的两个焦点，P在双曲线上，若45/52的245D. -3333面积是1,则PE PF2的值是45，即90 .斛：S f pfb cot cot1 一1 2222PFiPF2 ,从而 PFi PF2 0.已知Fi、F2为双曲线的两个焦点，点 P在双曲线

3、上，且 FiPF2 60 , PPF2的面积是12J3,离心率为2,求双曲线的标准方程解：由 S FPF b2 cot i 22b2cot 30i2j3 得:b2 i2.a2 4.所求的双曲线的标准方程为2 yi22ii2金指点睛2 x 2i.已知双曲线y1的两个焦点为Fi、F2 ,点P在双曲线上，且 FiPF2的面积为3 ,则PFi ? PF2的值为（A. 2B. 3C. 22. （05北京6）已知双曲线的两个焦点为Fi（ J5,0）, F2“5,0） , P是此双曲线上的一点，且PFiPF2,|PFi |PF2| 2,则该双曲线的方程是（22x y /A.i23B.2 x C.4y2 i2

4、2 y /D. x 143. （05全国出）已知双曲线2_i的焦点为Fi、F2,点M在双曲线上，且 MFi MF2 0,则点M到X轴的距离为（A.B.C.2、3224.双曲线1两焦点为916又 S f,pf2b1 2 cot 一2b2 cot 45b2 1, b 1,而 c V5 ,a 2.Fi, F2,点P在双曲线上，直线 PFi, PF2倾斜角之差为 一，则3 F1PF2面积为()A. 1673B. 32/3C. 32D. 42225.双曲线16x 9y 144 , F1、 F2为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且| PFi | | PF? | 32,求 F1PF2 的大小.22x y

5、6.已知双曲线 、 1 ( a >0, b >0)的焦点为F1、F2, P为双曲线上一点，且PF1 PF2 0, a b| PF1 | | PF2 | 4ab ,求双曲线的离心率.参考答案.21.解：S F PF bcot cot V3,30 ,60 .1 ：2221 .又 SFPF2- I PF1 I I PF2 I sin BIPF1IIPF2I 4.2 2'1PF1?PF2=|PF1| | PF2 1cos 4-2. 2故答案选A.112.解：PF1 PF2, S fpf2 - I PF1 I I PF2 I 2 1.1 2 2216sin又SF1PF22故答案选C.

6、3.解： MF1 MF2 0,MF1MF2.2S f1Mf2b cot 2cot452.点M到x轴的距离为h,则S F1MF21 .I F1F2 I h ch V3h 2 , 2故答案选C.4 .解：设 F1PF2故答案选A.225 .解：由 16x 9y，则.S F1PF2b2 cot 16 cot 16.3.2622144得。匕1.设916F1PF2(0180 )S F1PF2.2b cot 1 16cot - .22sincot 一 ,即 2sin - cos-222cos2sin 290整理得：sin2 工， sin , 一 4522222故 F1PF2的大小为90 .6.解：设F1PF2, PF11PF20902. 2 _ 2S FlPF2b cot b cot 45b.211.