变化率与导数优质课比赛实用教案

1、问题问题(wnt)1 气球气球膨胀率膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如何如何(rh)描述这种现象呢描述这种现象呢? 结论：随着气球体积逐渐变大结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均它的平均(pngjn)膨胀率膨胀率逐渐变小逐渐变小. (1) (0)0.62(dm/L),1 0rr当v由01时，气球平均变化率： (2) (1)120.16(dm/L)2 1rrv当 由时，气球平均变化率：3343VV ( ) (V ) .34rrr由 气 球

2、体 积（一）平均变化率（一）平均变化率 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV第1页/共23页第一页，共24页。问题问题(wnt)2 高台高台跳水跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单单位位:m)与起跳与起跳(qtio)后的时间后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 如果用运动如果用运动(yndng)员在某段时间内的平均速度员在某段时间内的平均速度 描述其运动描述其运动(yndng)状态状态, 那么那么:v在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这

3、段时间里,);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv);m/s(2 . 812) 1 ()2(hhv2( )4.96.510h ttt 思考：求思考：求t1到到t2时的平均速度时的平均速度 2121( )( )S tS tvtt第2页/共23页第二页，共24页。平均平均(pngjn)(pngjn)变化率变化率令令x = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,则则211121()()( )() f xf xf xxf xfxxxx2121( )( )f xf xxx思考：平均变化率：表示的几何意义？ 211221()( )f xf xf xf xxx平均变化率：

4、式子称为到的平均变化率,.xxx是一个整体符号 而不是 与 相乘可为正，也可为负第3页/共23页第三页，共24页。o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出点容易看出点B,CB,C之间的曲线之间的曲线(qxin)(qxin)较点较点A,BA,B之间的曲线之间的曲线(qxin)(qxin)更加更加“陡峭陡峭”.”.如何如何(rh)(rh)量化陡峭程量化陡峭程度呢？度呢？该比值近似量化该比值近似量化B,CB,C之间之间这一段曲线这一段曲线(qxin)(qxin)的陡峭程度的陡峭程度. .称该比值为曲线在称该比值为曲线在B,CB,C之之间这一段间这一段平均变化率

5、平均变化率. .B BA AC C说明说明:(1)平均变化率就是:两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的斜率.（以直代曲思想）（以直代曲思想）（数形结合思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微数离形时难直观，形离数时难入微”华罗庚华罗庚第4页/共23页第四页，共24页。平均平均(pngjn)(pngjn)变化率变化率 )(xf一般的，函数在区间上 的平均变化率为 ,21xx其几何意义是表示曲线上两点连线(lin xin)(即曲线割线)的斜率结论结论(jiln)(jiln)：yx2121()()fxfxxx例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分别计

6、算在区间-3,-1,0,5上 f(x)及g(x) 的平均变化率. 第5页/共23页第五页，共24页。例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列(xili)区间上的平均变化率： （1）1,3；（2）1,2；（3）1,1.1；（4）1,1.001. 432.12.001（5）0.9,1；（6）0.99,1；（7）0.999,1.变题变题: :1.991.91.999思考思考: :为何为何(wih)(wih)趋近于趋近于2 2呢？呢？2 2的几何意义是的几何意义是什么？什么？数学数学(shxu)(shxu)应用应用xyp p13第6页/共23页第六页，共24页。（二）、 导数(do sh

7、)的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻(shk)的速度称为瞬时速度.又如何(rh)求瞬时速度呢?第7页/共23页第七页，共24页。 平均变化率近似平均变化率近似(jn s)地刻画了曲线在某一区间上地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势的变化趋势.l如何精确如何精确(jngqu)地刻画曲线在一点处的变化趋势呢地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度(pn jn s d)(2)(2)13.14.9hhthvttt 第8页/共23页

8、第八页，共24页。t 0时时, 在在2, 2 +t 这段这段时间内时间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似平均变化率近似(jn s)地刻画了曲线在某一区间上地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势的变化趋势.l如何精确地刻画曲线如何精确地刻画曲线(qxin)在一点处的变化趋势呢在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth

9、13.149v 0951.13v1049.13v13.10049v 099951.13v100049.13v13.1000049v 13.051v 13.09951v13.0999951v 第9页/共23页第九页，共24页。 当当t趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度平均速度(pn jn s d)都趋近于一个都趋近于一个确定的值确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋

10、近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度(pn jn s d)1 3 .14 .9hvtt 第10页/共23页第十页，共24页。探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度的瞬时速度(shn sh s d)怎样表示怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示

11、?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt第11页/共23页第十一页，共24页。定义定义(dngy):函数函数(hnsh) y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为称为(chn wi)函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的导数处的导数, 记作记作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy0000( )() ()lim. xf xxf xfxx 。其导数值一般也不相同的

12、值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3求导数一般方法：0limxyyyxx 一差、二比、三极限一差、二比、三极限第12页/共23页第十二页，共24页。 题题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原原油温度的瞬时变化率油温度的瞬时变化率, 并说明它们的

13、意义并说明它们的意义.C解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时原油温度的瞬时(shn sh)变化率就是变化率就是(2)f (6).f 和和xfxf)2()2(根据根据(gnj)导数的定义导数的定义,37)(42xxxxx所以所以(suy),. 3) 3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率

14、上升的速率上升.CC第13页/共23页第十三页，共24页。例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数(do sh).(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近附近(fjn)的的平均变化率，并求出在该点处的导数平均变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点质点(zhdin)运动规律为运动规律为s=t2+3，求质点，求质点(zhdin)在在t=3的瞬时速度的瞬时速度.典例分析典例分析.,21| ,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx 第14页/共23页第十四页，共24页。练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的

15、导数.QPy=x2+1xy-111OjMyx00002020()( ):limlim(1)1 (1 1)lim2()lim2.xxxxf xxf xyxxxxxxx 解(1)2f第15页/共23页第十五页，共24页。 1.曲线(qxin)的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如图,曲线C是函数y= f(x)的图象(t xin),P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.tan,: xyyMQxMP则则.就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明：xy 第16页/共23页第十六页，共24页

16、。PQoxyy=f(x)割割线线(gxin)切线切线(qixin)T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动(zhun dng)的情况.第17页/共23页第十七页，共24页。 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个(y )极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线(qixin)的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线(qixin)的斜率.即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切线切线 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种(y zhn)方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限

17、. 注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。第18页/共23页第十八页，共24页。例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此,切线(qixin)方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线(qxin)在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.第19页/共23页第十九页，共24页。例2:已知曲线 上一点P

18、(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解2002(1)22limlimxxxyxx tan1,45 ,PK故过点P的切线(qixin)方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.31xy 答案(d n):y=3x-4.22042()lim 2(1)22xxxxx 2044lim1.2 1 222(1)22xxx 第20页/共23页第二十页，共24页。 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即点P处的切线(qixin)的斜率等于4. (2)点P处切线(qixin)方程是y-8/3=4(x-2