2020年高考数学一轮经典例题球理

1、2020 年高考数学（理）一轮经典例题球典型例题例 1 已知地球的半径为R，球面上 A,B 两点都在北纬 45 圈上，它们的球面距离为点在东经 30 上，求 B点的位置及 A, B两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度分析：求点 B的位置，如图就是求AO1B 的大小，只需求出弦 AB 的长度对于 距离概念计算即可 解：如图，设球心为AB 应把它放在 OAB 中求解，根据球面O ，北纬 45 圈的中心为O1，由 A,B 两点的球面距离为R3 ，所以 AOB= 3 ，OAB 为等边三角形于是 AB R2O1 A O1B R cos 45R由 1 1 2O1A2 O1B2 AB2 即 AO1B = 2

2、又 A 点在东经 30 上，故 B 的位置在东经120 ，北纬 45 或者西经 60 ，北纬 45 A,B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧O1A224说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计 计算方案典型例题二 例 2用两个平行平面去截半径为 R 的球面，两个截面圆的半径为 r1 24cm ， r2 15cm 两 截面间的距离为 d 27cm ，求球的表面积分析： 此类题目的求解是首先做出截面图， 再根据条件和截 面性质做出与球的半径有关的 三角形等图形， 利用方程思想 计算可得A1B1, A2B2 于 O1,O2，如图 2设 OO1 d1 , OO2 d

3、 2，则d1 d2 272 2 2d12 24 2 R22 2 2d 2 15 R ，解得 R 2522S圆 4 R2 2500 (cm2 )说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解典型例题三 例 3自半径 为 R 的球面 上一点 M ，引球的三条两两垂直的弦 MA, MB , MC ，求222MA2 MB 2 MC 2的值 分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生 构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将 球的条件与之相联解：以 MA, MB , MC 为

4、从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 M ABC 补成一个长方体，则 另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径MA2 MB2 MC 2=(2R)2 4R2 说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算 典型例题四 例 4 试比较等体积的球与正方体的表面积的大小 分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关 系解：设球的半径为 r ，正方体的 棱长为 a ，它们的体积均为 V ，43 r 则由 3V,r3V22S球 4 r4 (33V ) 234VS正方体 6a2 6(3 V)2 63 V 2

5、3 216V 24 216 3 4 V 2 3 216V 2 ，即 S球 S 正方体 说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计 典型例题五例 5 如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 球半径之和； （ 2）球的半径为多少时，两球体积之和最小 分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知 道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上， 故仍需作正方体的对角面 ，得如图 2 的截面图，在图 21）求两R与 r 和棱长间的关系即可解：如图 2，球心 O1和O2在 AC上，过 O1，O2分别作的垂线交于 E,F则由

6、 AB 1,AC3 得 AO1 3r,CO23Rr R 3(r R) 3 ，R r 33133中，观察AD,BC图11）设两球体积之和为V，4 3 3 2 2 (R3 r 3)(r R)(R2 Rr r 2)332 3R2 3(3 3)33R (3 24 3 3 (R r) 2 3rR32R r 3 34 时， V 有最小值 当4 时，体积之和有最小值典型例题六 例 6 设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积 之比及体积之比分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的解：如图，

7、正四面体 ABCD的中心为 O， BCD 的中心为 O1 ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离设 OO1 r,OA R ，正四面体的一个面的面积为 S 1VA BCDS( R r )V A BCD 又14VO BCD 4 3 r S依题意得 3R r 4r 即 R 3r 内切球的体积43r31内切球的表面积 4 r 2 1外接球的体积4 R3273所以 外接球的表面积 4 R 2 9 说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径4（ h 为正四面体的高 ） ，且外

8、接球3的半径 R 3r 典型例题七 例 7 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四 个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成 正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2解：由题意，四球心组成棱长为 2 的正四 面体的四个顶点，则正四面体的高而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 说明：此类型题目对培养学生空间想象能力，并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助，且 还可以适 当增加

9、一点实际背景，加强应用意识典型例题八例 8 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）16 ，经过 3 个点的小圆的R ，小圆的半径为 r ，则3R r 2 3A有且只有一个B一个或无穷多个C无数个D以上均不正确分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作一个 大圆； 当三点共线时，可作无数个大圆，故选B答案： B 说明：解此易选出错误判断 A其原因是忽视球心的位置典型例题九例 9 球面上有 3 个点， 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 周长为 4 ，那么 这个球的半径为（ ）A 4 3B 2 3C 2D 3分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解设球的半径为r

10、 2 如 图 所 示 ， 设 三 点 A 、 B 、 C ， O 为 球 心 ，2AOB 是等边三角形，同样，AOB BOC COA6 3 又 OA OB ，BOC 、 COA都是等边三角形，得 ABC为等边三角形， 边长等于球半径 Rr 为 ABC说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合 外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题典型例题十 例 10 半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥求该四棱锥的体积分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决 这个问题的关键是如何选取截

11、面，如图所示解：棱锥底面各边相等，底面是菱形棱锥侧棱都相等，侧棱在底面上射影都 相等，即底面有外接圆底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥过该棱锥对角面作截面，设棱长为 a ，则底面对角线 AC 2a ， 故截面 SAC 是等腰直角三角形又因为 SAC是球的大圆的内接三角形，所以 AC 2R，即 a 2R 12 3VS底 SOR3高 SO R ，体积33 说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截 面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行） ，可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等 腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角

12、形可见，解决有关几何体接切 的问题，如何选取截面是个关键解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关 系，再进一步求解典型例题十一 例 11 在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C ，如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直，且 PA PB PC a 求这个球的表面积分 析： S球面 4 R ，因而求球的表面关键在于求出球的半径 R 解：设过 A、 B 、 C三点的球的截面半径为 r ，球心到该圆面的距离为 d ，222则 R r d 由题意知 P、 A、 B、 C四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥P ABC （如图所示） ABC 的外接圆

13、是球的截面圆由 PA 、 PB 、 PC 互 相 垂 直 知 ， P 在 ABC 面 上 的 射 影 O 是 ABC 的 垂 心 ， 又PA PB PC所以 O' 也是 ABC的外心，所以 ABC为等边三角形，且边长为 2a， O' 是其中心， 从而也是截面圆的圆心据球的截面的性质，有 OO' 垂直于 O'所在平面，因此 P、O 、O共线，三棱锥 P ABC是高为 PO 的球内接正三棱锥， 从而 d R PO 由6ra 已知得 3PO' 3 a3 ，所以2 2 2 2 ' 2R2 r 2 d2 r2 (R PO')2，可求得22S球面 4

14、 R 3 a说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、 棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进 而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系典型例题十二 例 12 已知棱长为 3 的正四面体 ABCD， E、 F 是棱 AB、 AC上的点，且 AF 2FC，BE 2AE 求四面体 AEFD 的内切球半径和外接球半径分析：可用何种法求内切球半径，把 VD AEF 分成 4 个小体积 （如图 ）解：设四面体 AEFD 内切球半径为 r ，球心 N ，外接球半径 R，球心 M ，连结 NA、 NE 、NF 、ND ，则 V

15、AEFDV N AEFVN AFDVN ADE VN EFD四面体 AEFD 各面的面积为S AEFS ABCS ABC333S AEDS ABC333DEF 各边边长分别为EF3，DFDE 722V ADEF V ABCDADEF 9 ABCD 2V AEFDr (S AEF S AFD S AED S DEF )2 1 r( 3 3 3 3 3 5 32 3 2 2 4 4如图，AEF 是直角三角形，其个心是斜边 AF 的中点 G 设 ABC 中心为 O1 ，连结 DO1 ，过 G 作平面 AEF 的垂线， M 必在此垂线上， 连结 GO1 、 MD MG 平面 ABC ， DO1 平面

16、ABC ， ， ， MG / DO1， MG GO1在直角梯形 GO1DM 中， GO1 1， DO16，MD R， MG AM 2 AG2R2 1，又 (DO1 MG)2 GO12 MD 2， ( 6 R2 1)2 1 R2R 10解得： 2 6 10综上，四面体 AEFD 的内切球半径为 8 ，外接球半径为 2说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该 三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为

17、底面的四个三棱锥， 通过其体积关系求得半径这样分割的思想方法应给予重视典型例题十三 例 13 一个倒圆锥形容 器，它的轴截面是正三角形， 在容器内注入水， 并放入一个半径为 r 的 铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 分析：先作出轴截面， 弄清楚圆锥和球相切时的位置特征， 利用铁球取出后， 锥内下降部分 （ 圆 台） 的体积等于球的体积，列式求解解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高 PC h，球取出后，水面高 PH x AC 3r ， PC 3r ，则以 AB 为底面直径的圆锥容积为V圆锥1 AC2 PC3( 3r)23r 3 r 3球取出后，水面下

18、降到 EF ，水的体积为V水 1 EH 2 PH31 (PH tan30 )2 PH 1 x3391 3 3 4 3V V V x 3 r r 又 V水 V圆锥 V 球 ，则 93 ，3解得 x 15r 答：球取出后，圆锥内水平面高为 15r 说明：抓住水的何种不变这个关键，本题迅速获解典型例题十四例 14 球面上有三点 A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 AB 18 ，ABC是截面的内接BC 24 、 AC 30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面， 三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，

19、球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由2 2 2关系式 r2 R2 d2 求出球半径 R解： AB 18， BC 24， AC 30 ， AB BC AC ， ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形 ABC 的外接圆的半径为 15，即截面圆的半径 r 15 ，d 1 R又球心到截面的距离为 2 ，2 1 2 2R2 (21 R)2 152得 R 10 3球的表面积为 S 4 R 4 (10 3) 1200 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式 rR2 d2 解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量例如，过球O 表面上一点 A引三条长度相等的弦 AB

20、、AC 、 AD ，且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R，求弦 AB的长度 由条件可抓住 A BCD是正四面体， A、B、C、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设 AB a ，则截面 BCD 与球心的距离，过点 B 、C、D 的截面圆半径r 3 a ( 3 a)23 ，所以 3R2 ( 6 a R)2 a 2 63 得 3典型例题十五例 15 A 、 B 是半径为 R的球 O 的球面上两点，它们的球面距离为 面中，与球心的最大距离是多少？R2 ，求过 A 、 B 的平分析： A、B 是球面上两点，R球面距离为 2 ，转化为球心角AOB2 ，从而 AB 2R ，2 2 2由关系式 r2 R

21、2 d2，r 越小， d越大， r 是过 A、 B的球的截面圆的半径，所以 AB为圆 的直径， r 最小R 解：球面上 A、 B两点的球面的距离为 2AOB2，AB 2R当 AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时r 1 AB 2 R22d 取最大值，dR2 r222 R即球心与过 A、 B的截面圆距离最大值为2 2 2说明： 利用关系式 r R d 不仅可以知二求一， 而且可以借此分析截面的半径 r 与球心到 截面的距离 d 之间的变化规律此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的 球心角 AOB有关， 而球心角 AOB又直接与 AB 长度发生联系， 这是使用或者求球面距离 的一条

22、基本线索，继续看下面的例子典型例题十六 例 16 正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 ，正三棱锥内有一个球与 其四个面相切求球的 表面积与体积 分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决解：如图，球 O 是正三棱锥 P ABC 的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R由等体积法，VP ABC VO PAB VO PAC VO PBC VO ABCPH 是正三棱锥的高，即 PH 1E是BC边中点， H 在 AE上，ABC 的边长为 2 6 ，H

23、E 3 2 6 2 6PE 3S PAB S PAC S PBC 可以得到1BC PE 3 2232S ABC (2 6)2 6 3 ABC 41116 3 1 3 2 R 3 6 3 R 333R 2 3 6 2得： 2 3 3 ， S球 4 R2 4 ( 6 2)2 8(5 2 6)V球 43 R3 43 ( 6 2)3说明：球心是决定球的位置关键点， 本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径 R来求出 R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法比如：四 个半径为 R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少

24、？这里， 四个球的球心这间的距离都是 2R ，四个球心构成一个棱长为2R的正四面体，可以计算正四面体的高为2R 2 6 R从而上面球离开桌面的高度262R R 为3 典型例题十七例 17 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比 分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何 体之间元素的关系解：如图，等边SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1 ，截球面得球的大 圆圆 O1 设球的半径 OO1 R ，则它的外切圆柱的高为 2R ，底面半径为 R ；OB O1O cot303R，SO OB tan60 3R 3 3R ，43 V球 3 R ， V柱R2 2R 2 R3V锥 1 ( 3R)2 3R 3 R3锥 3