数学知识点积（精编版）

1、数学知识点积1、 含 n 个元素的有限集合其子集共有2n 个，非空子集有2n-1 个，非空真子集有2n -2 个。2、集合中，cu(a b)= (c ua)u(c u b),交之补等于补之并。 c u(au b) = (cua) (c u b) ， 并之补等于补之交。3、ax2+bx+c<0 的解集为 x|m<x<n(0 <m <n),则 cx2+bx+a <0 的解集为 x| 1/n <x< 1/m； ax2+bx+c>0 的解集为 x| n > x 或 x< m ，cx2 +bx+a >0 的解集为 x| 1/m &g

2、t; x 或 x< 1/n ； ax2-bx+c<0 的解集为 x| -n <x<-m ， cx2 -bx+a> 0 的解集为 x|-1/m > x 或 x< -1/n 。4、原命题与其逆否命题是等价命题。原命题的逆命题与原命题的否命题也是等价命题。5. 、函数是一种特殊的映射，函数与映射都可以用：f:a b 表示。 a 表示原像， b 表示像。当 f:a b 表示函数时，a 表示定义域， b 大于或等于其值域范围。只有一一映射的函数才具有反函数。6、互为反函数的两个函数f(x) 与 f -1(x) 关于 y=x 对称，且原函数与反函数的单调性一致，

3、且都为奇函数。偶函数和周期函数没有反函数。7、若 f(-x)= f(x)，则 f(x) 为偶函数，若f(-x)= -f(x)，则 f(x) 为奇函数；偶函数关于y 轴对称，且对称轴两边的单调性相反；奇函数关于原点对称，且整个定义域上的单调性一致。反之亦然。若奇函数在0 处有意义，则f(0)=0 。函数的单调性可用定义法和导数法求出。偶函数的导函数是奇函数， 奇函数的导函数是偶函数。对于任意常数t（ t 0），在定义域范围内，都有f (x+t)= f (x) ，则称 f (x) 是周期为 t 的周期函数，且f (x+kt)= f (x),k z,k 0.8、复合函数的单调性满足“同增异减” 原理

4、。定义域都是指函数中自变量的取值范围。例：函数f (2 x)的定义域是 -1 ， 1，则 y= f (log 2 x) 定义域求法为：-1 x 1，所以 1/22x 2, 则 f(x) 的定义域为 1/2 ，2，所以 1/2 log2 x 2，故2x 4，故 y= f (log 2x) 定义域为 2 x 4。9、 抽象函数主要有 f (xy)= f (x) + f (y) （对数型） ，f (x+y)= f (x) ?f (y)（指数型），f (x+y)= f (x)+ f (y) （直线型）。解此类抽象函数比较实用的方法是特殊值法和周期法。10、指数函数和对数函数图像的规律是：底数按逆时针增

5、大 。11、ar?as = ar+s, ar÷as= ar-s ,(ar) s= ars ,(ab) r= ar br。在解可化为a2x +ba x+c=0 或 a2x +bax+c 0（ 0）的指数方程或不等式时，常借助于换元法，应特别注意换元后新变元的取值范围。12、 log10n=lgn, log en=lnn(e=2.718 ?)?; 对数的性质：如果 a>0, a0, m>0 n>0, 那么 loga(mn)= log am + log an, log a(m/n)= log am - log an,log am n= nlog am, a logan=n

6、. 换底公式： log an= log bn/ log b a, logam log bn log ck= log bm log cn log ak= log cm log an log bk.13、函数图像的变换：（1） 水平平移： y= f (x（2） 竖直平移： y= f (x)a±)( a> 0)的图像可由y= f (x) 向左或向右平移a个单位得到； b±( b> 0) 图像，可由y= f (x) 向上或向下平移b 个单位得到；（3） 对称：若对于定义域内的一切x 均有 f (x+m)= f (x-m),则 y=f (x) 的图像关于直线x= m 对称

7、； y=f (x) 关于（ a,b）对称的函数为y!=2b- f (2a-x) .（4） 翻折： y= f (x) 是将 y=f (x) 位于 x 轴下方的部分以x 轴为对称轴将期翻折到 x 轴上方的图像。y=f ( x )是将 y=f (x) 位于 y 轴左方的图像翻折到y 轴的右方而成的图像。（5） 有关结论：若f (a+x)= f (b-x),在 x 为一切实数上成立，则y=f (x) 的图像关于x=(a+b)/2 对称。函数 y=f (a+x) 与函数 y= f (b-x) 的图像有关于直线x=( b a)/2对称。15、 等差数列中， an a1（ n-1）d = am+(n-m)

8、d;s n= n (an+ a1）/2= na1+n(n-1)d/2; 若 n+m=p+q,则 am+an= ap+aq;sk,s2k-k ,s3k-2k 成以 k 2d 为公差的等差数列。 an 是等差数列， 若 ap =q, aq =p, 则 ap+q =0; 若 sp =q, s q =p,则 sp+q =-(p+q); 若已知 sk ,sn,sn-k, sn=(sk +sn+sn-k )/2k; 若 a n 是等差数列，则可设前 n 项和为 sn=an2+bn（注：没有常数项） ,用方程的思想求解 a,b。在等差数列中， 若将其脚码成等差数列的项取出组成数列， 则新的数列仍旧是等差数列

9、。16、 等比数列中， an= a1? q n-1=am?qn-m,若 n+m=p+q, 则 am?an= ap?aq; sn=n a 1(q=1), s n= a 1 (1- qn)/(1-q),( q 1); 若 q1，则有（ an+2 - an+1） /（ an+1 - an） = q ，若 q-1，（ an+2 + an+1） /（ an+1 + an）= q；sk ,s2k-k ,s3k-2k 也是等比数列。 a1 + a2+ a3, a2+ a3+ a4, a3+ a4+ a5 也成等比数列。在等比数列中，若将其脚码成等差数列的项取出组成数列，则新的数列仍旧是等比数列。17、常用数

10、的裂项公式：1/n(n+1)=1/n - 1/(n+1), 1/n(n+k)=1/k?1/n - 1/(n+k),18、弧长公式： l=|?r 。s 扇=1/2 ?lr=1/2 ?|r2=1 /2?l 2/|；当一个扇形的周长一定时（为l时），其面积最大为 l 2/16，其圆心角为 2 弧度。19、cos2=1/ (1+tan 2),tan2/2=(1-cos )/ (1+cos ), tan/2=sin / (1+cos),tan/2=(1-cos )/ sin 。20、若 a+b+c=n ,则一定有 tana+tanb+tanc=tanatanbtanc ；若 a 、b 均为锐角， a+b

11、= /4（ 1+tana ）(1+tanb)=2 ；三角形中， a b a b sina sinb.21、三角函数图像的平移有两种方式：（ 1）先扩大周期再进行平移，这时要记住在平移时提出系数后，按“左加右减”进行平移；（ 2）先平移再扩大周期，注意在扩大周期时，函数起点不变。三角函数的对称轴：使三角函数取得最大值或是最小值时x 的值所在的垂直于x 轴的直线。正弦函数和余弦函数都有无数条对称轴。22、零向量：长度为0 的向量叫做零向量。其方向是任意的，因而零向量与任一向量平行。共线向量（又叫平行向量）：方向相同 或相反的向量。相等向量：长度相等且方向相同的向量。相反向量：长度相等且方向相反的向

12、量。任一向量（a,b）的方向向量是（ 1， b/a） ,法向量是（ 1， -b/a）23、两个向量共线的充要条件是：有唯一的实数使b= a（ a0）。向量的夹角范围为 0，是指组成角时两向量起点相同或终点相同，否则是其夹角的补角。24、平面向量的坐标运算：（1）若 a=(x 1， y 1) ，b=(x 2， y2) ，则 a+ b =(x1+x2， y 1+y2) ；a- b =(x1-x 2， y1-y 2)（2）若 a(x 1， y1) ， b(x 2， y2) ，则 ab=( x 2-x 1， y2-y 1),|ab|=（ x 2-x 1） 2 +（ y 2-y 1） 2（3）若 a=(

13、x,y),则 a= ( x, y) ，当 =1/| a| 时， a/| a| 表示 a 方向的单位向量。（4）如果 a=(x 1， y1 ) ， b=(x 2，y2) ，则 a b 的充要条件是x 1 y 2- x 2y 1 =0 ；（5）如果 a=(x 1， y1 ) ， b=(x 2，y2) ，则 a b 的充要条件是x 1 x 2+y1 y 2 =0 ；25、平面向量的数量积：（ a） ?b= ( a?b) ； a?b = b ?a； ( a+b) ?c=a?c +b?c； a?b= |a | ?| b |cos< a,b >=x1 x 2+y1 y 2；a b a?b=0

14、x1 x 2+y1 y 2 =0 ；( a?b) ?ca?(c ?b);26、线段的定比分点：=p1p/pp 2, 即“起点到分点比上分点到终点”， p 1p， pp 2 方向相同时为正，方向相反时为负。若p1（x 1， y1） , p（ x， y ）， p2（ x 2， y2），则 x=( x1+x2）/(1+ ), y=( y1+ y 2） /(1+ ) 。此也可用于证明三点共线。平移公式： p（ x， y）为图形 f 上一点， 它按向量a=(h ，k) 平移后对应的点为p"（x" ， y" ）,则 有 x"= x + h ，y"= y +

15、 k 。27、正弦定理、余弦定理：a/sinaa = b/sinb = c/sinc =2r(r为三角形外接圆半径) ；222a =b +c-2bc ?cosa。在解三角形的求值或证明过程中，可将相应的边（正弦）换成对应的正弦（边）进行解题。3n30、a 0,b 0, 则(a+b)/2 ab ， a+b+c 3 abc； a1 +a2 +a3+an n a1a2a3an；222ab/(a+b) ab (a+b)/2 (a +b )/2 ； |a|- |b| |a±b| |a|+|b|31、在证明不等式或求最值时，可设参数方程（三角代换）求解：（ 1）若 x 2 + y 2 = a 2

16、 时，可设x= acos ,y= asin, 0,2 ）；（ 2）若 x 2/a 2 + y 2/ b 2=1, 可设 x= acos ,y= bsin , 0,2 ）；（ 3）若 x 2 + y 2 1 时，可设x= rcos ,y= rsin , (0 r 1) 0,2 ）；(4) 对于 1- x2 , 可设 x= cos 或 x= sin。甲乙丙第一次提价p%q%第二次提价q%p%(p+ q)/2%(p+ q)/2%33、直线的方程（ 1）直线在坐标系中的倾斜角的取值范围是：（ 2）直线倾斜角的正切即为直线的斜率（0 180 ；k=tan ）；直线的斜率按逆时针增大oo（在第一象限内由0

17、到+，在第二象限内由-到0）；当倾斜角等于90时，直线的倾率不存在；o（ 3）当直线斜率存在时，其方向向量为（34、两条直线的位置关系：（ 1）两条直线的位置关系：1， k） ,其法向量为（ 1， -1/k）；平行k1 =k 2， b1 b2a 1 b2 - b 1 a 2=0b 2 c1 - b 1 c20a 1 b2 - b 1 a 2=0a 1 c2 - a2c1 032、将某商品做以下提价方案进行，其提价幅度为：甲=乙丙斜截式一般式方程y =k 1x + b 1a 1x + b 1y + c 1=0y =k 2x + b 2a 2x + b 2y + c 2=0相交k1 k 2a 1

18、b2 - b 1 a 2 0垂直k1 k2 = -1a 1 a2 + b 1b2=0重合k1 =k 2， b1 =b2a 1 b2 - b 1 a 2= b 2 c1 - b1 c2= a 1 c2 - a 2c1=0(2)两条直线的夹角： l 1 到 l 2 的角：直线l1 与 l 2 相交， l 1 依逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转的角，叫做l 1 到 l 2 的角，记为 1。计算公式： tan 1= (k2 -k 1 )/(1+ k 1k2), 1+ k 1k 20; l 2 到 l 1 的角：直线l2 与 l 1 相交， l 2 依逆时针方向旋转到与l 1 重合时所转的角，叫做l

19、 2 到 l 1 的角，记为 2。计算公式： tan 2= (k1 -k 2 )/(1+ k 1k2) ,其中 1 + 2= ; l 1 与 l 2 的夹角：直线l 1 与 l 2 相交所成的锐角，叫做l1 与 l 2 的夹角，记为。计算公式： tan = |k2 -k1 | / |1+ k1k 2|, 1+ k 1k20;点与直线的位置关系：22点到直线的距离：d= |ax o + by o + c |/(a +b );22两平行线ax + by + c 1=0 与 ax + by + c 2=0 的距离为d= |c1 - c2|/(a公式时，必须把x,y项的相应系数化成相等的形式。+b )

20、 ；注：在用此与直线ax + by + c=0平行的直线可设为ax + by +=0 ；与这条直线垂直的直线可设为bx - a y + =0，再根据已知条件求出即可；过点（xo，且与直线ax + by + c=0平行、垂直的直线可直接写成：a（ x- x o）+ b（ y- y o）=0 和 b（ x- x o）- a（ y- yo）=0；过直线 l 1 ：a 1x + b 1y + c 1=0 与 l 2：a 2x + b 2y + c 2=0 交点的直线系方程为： a 1x + b 1y + c 1+（ a 2x + b 2y+ c 2）=0。35、圆的定义及方程：定义标准方程一般方程参数

21、方程基平 面 内 与 定 点本的 距 离 等 于 定（ x-a）2+(y-b) 2=r 2x 2+y 2+dx+ey+f=0x=a+rcos y=b+rsin 量长 的 点 的 集 合圆 心 （ -d/2,-e/2 ） 半 径圆心（ a,b）圆心（ a,b）22（轨迹）(d +e - 4f) /2半径 r22注：当 d +e - 4f 0 时无轨迹。36、圆的切线及切线长：（ 1）过圆（ x-a） 2+(y-b) 2=r2 上一点（ x0 ,y0）的切线方程为： （ x0-a）（ x-a） +( y 0-b) (y-b)=r 2 ；（ 2）从圆外一点（x0,y0）做圆的两条切线，过两切点的直线

22、方程为：（ x0-a）（ x-a）+( y 0 -b) (y-b)=r 2；(3) 从圆外一点（x 0,y0）做圆的切线长 为 d = （x 0-a）2 +( y0 -b) 2 - r2= x02+ y 02+d x 0+e y 0+f;（ 4）直线被圆所截得的弦长：几何法：运用弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|ab|=2 r2- d 2代数法： |ab|=|x1-x 2| 1+k 2=|y 1-y 2| 1+1/k 2； (k 为直线斜率，适用于所有的圆锥曲线) 37、圆系：（ 1）设圆 c 的方程为x 2+y2+dx+ey+f=0 ，则与圆 c 同心的圆系方程为：x 2+y2

23、+dx+ey+ =0；（ 2）过两个已知圆 x 2+y 2+d 1x+e 1y+f 1=0 和 x 2+y 2+d 2 x+e2y+f 2=0 的交点的圆系方程为： x 2+y2 +d 1x+e 1y+f 1+（ x 2+y 2+d 2x+e 2y+f 2) =0（ -1）；当 =-1 时，即为两圆相交时公共弦所在的直线；若两圆相切，当 =-1 时则是它们的公切线。38、解析几何中的对称问题：（ 1）点关于直线对称问题点（ a,b ）关于点（ x,y ）的对称点的坐标为（2x-a,2y-b） ;点（ a,b ）关于x 轴的对称点为（a,-b ）；关于 y 轴对称的点为（-a,b ）；关于原点对

24、称 的点为（-a,-b）；关于直线y=x 的对称点为 （ b,a ）；关于直线y=- x 的对称点为 （ -b,-a）；点（ a,b ）关于直线y+x + c=0的对称点为（-b-c,-a-c）；曲线 f(x,y)=0关于直线y+x + c=0的对称曲线为：f （ -y-c,-x-c） =0.(2) 曲 线 c： f(x,y)=0与曲线 c： g(x,y)=0关于点 p（ a,b ）对称，则曲线c上任一点m（ x,y ）关于 p 的对称点m（ 2a-x,2b-y）在曲线 c 上，即 g(x,y)=f（ 2a-x,2b-y）=0 。 即曲线的对称关系可转化成点与点的对称关系。39、椭圆的相关知识

25、：定义：（ 1）到两定点的距离的和是定值（和大于两点间的距离）的点的集合（轨迹）22（ 2）平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是定值（小于 1）的点的集合 （轨迹）22（ 1）标准方程（焦点在x 轴上）：x /a+ y /b= 1；参数方程：x=acos ,y=bsin .e=c/a2220 e1焦半径： |pf| a ±ex0,0 e x 0 c（ x0 表示椭圆上任意一点的横坐标.）22(2) 当在已知条件中不知道焦点位置时，可设椭圆方程为： m x + ny = 1 ，再根据已知条件求解；（ 3）b 和 c 的几何意义：当 b > c 时，椭圆上所有的点与两焦点连线所

26、成的角均为锐角，2当 b = c ，则除了两短轴项点与两焦点连线为直角外，其余也均为锐角，当 c > b 时，则以原点为圆心， c 为半径的圆与椭圆有四个交点，这四个交点与焦点的连线成 90 度的角，在圆内部成钝角，在圆外部的成锐角。（ 4）椭圆“焦点三角形的面积” ：s= b tan( /2).( 是椭圆上与焦点相连的两直线所成的角 )22（ 5）中点弦：若 m（ x0,y0）在椭圆内，则以点 m为中点的弦所在直线的斜率为： k= - (b / a ) ? （ x0/ y0）。弦长 |ab|=2a e(x1+x2)(过右焦点 ) ； |ab|=2a e(x 1+x2)(过左焦点 )(6

27、) 焦半径 : 椭圆上一点 a(x 0 ,y0) 到两个焦点的距离 |af 1|= aex0, |af 1|= a-ex040、双曲线定义：（ 1）到两个定点的距离的差的绝对值 是定值的点的集合（轨迹）。（ 2）到定点的距离与到定直线的距离的比是定值（大于1）的点的集合（轨迹） 。222222双曲线的统一形式： a x + by = 1 ，其中 ab 1， a 为正，则焦点在 x 轴上， b为正，则焦点在 y 轴上 . 焦半径： : 双曲线上一点 p(x 0 ,y0) 到焦点的距离 |pf| a ±ex0。以 y =±b/a x 为渐近线的双曲线系可设为：x轴上，当0 时，

28、表示焦点在y 轴上。/a- y/b= ，当 >0 时，表示焦点在x22中点弦：若 m（ x0 ,y0）在双曲内， 则以点 m为中点的弦所在直线的斜率为：k= (b41、抛物线定义：到定点的距离与到定直线距离相等的点的集合（轨迹）。/ a ) ?（ x0/ y 0）。22方程： y= 2px (p>0) 焦点（ p/2,0）准线： x= -p/2。焦半径 |mf|=x0 + p/222性质：已知过抛物线y = 2px (p>0) 的焦点f 的直线交抛物线于a（ x1,y1）， b（x 2,y2），则有如下性质：（ 1）y 1?y 2= - p， x1?x2= p/4(2)|ab|=x1 + x 2 + p = 2p/sin ( 为直线 ab的倾斜角 )（ 3） s? aob = p 2 /sin （同上）（ 4）1/|af| + 1/|bf| = 2/ p（ 5）以 ab 为直径的圆与抛物线的准线相切（6）以 af（或 bf）为直径的圆与y 轴相切。中点弦： 若 m（ x0,y0）在抛物线内，则以点m为中点的弦所在直线的斜率为：k= p /y 0。42、空间向量 : 空间向量的坐标运算：设 a=（ a1， a2， a3） ,b=(b1,b 2,b 3,) 则 a + b= （ a1 + b 1， a2 + b 2， a3 + b 3）； a - b=