计算机控制复习-第三章

1、1第三章第三章 计算机控制系统数学基础计算机控制系统数学基础q 3.1 差分方程差分方程 q 3.2 z变换变换 q 3.3 逆逆z变换变换 q 3.4 脉冲传递函数脉冲传递函数2 3.1 差分方程差分方程 在离散系统中，用差分方程、脉冲传递在离散系统中，用差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种方式来描述表函数和离散状态空间表达式三种方式来描述表示输出和输入信号关系的数学模型。示输出和输入信号关系的数学模型。 q 差分方程的一般概念差分方程的一般概念q 差分方程的求解差分方程的求解 输入序列输入序列 r=r(k)=r(0),r(1),r(2), 输出序列输出序列 y=y(k)=y(0)

2、,y(1),y(2),系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即 其中，其中，aj，bj是由系统物理参数确定的常数。是由系统物理参数确定的常数。 3 1. 差分方程的一般概念差分方程的一般概念)()()(01jnkrbjnkyankynjjnjj4 2. 差分方程的求解差分方程的求解 差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法变换法差分方程的经典解法差分方程的经典解法 ( )( )( )fpy kykyk5 3.2 z变换变换q z变换的定义变换的定义 q z变换的性质和定理变换的性质和

3、定理q用用z变换法解线性常系数差分方程变换法解线性常系数差分方程 6 1. z变换的定义变换的定义F(z)称为离散时间函数称为离散时间函数f*(t)的的z变换变换*1ln( )( )|szTF zFs0()kkf kT z7 1. z变换的定义变换的定义 z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限就是说，极限 存在时，存在时， f*(t)的的z变换才存在。变换才存在。 z变换常记为变换常记为 连续时间函数与相应的离散时间函数具有相同的连续时间函数与相应的离散时间函数具有相同的z变变换，即换，即NkkNzkTf0)(lim*( )( )

4、ftF zZ* ( )( )( )f tftF zZZ(1)(2)(3) 8 例例 ( )tZ0()kkkT z11( )tZ01()kkkT z111z1z 1( )t TatZ0kkka z111azza1( )nanZ9 2. z变换的性质和定理变换的性质和定理（1 1）线性性质）线性性质证明：证明： 1 1221122( )( )( )( )f tf tF zF zZ1 122( )( )f tf tZ1 12200()()kkkkf kT zf kT z1 1220()()kkf kTf kTz1122( )( )F zF z10 2. z变换的性质和定理变换的性质和定理（2 2）求

5、和定理）求和定理证明：证明：010( ) ( )11( ) ( )1kjkjzf jf kzf jf kzZZZZ0( )kjf jZ ( )1zf kzZ00( )kkkjf jz 0( )kjkjf jz10( )1jjzf jz11 2. z变换的性质和定理变换的性质和定理（3 3）平移定理）平移定理左位移定理（超前定理）：左位移定理（超前定理）：右位移定理（延迟定理）：右位移定理（延迟定理）：证明：证明：10 ()( )( )nnnjjf tnTz F zzf jZ ()( )nf tnTzF zZ ()f tnTZ0()kkf kTnT z10( )( )nnnjjz F zzf j

6、0()nk nkzf kTnT z ()njj nzf jT zj n k 100()()nnjnjjjzf jT zzf jT z12 例例1( )nanZ111azza1( )knenZ111kezkze(1)1(1)k nenZ111kzezkze1kze13 例例 ( )u nZ111z1z ()u nkZ11kzz1z ( )()u nu nkZ111kzz1z 14 2. z变换的性质和定理变换的性质和定理(4)(4)初值定理初值定理证明：证明：)(lim)0(zFfz0( )()kkF zf kT z12(0)(1)(2)()kffzfzf kT z lim( )(0)zF zf

7、15z变换的性质和定理变换的性质和定理（5）终值定理）终值定理例：例：已知已知则则)()1 (lim)()1(lim)(lim111zFzzFzztfzztlim ( )tg t2( )(0.8)(0.1)zG zzz11lim( )zzG zz211lim(0.8)(0.1)zzzzzz0常用于分析系常用于分析系统的稳态误差统的稳态误差16用用z变换法解线性常系数差分方程变换法解线性常系数差分方程采用采用z变换法解线性常系数差分方程和利用拉变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似氏变换法解微分方程相类似解的过程是先将差分方程经解的过程是先将差分方程经z变换后成为变换后成为z

8、的代的代数方程，然后求出未知序列的数方程，然后求出未知序列的z表达式表达式Y(z)，最，最后查后查z变换表或用其他方法求得变换表或用其他方法求得y(k)。17 例 3.3 用用z变换法解下列差分方程变换法解下列差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0 初始条件为初始条件为y(0)=0, y(1)=1.解：解： 对方程两端做对方程两端做z变换变换 z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)+3zY(z)-3zy(0)+2Y(z)=0代入初始条件代入初始条件 (z2+3z+2) Y(z)=z做逆做逆z变换变换2( )32zY zzz12zzzz( )( 1)( 2)kky k 18 3.3

9、 逆逆z变换变换 所谓逆所谓逆z变换，是已知变换，是已知z变换表达式变换表达式F(z)，求相应离散序列求相应离散序列f(kT)的过程的过程q 部分分式展开法部分分式展开法 q 幂级数展开法幂级数展开法(长除法长除法) q 留数计算法留数计算法1() ( )f kTF zZ19 1. 部分分式展开法部分分式展开法 部分分式展开法又称查表法，其基本思想是部分分式展开法又称查表法，其基本思想是根据已知的根据已知的F(z)，通过查，通过查z变换表找出相应的变换表找出相应的 f(kT)。然而。然而z变换表的内容有限，需要把变换表的内容有限，需要把F(z)展展开成部分分式以便查表开成部分分式以便查表 具体

10、方法和求拉氏变换的部分分式展开法类具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似，分为特征方程无重根和有重根两种情况似，分为特征方程无重根和有重根两种情况 20 (1) 特征方程无重根特征方程无重根01( )niiiAAF zzzzz01( )niiiAzF zAzz101()()niiizf kTAAkTzzZ 例例3.4 求求 的反变换。的反变换。 解：解： 由于由于 故有故有 即即 23)(2zzzzF1121231)(2zzzzzzFTtTttf) 1 ()2()()21kf kT ( )21zzF zzz例例3.5 求求 的反变换。的反变换。解：解： 特征方程为特征方程为所以特征方程有两重

11、根。设所以特征方程有两重根。设 其中其中A,B为为所以有所以有 211213)(zzzzF21)1 ( z1 21( )(1)(1)ABF zzz11 21(1)( )zAzF z11 21(1)( )zdBzF zdz1 2121( )(1)(1)F zzz (2) 特征方程有重根特征方程有重根111( 3)2zz 111 31zdzdz 由于在表中查不到上式第一项的由于在表中查不到上式第一项的z反变换，故将上式两边反变换，故将上式两边都乘都乘z-1 由于由于 故有故有 等价于等价于即即 )1 ()1 (2)(112111zzzzzFz11-111 2122,1()(1)(1)zzttTzT

12、z ZZ2()( ) 1()f tTttTT ()2(1)123f kTkk 2( )() 1( )f ttTtT 由由z变换的定义变换的定义 序列序列 f(kT)值是上述幂级数中值是上述幂级数中z-k的系数的系数对于用有理函数表示的对于用有理函数表示的z变换，可以直接用分母去除分变换，可以直接用分母去除分子，得到幂级数的展开形式子，得到幂级数的展开形式如果级数是收敛的，则级数中如果级数是收敛的，则级数中z-k的系数就是的系数就是 f(kT) 的值的值在用长除法求系数时，在用长除法求系数时，F(z)的分子和分母都必须写成的分子和分母都必须写成z-1的升幂形式。的升幂形式。24 2. 幂级数展开

13、法幂级数展开法kkkzkTfzTfzTffzkTfzF)()2()() 0 ()()(210利用三种方法求利用三种方法求 的的z反变换反变换 课堂练习：课堂练习： 2223( )(2)(1)zzF zzz(1) 部分分式展开(2) 幂级数 ( )21kf kk课堂练习：课堂练习： 2223( )(2)(1)zzF zzz2( )1112(1)1F zzzzz2( )2(1)1zzzF zzzz123( )2510F zzzz*( )2 ()5 (2 )10 (3 )fttTtTtT27 3.4 脉冲传递函数脉冲传递函数q 1. 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 q 2. 脉冲传递函数的求法

14、脉冲传递函数的求法 q 3. 脉冲传递函数与差分方程脉冲传递函数与差分方程 q 4. 开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数 q 5. 闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数28 1. 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 线性离散系统的脉冲传递函数定义为零初始条件下，线性离散系统的脉冲传递函数定义为零初始条件下，系统或环节的输出采样函数系统或环节的输出采样函数z变换和输入采样函数变换和输入采样函数z变换变换之比。之比。00)()()()()(kkkkzkTrzkTyzRzYzG图3.3 开环离散系统29 2. 脉冲传递函数的求法脉冲传递函数的求法 脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数脉冲传递函数的含义

15、是：系统脉冲传递函数G(z)就就是系统单位脉冲响应是系统单位脉冲响应g(t)的采样值的采样值g*(t)的的z变换。即用下式变换。即用下式表示表示 当系统的传递函数当系统的传递函数G(s)已知时，可按下列步骤求取已知时，可按下列步骤求取脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)。 用逆拉氏变换求脉冲过渡函数用逆拉氏变换求脉冲过渡函数g(t)=L L -1G(s) 将将g(t)按采样周期离散化得按采样周期离散化得g(kT) 根据上式求得脉冲传递函数根据上式求得脉冲传递函数G(z) 0)()(kkzkTgzG脉冲传递函数与差分方程之间可以相互转换脉冲传递函数与差分方程之间可以相互转换典型的线性离散系统的差分方

16、程可以写成典型的线性离散系统的差分方程可以写成在系统初始条件为零的情况下，对上式求在系统初始条件为零的情况下，对上式求z变换变换系统的脉冲传递函数为系统的脉冲传递函数为 30 3. 脉冲传递函数与差分方程脉冲传递函数与差分方程njnjjjjkyajkrbky01)()()(njjjjnjjzzYazzRbzY10)()()(01( )( )( )1njjjnjjjb zY zG zR za z 例例3.8 设线性离散系统的差分方程为设线性离散系统的差分方程为且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。 解：对差分方程求解：对差分方程求z变换，得变换，得 系统

17、的脉冲传递函数为系统的脉冲传递函数为 )2(3) 1(2)()3(8)2(4) 1(2)(krkrkrkykykyky21321)(3)(2)()(8)(4)(2)(zzRzzRzRzzYzzYzzYzY321218421321)()()(zzzzzzRzYzG 例例3.9 设线性离散系统脉冲传递函数为设线性离散系统脉冲传递函数为 试求系统的差分方程。试求系统的差分方程。 解：解： 对上式两边求对上式两边求z反变换，可得差分方程为反变换，可得差分方程为32132)(2323zzzzzzzG3212332123( )231123( )( )23123Y zzzzzzzG zR zzzzzzz)3

18、()2(3) 1(2)()3(3)2(2) 1()(krkrkrkrkykykyky123123123( )123( )zzzY zzzzR z33 4. 开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数q 串联环节之间有采样开关情况串联环节之间有采样开关情况 q 串联环节之间无采样开关情况串联环节之间无采样开关情况 q 输入处无采样开关情况输入处无采样开关情况 例例3.10 求某计算机控制系统中一个连续环节求某计算机控制系统中一个连续环节 的脉冲传递函数。的脉冲传递函数。解：在计算机控制系统中，连续环节解：在计算机控制系统中，连续环节Gp(s)是通过保持器来是通过保持器来接受输入脉冲序列的，因此整个系统的开

19、环传递函数是保接受输入脉冲序列的，因此整个系统的开环传递函数是保持器与连续环节的串联连接。如果使用的是零阶保持器，持器与连续环节的串联连接。如果使用的是零阶保持器，则其传递函数是则其传递函数是 asasGp)(sesHTs1)(00( )( )( )pG sHs Gs1Tseassa11()(1)Tsessa1111()()Tsessassa查拉氏变换表，利用平移定理得查拉氏变换表，利用平移定理得 故有故有 结论结论1：零阶保持器的引入，不影响开环系统脉冲传递函：零阶保持器的引入，不影响开环系统脉冲传递函数的极点，但影响零点。数的极点，但影响零点。结论结论2：加入零阶保持器后的脉冲传递函数：加

20、入零阶保持器后的脉冲传递函数1( ) ( )g tG sL11111111( ) ( )1111aTaTzzG zg tzzezezZ101( )( )( )(1)( )ppG zHs GszGssZZ(1)1( )atet()1( ) 1()ata t TttTee()11()a t TetT 11(1)1aTaTezez证明：证明：假设假设101( )( )( )(1)( )ppG zHs GszGssZZ补充：结论补充：结论2 2 的证明的证明1( )( )TspeG zGssZsesHTs1)(01( )( )TsppeGsGsssZZ11( )( ),ppgtGssL( )( )()

21、ppG zgtgtTZZ( )( )ppgtHzZ1( )( )ppHzz Hz11(1)( )pzGssZ37串联环节之间有采样开关情况串联环节之间有采样开关情况因为因为 所以有所以有 同理有同理有 因此因此 开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数 )()()(*2sAsGsY)()()(2zAzGzY)()()(*1sEsGsA)()()(1zEzGzA)()()()(12zEzGzGzY)()()(12zGzGzG图3.5 串联环节之间有采样开关38串联环节之间无采样开关情况串联环节之间无采样开关情况因为因为 则有则有 此时开环脉冲传递函数为此时开环脉冲传递函数为 )()()()(*12sEs

22、GsGsY)()()(12zEzGGzY2121( )( )( )( )G zG G zG s G sZ图3.6 串联环节之间无采样开关39输入处无采样开关情况输入处无采样开关情况因为因为 故有故有 )()()(*2sAsGsY)()()(2zAzGzY)()()(1sEsGsA11( )( )( )( )A zG E zG s E s Z)()()(12zEGzGzY图3.7 输入处无采样开关当输入处无采当输入处无采样开关时，求样开关时，求不出输出对输不出输出对输入的脉冲传递入的脉冲传递函数，只能求函数，只能求出输出采样信出输出采样信号的号的z变换变换。40 5. 闭环脉冲传递函数闭环脉冲传

23、递函数 由于采样开关的配置不同，因此闭环离散系统没有由于采样开关的配置不同，因此闭环离散系统没有统一的结构形式统一的结构形式 。闭环脉冲传递函数的分析方法与开环脉冲传递函数类似。闭环脉冲传递函数的分析方法与开环脉冲传递函数类似。由图可知由图可知取采样信号的取采样信号的z变换，得变换，得因因闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数 ( )( ) ( )Y zG z E z( )( )( ) ( )E sR sM s Y s 5. 闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数图图 3.8 闭环离散系统常见结构形式闭环离散系统常见结构形式 ( )( ) ( )( )R sM s G s Es( )( )( ) ( )E

24、 zR zMG z E z( )( )1( )R zE zMG z( )( )( )( )1( )Y zG zzR zMG z误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数 ( )1( )( )1( )eE zzR zMG z 误差信号有采样开关的闭环系统误差信号有采样开关的闭环系统 5. 闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数图图 3.8 闭环离散系统常见结构形式闭环离散系统常见结构形式 单位负反馈闭环系统单位负反馈闭环系统 ( )1( )ezz ( )( )( )Y zzR z前向通道所有独立环节的Z变换之积1+反馈通道所有独立环节的Z变换之积 例例3.11证明：由图可知证明：由图可知所以有所以有 取采样信号的取采样信号的z变换，得变换，得 )()()(sEsGsY)()()()(*sYsMsRsE)()()()()()(*sYsMsGsRsGsY)()()()(zYzGMzGRzY( )( )1( )GR zY zGM z图图3.9 离散系统结构图离散系统结构图 et1()Gs-+r(t)c(t)+2()G s()Hs （1）在下图所示的闭环控制系统中，若）在下图所示的闭环控制