高等数学1试题(附答案解析)

1、WORD 文档可编辑题号一二三四五六七八九十总分得分得分评阅人一、填空题（共6 小题，每小题3 分，共 18 分）1 由曲线 r2cos所围成的图形的面积是。2 设由方程 x y22 所确定的隐函数为 yy( x) ，则 dyy dx。2 x3 函数 ysin 2 x 的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为 x21 x4o(x4 ) 。31xdx1。40 1x 25 函数 yx2 cos x 在区间0 ，上的最大值为3 。266 limnnn2 =。22222nn1n2n n4得分评阅人二、选择题（共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1. 设 f (x)cosxxsin1, x0 ，则 x

2、0 是 f ( x) 的xD。x2 1,x0A可去间断点B 跳跃间断点C振荡间断点D 连续点2. 设 f (x) 2x 3x 2 ，则当 x0 时，下列结论正确的是B。A f ( x )与 x是等价无穷小B f ( x)与 x同阶但非等价无穷小C f ( x)是比 x高阶的无穷小D f ( x )是比 x 低阶的无穷小技术资料专业分享3.dxC。1 x x21A不存在B 04. 设 f (x) 具有二阶连续导数，且的是A。A f (0) 是 f ( x) 的极大值C f (0) 不是 f ( x) 的极值x5. 曲线 ycost d t 的全长为2CD2f (0) 0 ， lim f (x)1

3、，则下列叙述正确x 0B f (0) 是 f ( x) 的极小值D f (0) 是 f ( x) 的最小值D。A1B 2C 3D 46. 当 a, b 为何值时，点 ( 1,3 ) 为曲线 yax3bx2 的拐点？A。A a3 ， b9B.a3 ， b92222C a3 ， b9D.a3 ， b922227. 曲线 yx 2 x 的凸区间为D。A.( ,2 )B. (2 ,)C.(2,)D.(,2 )ln 2ln 2ln 2ln 2得分评阅人三、计算题（共 7 小题，其中第 1 5 题每小题 6 分，第 67 题每小题 8 分，共 46 分）x21. lim cos1xx1 , 原式 lim1

4、解： 令 tcos tt 2xt 0ln cost0 型)lim(et 0t 20（3分）sin tlim2 t costet 01e2（6 分）欢迎下载22. 设函数 yy( x)由参数方程xln(1t 2 )所确定 , 求 d 2 y。ytarctan tdx 2dyd (tarctant )111t2t（3 分）解：d ln(1t 2 )2t2，dx1t 2ddytd2 ydxd ( 2)1111 t 2（6 分）dx2dxdtdx22t4tdt1t 23.xexdx x2(e1)解： 原式x d(x1)（2 分）e 1=x1dxex1ex 1=x(11xx1xx)deeee 1=exx

5、lnexC（6 分）1ex14. 求4xdx01x解：令xt (t0)，则 xt 2，dx2tdt（2 分）4xdx2t2 t 221)dt2tdt 2dt 2 ( t 10 1x0 1 t0 1 t0t 1（6 分）2 t 22tln 1t 2ln3205.设曲线 f (x)xn 在 (1, 1)处的切线与 x 轴的交点为 ( xn , 0) ，求 lim ( x n ) n 。n解：f (1)nxn 1 x 1n ，所以 f ( x) 在点 (1,1) 处的切线方程为：欢迎下载3y n( x1)1.(*)(2 分)由题意知切线 (*)与 x 轴的交点为 (xn , 0)，即 0 n( xn

6、1) 11(5分)xn 1n从而可得：lim ( xn ) nlim (11 )n e 1 (6分)nnn6.设连续函数f ( x)满足f (x)f (x)sin 2 x，求积分2I2f ( x)sin 2 x dx 解：方程两端同乘 sin 2 x 并从积分到，得：2222f (x)sin 2 xdx22 xdxf ( x)sin2(3分 )24 xdx24 xdx 2I(*)sin2 sin420又2f ( x )sin 2 xdx 令 tx22 f ( t )sin 2 ( t )( dt )2 f ( t )sin 2 tdt （ 5 分）22由 (*) 得：I22f (x)sin2

7、xdx 12I 4123123 (8分)2242167.设 f ( x) 连续， F ( x)f (t x) dt ，且 limf ( x)A （ A 为常数），10x 0x求dF ( x)。x欢迎下载4解：由 lim f ( x)A 知： f (0)0。x0x令 ut : 01t x，则， du xdtu : 0xdtdux1xdu于是F( x)f (tx)dt0f (u)0x1x可见： F ( x)f (u ) du , x 0x00 ,x0当 x0时 ， F ( x)1xx20f (u) du当 x0时 ， F (0) limF (x)F (0)xx 01xf (u)dulimx0xx0

8、xf (u) dulim0(x)2x0limf (x)1 A,x02 x2x1xf (u ) du ( x 0)x0(4分)xf ( x)xf (u) du10f (x)； (6分)xx20xf ( x)f (u ) du所以： F ( x )0, x0 (8分)A ,x 2x02得分评阅人四、应用题（共 1 小题，每小题9分，共 9分）设直线 ya x ( 0a 1) 与抛物线 yx 2 所围成的图形为D1 ，它们与直线x 1所围成的图形为 D 2，若 D1、 D2同时绕 x 轴旋转y一周得到一旋转体， 试确定 a 的值，使该旋转体的体积yx 2最小解：D:0x a， D 2:ax1D2y ax1axy x 2x 2y axaaD1V 1(ax ) 2( x 2 ) 22 x 2x4 dxx0dxaOa01V 21(x 2 )2(ax ) 2dx1a2 x 2 dxax 4a欢迎下载5V (a ) V1 V 2ax 4 dx1a 2 x 2 dxa 2 x2x 40aa 2 x3x5ax5a 2 x3135053a4a 5a 25. (5分)153dV (a )4a 42adV ( a)0a1. (7分)da33da32d 2V ( a)1da2a 3 216 a3233 a13 21612603233a1. (9分)32 166f ( x)a , ba , bf