ch函数极限定义与性质PPT学习教案

1、会计学1ch函数极限定义与性质函数极限定义与性质几何解释几何解释:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使推论推论).,(),( aUxaUaaxnn 只只有有有有限限多多项项邻邻域域的的任任一一对对收收敛敛于于数数列列定义N12/8/2021第1页/共58页1.有界有界性性(全局性）全局性）定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必

2、要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .12/8/2021第2页/共58页2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .3.3.子列的收敛性子列的收敛性定理定理3 3 如果如果数列收敛，则它的任一个子数列数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同也收敛，且极限相同. .limlimlim 4212axxaxnnnnnn 定定理理12/8/2021第3页/共58页一、自变量的变化过程一、自变量的变化过程二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限 新

3、课新课 第一章第一章 12/8/2021第4页/共58页.,0 . 1xxx记为记为无限增大无限增大且且2. x 0有定义有定义 , 对对任意给定的无论任意给定的无论多么小的正数多么小的正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x X 时，时， 恒有恒有 | f(x) A| ， 则称常数则称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x+ 时的极限时的极限 .1. x + 时时 f (x) 的极限的极限. )()(,)(lim xAxfAxfx或或者者记记为为定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA0nnnxANZnNxAlim, ,. 使使恒恒

4、有有定义N当当 时时12/8/2021第8页/共58页几何意义几何意义.2,)(,0, 0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线落在以直线落在以直线图形完全图形完全函数函数时时当当对对 AyxfyXxX xxysin XAsinlim0 xxAx 定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA12/8/2021第9页/共58页2. x - - 时时 f (x) 的极限的极限定义定义 设设 f(x) 在在 x 0有定义有定义 , 对对任意给定的正数任意给定的正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x- - X 时，恒有时，恒有| f(x)

5、 A| ，则，则称常数称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x- - 时的极限时的极限 .lim( ),( )().xf xAf xA x 或或者者定义定义X 记为记为 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA无论多么小无论多么小12/8/2021第10页/共58页几何意义几何意义.2,)(,0, 0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线落在以直线落在以直线图形完全图形完全函数函数时时当当对对 AyxfyXxX xxysin X Asinlim0 xxAx

6、定义定义X Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当12/8/2021第11页/共58页 Axfx)(lim.)(,|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当3. x 时时f(x)的极限的极限 Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理：定理：几何意义几何意义注注否否 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA12/8/2021第12页/共58页xxysin 几何意义几何意义.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中

7、心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXx X XAlim( )xf xA 0, 总总存在正数存在正数 0,只要只要 f 的定义域中的点的定义域中的点 x 满足满足0|x x0| 时，恒有时，恒有 |f(x) A| 0 ?不能不能! 200 limxx 如如12/8/2021第35页/共58页定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设。 推推论论).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且

8、设设。 ., 0)(即为前面的定理与推论即为前面的定理与推论若若 xg由此也可证由此也可证“极限的唯一极限的唯一性性”?不能不能! 222 ( ), ( )f xxg xx如如0af(x)=b存在的充要条件存在的充要条件是是:对属于函数对属于函数f(x)定义域的任意数列，定义域的任意数列，且且limn-an = a，ana，有，有limn-f(an)=b。海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。同样求数列极限也可转化为求函数

9、极限。 因此，函数极限的所有性因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。用。 海涅定理是德国数学家海涅（海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。称它为归结原则。12/8/20

10、21第54页/共58页M-Myxoy=f(x)I有界有界0,( ),MxIf xM 若若有有成成立立则称则称 f(x) 在在I 上上有界有界.若这若这M不存在，则称不存在，则称 f(x)在在 I 上上无界无界.例：例：1( )(1,2) ?f xx 在在上上有有界界 ( )sin ?在在上上f xxR有界有界( )tan(,) ?2 2f xx 在在上上无界无界1121/2oxy1yx 补充知识补充知识函数的有界性函数的有界性:设设f(x)在区间在区间I上有定义上有定义v 12/8/2021第55页/共58页 设设 f(x) 在区间在区间 I 内有定义内有定义, ,若若 M1 和和 M2 使使x I, 都有都有 M1 f(x) M2 , 则称则称 f(x) 在在 I 内有内有界界, ,而而M1和和 M2称为称为f(x)在在 I 上的一个上的一个下界下界和一个和一个上界上界. .M-Myxoy=f(x)I有界有界0,( ),MxIf xM 若若有有成成立立则称则称 f