ch金精算现值PPT课件

1、第五章 年金精算现值本章内容：生存年金概念和种类 连续给付型生存年金离散给付型生存年金每年给付数次的年金利用换算函数计算年金精算现值第1页/共57页5.1 生存年金的概念和种类1. 生存年金的概念： 以某人生存为条件，按约定金额多次给付的保险形式。2. 种类： 按缴费方式，趸缴与年缴 被保险人数，个人年金与联合年金 给付额度，定额年金与变额年金 开始日期，即付与延期付年金 有效期，终身与定期第2页/共57页3. 生存年金精算现值的概念：1:nnxx nAvp注意：精算现值因子与趸缴纯保费精算积累因子11nnxnxEvp定义精算现值因子：nnxnxEvp第3页/共57页例3.1 某人遗嘱中记录，

2、其儿子年满21岁时可获得其5万元遗产。若其子现年12岁，利用附录中生命表计算其儿子所得遗产的精算现值（i=6%）。解：9921912912129500005000050000(1 0.06)98322650000(1 0.06)98842729439.20()lEvpl元第4页/共57页例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元在65岁的精算积累值。解：353035306535150005000 1.069766115000 1.0681833545863.35()lEl元第5页/共57页5.2 连续给付型生存年金连续型生存年金：在保障期间，以被保险人存活为条件，连续支付年金

3、的保险形式。类型：终身年金定期年金延期年金第6页/共57页n 几种年金形式的精算现值模型假设：(x)购买终身生存年金，连续给付，年支付额1元总额支付法考虑其精算现值： 设余命 T , 未来给付的现值随机变量 Y，则1TTvYa00( )xTtxx tTttaEYEaa ft dtapdtxa1. 终身生存年金第7页/共57页(x)生存至t的概率为考虑到计算时间t,t+dt)所支付的当期年金的现值按可能支付的时间积分，得到期望年金现值tv dt0txtxavp dt现时支付法考虑其精算现值：txp第8页/共57页2. n年定期生存年金:0nttxx navp dt: xna0 ,0 ,( )Tn

4、ntxx tnxx ntnaTnYaTnaE Yapdtap：第9页/共57页3. 延期年金延期h年终身生存年金延期h年n年定期年金|:thxtxxhxx hx hhavp dtaaEa|:h nthtxhxx nx h nx hx h nhavp dtaaEa第10页/共57页例3.3 设随机变量T的概率密度函数为利力为，求（1）（2） 基金足够用于实际支付年金的概率。xaxa0.015( )0.015,(0),tf tet0.0150.0150.0150.050.0150.065000(1)( )0.015()|15.38461515.38sstxTttttttttxtxpft dteds

5、eeavp dteedtedt 解：0.0529.310.01501(2) Pr()Pr(15.38)Pr(29.31)0.050.0150.3557TxTteaaTedt注：只有一张保单时，以期望值建立基金，保证支付概率偏低。第11页/共57页n 年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系1. 关系（以终身生存年金为例）1xxaA类似地，有:|:1x nxhxxxhxx nx h naAAaAAaA： n： h： h111()()()(1)TxxTvZaE aEEA第12页/共57页222:2111( )()( )1()() xxTZYZVar YVarVar ZVar aAA2. 方差终身年金：2

6、222:11( )()( )1( )() x nx nZVar YVarVar ZVar YAAn年期生存年金：第13页/共57页延期h年终身生存年金：|0,hT hThYaTh22220()()hhtxx thxsx hx h st hshEYv apdtvpapds 2222022()()hsshhxsx hhxx hx hvpvvpdsvp aa22222|2( )()()()hhxx hx hhxVar YEYEYvp aaa第14页/共57页n 年金的精算积累值:nnx nx nasas:0nx ntxx nnxnxaEsdtEE:(1)nx nxx nx nlsi l a第15页/

7、共57页5.3 离散型年金n 期初付年金及其精算现值1 终身生存年金模型假定：(x)购买了期初付终身生存年金，年金金额为1元，每个保单年度初给付年金给付现值随机变量：21|1.KKYavvv 总额支付法中对上式求期望即得精算现值xa 11Kvd第16页/共57页现时支付法：总额支付法:0kxkxkavp111001( )()kxxkxx kkKkkkvaE YE aaqp qd两种方法下的精算现值：第17页/共57页模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，每个保单年度初给付年金1元年金给付的现值随机变量： 11|1,0,1,2,.,11,1,.KKnnvaKndYvaKn nd2 n年

8、定期生存年金第18页/共57页: |x na n年定期生存年金的精算现值11:00nnkkxkxx nkkavpE3 延期付期初付生存年金1|:n hkhkxhxx nx h nx hx h nk havpaaEa |:khxkxxhxx hx hk havpaaEa第19页/共57页111KKvYad1111( )( )()1KxxxxAvE ZaE YEdddAdan 年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系1 终身年金：说明：x岁的生存者，在年利率为i时，缴纳1元保费可享受每年初给付d元的终身生存年金，并且死亡时还有1元的死亡给付。第20页/共57页2212211 KxxAAvVar YVar

9、Var Zddd给付现值随机变量的方差：第21页/共57页:( )x nE ZA2 其他年金形式：n年定期生存年金：:111( )( )()1x nx nx nx nAZE ZaE YEdddAda22: |: |22()11 x nx nAAZVar YVarVar Zddd第22页/共57页延期付生存年金：:1()xxmx maAAd:1()xm nx mx m naAAd第23页/共57页n 期末付年金的精算现值1 期末付终身生存年金在每个保单年度末给付1元，直至终身死亡。xa1011kkxkxkxxkkavpvpa ( )()KxKYaaE YE a现时支付法：总额支付法：第24页/共

10、57页精算现值与趸缴纯保费的关系： 111111 (1)xxxxxxAAdaaddivAi Aivi 1 (1)xxiai A xxxAvaa第25页/共57页2 其他期末付年金形式: |: |11nknkxnxx nx nkavpavp :1:11x nx nx nx nx naaAvaa 第26页/共57页险种延期m年期末付终身生存年金延期m年期末付n年定期生存年金精算现值:1:1:1:11()xm nx m nx mmxx m nx m nx mx mx m naaaEaaaAAd :1:11()xxmx mmxx mxx mxx maaaEaaaAAd第27页/共57页n 年金的精算积

11、累值:x nx nas:x nx nnxasE:(1)nx nxx nx nlsi l a11:001100111(1)nnkxkxx nx nkknxnxnxnnn kx kkkn kx kx nEsaEEEEliEl第28页/共57页5.4 每年给付数次的年金1 终身生存年金模型：（x）,终身生存年金，每年支付m次，期初支付，每次支付1/m.精算现值：给付现值随机变量：视1/m段为一年，L表示活过的整1/m段数，实际利率为 ，实际贴现率为 ，于是考虑每次付款额为1/m的年金()01kmmxkxkmavpm()mim()mdm()11miLmYam第29页/共57页()()(1)(1)()(

12、)()()1 (1)1(1)1mmLLmxmmmiiEAmmEYEddd()()mxxmiAAi其中，()()()1mmmxxdaA()()(1)()11 (1)11mmLmiLmimYadmmm第30页/共57页两类年金精算现值关系()mxxaa与()()()()()1mxxmmmmxxxxiAAidaAdaA由上两式，可得()()()()()()()( )( )( )( )mmxxmmmmmxxidiiaaididmmam am第31页/共57页()( )( )mxxam am精确公式：i很小时 ，因此有近似公式1( )1,( )2mmmm()12mxxmaam对上述近似公式的说明：根据下

13、面提示得到()0|121|1()1,(1,2,)mxxxxmxmmmkxxmaaaaamkmaakmm第32页/共57页2 定期生存年金模型：(x)期初付、n年期、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值：( )( ) ( )( )xnxx nm amEm am()()():mmmxnxx nx naaEa():1(1)2mnxx nx nmaaEm:( )( )(1)nxx nm amE第33页/共57页3 延期终身生存年金模型：(x)期初付、延期h年、终身年金、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值：()|()| ( )( )( )( )12mhxhxx hhxhxmhxhxhxaEm am

14、mamEmaaEm第34页/共57页4 期末付终身生存年金模型：(x)每期期末付、终身年金、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值：()()1mmxxaam112xmamm1211212xxxmammammam 第35页/共57页例3.5 (35)欲购买如下生存年金，已知下列年金均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率6%。求下列年金的精算现值：(1)终身年金；(2)延期15年终身年金；(3)15年定期生存年金。35351535:15(15.695458,10.198933,0.4038336)aaE设解：()()()()()(12)1.00028095(12)0.46811888mmmm

15、mididiiid第36页/共57页(12)35351000 1212000 (12)(12)12000 1.00028095 15.6954580.46811888182780.98aa(1) (2)(3)(12)15|3515|3515353535:151200012000 (12)(12)12000 1.00028095 ()0.46811888 0.403833663708.32aaEaa(12)153535:1535:151200012000 (12)(12) (1)12000 1.00028095 10.1989330.46811888 (1 0.4038336)119072.66

16、aaE第37页/共57页1000000 N (1)S =(1) xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkxx kx kkkDv lCvdMCDRMkCNkD5.5 利用换算函数计算年金精算现值第38页/共57页0kxkxkavp1 每年给付一次的生存年金终身生存年金00 x kkx kx kxkkxxlvlvlv l0 x kkxxxDNDD第39页/共57页注：期末付终身生存年金111xxxxxxxxxNNDNaaDDD 第40页/共57页|: |: |1|11:11|:x hhxxxx nx nxx hx h nhx nxx hhxxxx nx nxx hx h nhx nxNa

17、DNNaDNNaDNaDNNaDNNaD 其他：第41页/共57页险种期初付期末付终身生存年金定期生存年金延期终身生存年金延期定期生存年金xxxDNa1xnxxnxDNNa: xnxxnxDNNa11:xxxDNa x hxhxNaD1x hxhxNaD :x hx h nhx nxNNaD 11:x hx h nhx nxNNaD 第42页/共57页例设对(60)每年年末给付养老金10000元，直到死亡，求该年金的精算现值（i=6%）。616060279104.3510000100001000026606.02104902.71(NaD元）解：第43页/共57页253525:10|25100

18、00100003762125 19856921000022838577782.39NNaD例3.7 (25)，欲购买一份10年期每年年初给付10，000元的生存年金，求该年金的精算现值（i=6%）。解：精算现值为第44页/共57页2 每年给付m次的生存年金计算方法：（一）将a(m)与 a建立联系，即年付多次的用年付一次的表示。()():()|( )( )( )( )(1) ( )( )mxxmnxx nx nmhxhxx ham amam amEaEm am第45页/共57页（二） N(m)与N建立联系，引入一个新的换算函数符号。()01kmmxkxkmavpm()01mxkxkmNDm记()

19、()1( )( )2mxxmxxxxxaamNm Nm DNDm由与关系，可知()()mmxxxNaD则0011kxmkxmkxxkkxxmvlDmv lmD第46页/共57页结论：()()()()1/()()()()()()1/1/:()()()()1/|mmmmxxmxxxxmmmmmmxx nxmx nmx nx nxxmmmmx hx hmhxxhxxNNaaDDNNNNaaDDNNaaDD ()()()11001( )( )21111mxxxxxmmkkxxxxxxkkmmmmmNm Nm DNDmNDDDNDmmmm第47页/共57页例3.8 (30)每月初可领取生存年金240元，

20、求下列年金精算现值（UDD, i =6%）：（1）终身生存年金；（2）延期10年终身生存年金；（3）10年定期生存年金。解：(12)(12)(12)(12)(12)(12)1.00028095,(12)0.46811888ididiiid第48页/共57页(12)(12)303030303030(12)(12)(1) 240 1228802880(12)2743767(12)170037.8288045137.18()170037.8NNDaDD元(12)(12)4040403010|3030(2)(12)(12)240 1228802880(12)1422017(12)93942.94288

21、023347.20()170037.8NNDaDD元(12)(12)(12)304030:10303030404030(3)240 122880 (12)(12) (12)(12)288045137.1823347.2021789.98()NNaDNDNDD元第49页/共57页例3.9 求(30)每年支付1200元的下列期末付终身生存年金的精算现值（6%）。若给付方法为：（1）按年；（2）按半年；（3）按季；（4）按月。解：313030(1)257373012001200120018163.46()170037.8NaD按年：元(2)30 1/2303030303030(2)(2)1.0002

22、12175,(2)0.257390798(2)(2)1/2120048001200(2)2743767( (2) 1/2)170037.8120018458.65()170037.8NNDDaDD(2)按半年：元第50页/共57页(4)30 1/4303030303030(3)(4)1.000265495,(4)0.384238622(4)(4)1/4120012001200(4)2743767( (4) 1/4)170037.8120018607.52()170037.8NNDDaDD(4)按季：元(12)30 1/12303030303030(4)(12)1.00028095,(12)0.46811888(12)(12)1/12120012001200(12