ch方向导数梯PPT课件

1、1四、方向导数及梯度设函数 z = f (x , y) 在 P0 = (x0 , y0) 的某邻域内 有定义 , 若点 P ( x , y) 在射线 L 上变化则有 问题: 研究函数 z = f (x , y) 在点 ( x0 , y0) 处 , 沿方向 的变化情况给定 , 则过 P0 点且以 为方向的射线方程 :L:第1页/共19页2并且 是 f 在 线段 P0P 上的平均变化率 定义如果当 时 ( 即 P 沿着 L 趋于 P0 ) , 极限 存在 , 则称此极限值为函数 z = f (x , y) 在 P0 =(x0 , y0) 处沿方向 的方向导数 , 记作 , 即 第2页/共19页3.

2、)1(它是一个数它是一个数方向导数是单方向的，方向导数是单方向的，0,1),(),( ixyxPyxfz轴正向轴正向沿着沿着在点在点则则的方向导数：的方向导数：xyxfyxxfx ),(),(lim0zi),(yxfx 存在，存在，的偏导数的偏导数在点在点若若yxffyxPyxfz,),(),()2( 的几何意义: 当点 P 沿着由 所确定的射线 L 趋于 P0 点时 , 函数 z = f (x , y) 在点 ( x0 , y0) 处沿 方向的变化率 第3页/共19页41,0),(),( jyyxPyxfz轴正向轴正向沿着沿着在点在点的的方方向向导导数数：yyxfyyxfy ),(),(li

3、m0zj),(yxfy ，轴负向轴负向沿沿在点在点而而0,1),( ixPyxf的方向导数分别为的方向导数分别为1,0 j轴轴负负向向y，),(),(yxfyxfyx 第4页/共19页5是可微分的，是可微分的，在点在点如果函数如果函数),(),(yxPyxfz 则函数在该点则函数在该点的方向导数都存在，的方向导数都存在，沿任一方向沿任一方向l且有且有coscoszffxyl 的方向余弦的方向余弦为为其中其中l cos,cos是可微的，是可微的，在点在点由于由于),(),(yxPyxfz 则函数增量可表示为则函数增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 其中其中22)()(y

4、x ，得到，得到两边各除以两边各除以 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf )(coscosoyfxf 第5页/共19页6 ),(),(lim0yxfyyxxf 所以所以 coscos yfxf即即coscoszffxyl (1),cos,cosfffxyl ,),(),()2(321llllzyxPzyxfu 沿方向沿方向，则它在点，则它在点设设的方向导数定义为的方向导数定义为0(,)( , , )limuf xx yy zzf x y zl 其中其中222)()()(zyx 其计算公式为其计算公式为coscoscosufffxyzl 第6页/共19页7(5,1, 2)(5,1,

5、2)(9, 4,14)uxyz 例例求求在在点点处处沿沿从从点点到到点点的方向的方向导数的方向的方向导数解解，方向方向12, 3, 4 l其单位向量为其单位向量为， 1312,133,1340l，yzxu ，xzyu ，xyzu 方向导数为方向导数为4312,13 13 13uyz xz xyl 131234xyxzyz 故故(5,1,2)9813ul 第7页/共19页824222,2 ,2yuxtytztxyz 例例求求函函数数沿沿曲曲线线数数的方向导的方向导轴夹角为锐角轴夹角为锐角与与处的切线方向处的切线方向在点在点)()2, 2, 1(xM 解解)2, 2, 1( M点点，对应对应1 t

6、则则1dd ttx，1 1dd tty，4 1dd ttz，8 处的切线方向为：处的切线方向为：即曲线在即曲线在 M，8, 4, 1 l其单位向量为其单位向量为， 98,94,910l而而Mxu Mzyxxy23)(222 ，272 Myu Mzyxzx23)(22222 ，275 Mzu Mzyxyz23)(222 ，274 Mul 98,94,91274,275,27224314 第8页/共19页9梯度 方向导数公式这说明方向：f 变化率最大的方向模 : : f 的最大变化率之值令向量方向导数取最大值：当 与 方向一致时，第9页/共19页10，处的两个偏导数都存在处的两个偏导数都存在在点在

7、点若若),(),(yxyxfz 定义一个向量：定义一个向量：则在点则在点),(yx jyfixf处的处的在点在点称为称为),(),(yxyxfz ，或或记为记为ff grad即即 jyfixfyxf),(说明:(1) 梯度 grad f (x , y) 是一个向量 (2) 对于 , 可类似定义 n 元函数的梯度 第10页/共19页11(3) 如果引进微分算子( 称为二维 Hamilton微分算子 )( 称为 n 维 Hamilton微分算子 )则梯度可表示为第11页/共19页12(4) (a) 当 时 , 即 与 同向 取得最大值结论:梯度方向是函数值增长最快的方向 , 且方向导数有最大值(b

8、) 当 时 , 即 为负梯度方向取得最小值第12页/共19页13(c) 当 时 , 结论:与梯度方向垂直的方向是函数值变化最 微小的方向结论:负梯度方向是函数值减少最快的方向 , 且方向导数有最小值梯度的基本运算公式第13页/共19页14221gradxy 例例求求解解，设设221),(yxyxf ，则则222)(2yxxxf ，222)(2yxyyf 221gradyx jyxyiyxx222222)(2)(2第14页/共19页15例例设设一一块块金金属属板板上上的的电电压压 分分布布，在在已已建建坐坐标标系系中中 的的表表达达式式为为，22450yxV 高得最快？沿哪个高得最快？沿哪个处，

9、沿哪个方向电压升处，沿哪个方向电压升试问在点试问在点)2,1( 多少？多少？升高及下降的速率各是升高及下降的速率各是方向电压下降得最快？方向电压下降得最快？小？小？沿什么方向电压变化最沿什么方向电压变化最解解V 由由，8,2yx )2,1( V则则，16,2 沿方向沿方向所以电压所以电压 V16,2)2,1( V升高得最快；升高得最快；沿方向沿方向电压电压 V16,2)2,1( V下降得最快；下降得最快；上升与下降的速率均为上升与下降的速率均为)2,1( V260 显然，显然，2,16 n向量向量垂直，垂直，与与)2,1( V变化最小变化最小此时电压在该点处沿此时电压在该点处沿n第15页/共19页16内容小结1. 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; ; 记号; ; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续2. 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义3. 3. 微分定义: :第16页/共19页1