ch定积分习题课PPT课件

1、一、主要内容 、 定积分问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式第1页/共51页1 1、问题的提出、问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积A）iniixfA )(lim10 曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线 )(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.第2页/共51页实例2 （求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作

2、直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 S.方法:分割、求和、取极限.第3页/共51页2 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点i （iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 第4页/共51页

3、怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总总趋趋于于确定的极限确定的极限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限I为函数为函数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样第5页/共51页可积的两个条件： 当函数当函数)(xf在区间在区间,ba上连续时，上连续时， 定理1定理2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个第一类间断点，则且只有

4、有限个第一类间断点，则)(xf 在区间在区间,ba上可积上可积. . 3 3、存在定理、存在定理第6页/共51页4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质1 babadxxfkdxxkf)()( ( k为常数为常数 ) 性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性质3dxba 1dxba ab 性质4第7页/共51页 则则0)( dxxfba )(ba 性质5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dx

5、xfba )(dxxfba )()(ba （2） 则则0)( dxxfba )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf， （3）, 0)( xf且且第8页/共51页如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质7 (定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，积分中值公式第9页/共51页5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如

6、果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数 dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数 是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理1定理2（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.第10页/共51页定理 3（微积分基本公式） 如果如果)(xF是连续函是连续函数数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdx

7、xf 也可写成牛顿莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba第11页/共51页6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式 bababavduuvudv第12页/共51页、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散.第13页/共51页(2)无界函数的广义积分当极限存在时，称广义积分当极限存

8、在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散.第14页/共51页、定积分的应用微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式第15页/共51页1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa

9、 第16页/共51页2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba 第17页/共51页（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等

10、于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点第18页/共51页1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量U 的近似值如果的近似值如果U 能近似地表能近似地表示为示为,ba

11、上的一个连续函数在上的一个连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量U的元素且记作的元素且记作dU，即，即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U4 4、解题步骤、解题步骤第19页/共51页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形abab第20页/共51页如果曲边梯

12、形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数第21页/共51页 dA2)(21xo d)( rxo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形第22页/共51页(2) 体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd第23页/共51页xo badxxAV)(xab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA第24页/共51页(3)

13、平面曲线的弧长xoyabxdxx 弧长dxysba 21A曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为第25页/共51页C曲线弧为)( )( rr 弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧第26页/共51页(5) 细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( )(为为线线密密度度x 第27页/共51页(7) 变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8)

14、 水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 第28页/共51页(9) 引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根 badxxfaby)(12第29页/共51页二、典型例题例例1 1解解 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 第30页/共51页例例2 2解解,22 I故得故得.4 I即即第31页/共51页例例3 3解解,sintex 令令.sincos,sin

15、lndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 第32页/共51页例例4 4解解,2tx 令令 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I第33页/共51页例例5 5解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 第34页/共51页例例6 6

16、解解是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 第35页/共51页例例7 7解解 10022)1(2dxdyexxyy原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e第36页/共51页例例8 8证证, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左边左边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(第37页/共51页dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxx

17、xf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 第38页/共51页例例9 9证证作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf第39页/共51页0)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF第40页/共51页例例1010解解 (1)

18、bbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 第41页/共51页(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 第42页/共51页例例1111a aoyx第43页/共51页解解.10A设面积为设面积为由对称性,有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性,有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 第44页/共51页.30V设旋转体的体积为设旋转体的体积为由对称性,有 axdxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 第45页/共51页例例1212解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.232