概率论与数理统计 2.2 离散型随机变量及其分布律

1、1. 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律2. 几种重要的离散型随机变量几种重要的离散型随机变量的概率分布的概率分布3. 小结小结2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 设设X是一个离散型随机变量，它可能取是一个离散型随机变量，它可能取的值是的值是 x1, x2 , . 为了描述随机变量为了描述随机变量 X ，我们不仅需，我们不仅需要知道随机变量要知道随机变量X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X取每个值的概率取每个值的概率. 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白

2、球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP引例引例且且201)(iiXP(1,2,),1,2,.kkkkXxkXXxP Xxpk 设离散型随机变量所有可能取的不同值为取各个可能值的概率 即事件的概率为定义定义则称则称,.2 , 1,kpxXPkk为为随机变量随机变量X的的概率分布律概率分布律，简称分布律，简称分布律. Xkp1x2xkx1p2pkpXkp1x2xkx1p2pkp分布律的性质：分布律的性质：1. ,.,2 ,

3、1, 0kpk2. , 11kkp离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法1 2, ,kkP Xxpk nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或例：一袋中装有例：一袋中装有5只球，编号为只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同在袋中同时取时取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大号码，写只球中的最大号码，写出出X的分布律。的分布律。CXP3513 且且. 543 ，可能取的值为可能取的值为X列成表格，得列成表格，得10/610/310/1543kpX,101 CCXP35234 ,103 CCXP35245 .106

4、解解：（：（1）不放回抽样）不放回抽样 设所需抽取数为随机变量设所需抽取数为随机变量X，则，则X的可能取值为的可能取值为1,2,3，于是有：，于是有：PX=1=P第一次取到正品第一次取到正品5/410/8/11018CCPX=2=P第一次取到次品，第二次取到正品第一次取到次品，第二次取到正品45898102191811012CCCCPX=3=P第一次和第二次取到次品，第二次取到正品第一次和第二次取到次品，第二次取到正品45188911021818191111012CCCCCC（2）有放回抽样）有放回抽样 因每次抽取的样品放回，故所需抽取次数因每次抽取的样品放回，故所需抽取次数X的可能取值为的可

5、能取值为一切正整数，而且每次取样过程都独立，故每次取到次品的概一切正整数，而且每次取样过程都独立，故每次取到次品的概率为率为2/10=1/5，每次取到正品的概率为，每次取到正品的概率为8/10=4/5。于是有。于是有：PX=k=P前前k-1次都取到次品，第次都取到次品，第k次才取到正品次才取到正品1515454515151k),2,1(k解解: 依据概率函数的性质依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0从中解得从中解得欲使上述函数为概率函数欲使上述函数为概率函数应有应有 ea0kkke! 这里用到了常见的这里用到了常见的幂级数展开式幂级数展开式例例.设随机

6、变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,试确定常数试确定常数a .0(1) 两点分布（伯努利分布）两点分布（伯努利分布）设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为则称则称 X 服从服从 两点分布两点分布或(0(01) 1) 分布分布(其中其中 0p1)Xkp0p 11p实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布.Xkp012121其分布律为其分布律为1,( )0,XX 正面朝上反面朝上实例实例2 200件产品中件产

7、品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 nk

8、ppCkXPknkkn，101 为为参参数数为为自自然然数数，其其中中10 pn 的的二二项项分分布布，服服从从参参数数为为则则称称随随机机变变量量pnX pnBX，记作记作由于由于以及以及 n 为自然数，可知为自然数，可知 nkppCknkkn，1001 又由二项式定理，可知又由二项式定理，可知 nkknkknppC01 nkppCkXPknkkn，101 所以所以是分布律是分布律 11 npp10 p显然，当显然，当 n=1 时时(0 1)X此时，服从分布 pBX，1(0 1)这说明，分布是二项分布的一个特例 二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中事重贝努里试验中事件件A出现次数

9、出现次数X的概率分布的概率分布.例例 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对少能答对4道题的概率是多少？道题的概率是多少？,对对的的题题数数表表示示该该学学生生靠靠猜猜测测能能答答设设X ，答答对对一一道道题题 A则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验 415，则则BX 41 AP则则解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，所以所以 44 XPP道题道题至少能答对至少能答对 54 XPXP

10、5445414341 C641 由此可知，二项分布的分布律由此可知，二项分布的分布律 则则，若若pnBX pqkqkpnkXPkXP 1111 kXP 先是随着先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少这个使得的增大而减少这个使得 kXP 能次数能次数称为该二项分布的最可称为该二项分布的最可达到其最大值的达到其最大值的0k可以证明：可以证明： ；不不是是整整数数，则则如如果果pnkpn110 ；或或是是整整数数，则则如如果果11110 pnpnkpn pqkqkpnkXPkXP 1111二项分布的图形二项分布的图形例例 对同一目标进行对同

11、一目标进行300次独立射击，设每次射击次独立射击，设每次射击时的命中率均为时的命中率均为0.44，试求，试求300次射击最可能命中几次？次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？其相应的概率是多少？射击中命中目标的次数射击中命中目标的次数表示表示300X 则由题意则由题意 ，44. 0300 BX ，它它不不是是整整数数由由于于44.13244. 01300 解：解：对目标进行对目标进行300次射击相当于做次射击相当于做300重重Bernoulli 试验令：试验令：因此，最可能射击的命中次数为因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为其相应的概率为13244.1320k168132132300

12、56. 044. 0132CXP04636. 0（3）泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 泊松分布的重要性在于泊松分布的重要性在于: : (1) 现实中大量随机变量服从泊松分布现实中大量随机变量服从泊松分布; ; (2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布泊松分布可视为二项分布的极限分布. . 电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地

13、震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.二项分布与泊松分布有以下的关系二项分布与泊松分布有以下的关系.泊松定理泊松定理 设随机变量设随机变量X X服从二项分布，其分布律为服从二项分布，其分布律为 ，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.又设又设np= ,( = ,( 是常数是常数) )，则有，则有(1)kkn knP XkC pp 0 limlim(1)kkn knnnP XkC pp .,.,2 , 1 , 0,!nkke

14、k 该定理于该定理于1837年由法国数学家泊松引入！年由法国数学家泊松引入！二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)( nnp 可见，当可见，当n充分大充分大, ,p又很小时又很小时, ,可用泊松可用泊松分布来近似二项分布！分布来近似二项分布！(1)kkn knP XkC pp !ekkXPk 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布. 我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件. 如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等

15、等例例 (人寿保险问题人寿保险问题)在保险公司里在保险公司里 有有2500个同年个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司家属可在公司里领取里领取2000元元.问问 (1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 设设

16、X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则)002. 0 ,2500( BX保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出2000X元元.假定假定 2000X 30000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本.于是于是,P公司亏本公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得, 5002. 02500P公司亏本公司亏本0002. 0!511405kkke(2) 获利不少于一万元获利不少于一万元,即即 30000 -2000X 10000即即X 10P获利不少于一万元获利不少于一万元=PX 109864. 0!51005kkke例例 假设某段时间里光临电器超市的顾客人数服从假

17、设某段时间里光临电器超市的顾客人数服从参数为参数为的泊松分布，而超市里每个顾客买空调的的泊松分布，而超市里每个顾客买空调的概率为概率为P，问在这段时间里恰有，问在这段时间里恰有K个人买空调的概率个人买空调的概率解解以以X表示买空调的人数，表示买空调的人数，Y为进入超市的人数为进入超市的人数,( ).Y 那么()0.1.2!nP Ynenn 即n个人进入超市的条件下个人进入超市的条件下k个人数购买空调的概率：个人数购买空调的概率：(1)()0kkn knC ppnkP Xk Ynnk n个人进入超市的条件下个人进入超市的条件下k个人数购买空调的概率：个人数购买空调的概率：(1)()0kkn kn

18、C ppnkP Xk Ynnk 0()() ()nP XkP Yn P Xk Yn 恰有恰有k个人数购买空调的概率：个人数购买空调的概率：(1)!nkkn knn keC ppn !(1)!()!nkn kn kneppnknk ()(1)!()!n kkn kn kpepknk (1)()!kppeek ()!kppek 购买空调的人数服从参数为购买空调的人数服从参数为p p的泊松分布！的泊松分布！例例. .设每对夫妇的子女数设每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, ,且且知一对夫妇有不超过知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .

19、求任选一求任选一对夫妇对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。23 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由题意由题意,232eee设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为1,2,3,，且，且1()(1), 1,2,3,kP Xkppk 其中其中0p1,则称则称X服从参数为服从参数为p的几何分布，的几何分布，记作记作XG(p).几何分布的分布律满足：几何分布的分布律满足：1(1) ()0;(2)()1.kP XkP Xk 分析分析 设射击次数为设射击次数为X, 则则XG(0.3).所

20、求为所求为2(3)(1)(2)(3)0.3(10.3)0.3(10.3)0.30.657.P XP XP XP X （5）超几何分布超几何分布 设有设有N个产品，其中个产品，其中M个合格品。若从中个合格品。若从中不不放回地放回地随机抽取随机抽取n个，则其中含有的合格品数是个，则其中含有的合格品数是一个随机变量一个随机变量X ，由古典概率计算公式有：，由古典概率计算公式有：nNknMNkMCCCkXP (k=max(0,n-N+m), , min(n, M).则称则称X服从的服从的超几何分布，超几何分布，记做记做XH(M,N,n) 若抽样是若抽样是有放回的有放回的，则随机变量则随机变量X服从服从 P= M/N 的的二项分布二项分布. . 即即()(1)Kkn knMMP XkCNN ( ,)MXB nN超几何分布与二项分布的关系超几何分布与二项分布的关系 当当N N很大而很大而n n相对又较小时（一般相对又较小时（一般nN0.1）可