导数复习知识点总结

1、三智学校导数复习- 1 - 2010 高考数学复习详细资料导数概念与运算知识清单1导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量x 在 x0处有增量x，那么函数y 相应地有增量y=f（x0+x）f（ x0） ，比值xy叫做函数y=f（x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点 x0处的导数，记作f （ x0）或 y|0 xx。即 f（ x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果

2、xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点 x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f （x0+x） f（x0） ；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数 y=f （x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点p（x0， f（x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方

3、程为yy0=f/（x0） （xx0） 。3几种常见函数的导数: 0;c1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 )，即：(.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv三智学校导数复习- 2 - 若 c 为常数 ,则0)(cucucuuccu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(cuc

4、u法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvu（v0） 。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x= y|uu|x2010 高考数学复习详细资料导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最

5、值：一般地，在区间a，b上连续的函数f)(x在a，b上必有最大值与最小值。求函数?)(x在(a，b)内的极值；求函数?)(x在区间端点的值? (a)、?(b)；将函数?)(x的各极值与? (a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数f(x)在区间 a，b上连续，用分点ax0 x1xi 1xi xnb 把区间 a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi 1， xi 上取任一点 i（i1，2， n）作和式innif1(i)x（其中 x 为小区间长度） ，把 n即 x0 时，和式 in 的极限叫做函数f(x) 在区间 a，b上的定积分， 记作：badx

6、xf)(，即badxxf)(ninf1lim( i)x。这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分区间， 函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0c；三智学校导数复习- 3 - dxxm111mxmc（mq， m 1） ；x1dxlnxc；dxexxec；dxaxaaxlnc；xdxcossinxc；xdxsin cosxc（表中 c 均为常数）。（2）定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（ k 为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf

7、)()()(（其中 acb)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab） ，x 轴及一条曲线yf（x）(f(x) 0)围成的曲边梯 的 面 积badxxfs)(。如果图形由曲线y1f1(x) ， y2f2(x) （不妨设f1(x) f2(x) 0） ，及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积s s 曲边梯形amnb s 曲边梯形dmnc babadxxfdxxf)()(21。课前预习1求下列函数导数（1）)11(32xxxxy（2）)11)(1(xxy（3）2cos2sinxxxy（4）y=xxsin2（5）yxxxxx95322若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂

8、直，则l的方程为（）a430 xyb450 xyc430 xyd430 xy3过点（ 1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为（）（a）220 xy（ b）330 xy（c）10 xy（d）10 xy4半径为 r 的圆的面积s(r)r2,周长 c(r)=2r，若将 r 看作 (0， )上的变量，则 (r2)2r 1 ， 1 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为r 的球，若将r 看作 (0， )上的变量，请你写出三智学校导数复习- 4 - 类似于 1 的式子：； 2 式可以用语言叙述为：。5曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是

9、。6对于 r 上可导的任意函数f（x） ，若满足（ x 1）fx（ ）0，则必有（）af（0） f（2）2f（1）b. f（0） f（2）2f（1）cf（0） f（2） 2f（1）d. f（0） f（2）2f（1）7函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）a1 个b2 个c3 个d 4 个8已知函数11axxfxex。 （）设0a，讨论yfx的单调性；（）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。932( )32f xxx在区间1,1上的最大值是（）(a) 2 (b)0 (c)2 (d)4 10设函数

10、f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中（）求 f(x) 的单调区间；（）讨论f(x)的极值。11设函数3( )32f xxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点ab、的坐标分别为11()xf x（,）、22()xf x（,），该平面上动点p满足?4pa pb,点q是点p关于直线2(4)yx的对称点 .求(i)求点ab、的坐标；(ii) 求动点q的轨迹方程 . 12请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点o 到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？13计算下列定积分的值（1）312)4

11、(dxxx（2）215)1(dxx；（3）dxxx20)sin(；（4）dxx222cos；14 （1）一物体按规律xbt3 作直线运动，式中x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体三智学校导数复习- 5 - 由 x0 运动到 xa 时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2bx 在第一象限内与直线xy=4 相切此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为s求使 s 达到最大值的 a、b 值，并求 smax典型例题一 导数的概念与运算eg：如果质点a 按规律 s=2t3 运动，则在t=3 s 时的瞬时速度为（）a. 6m/s b. 18m/s c. 54m/s d. 81m/s

12、 变式：定义在d 上的函数)(xf，如果满足：xd，常数0m，都有|( )|f xm 成立，则称)( xf是 d 上的有界函数，其中m 称为函数的上界. 【文】 （1）若已知质点的运动方程为attts11)(，要使在0 ,)t上的每一时刻的瞬时速度是以m=1 为上界的有界函数，求实数a 的取值范围 . 【理】 （ 2）若已知质点的运动方程为attts12)(，要使在0 ,)t上的每一时刻的瞬时速度是以m=1 为上界的有界函数，求实数a 的取值范围 . eg：已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（）a. 41b. 2 c. 41d. 2 变式 1：为则设hfhffh233li

13、m,430（）a 2 c 3 d 1 变式 2：00003,limxfxxfxxfxxx设在可导 则等于（）a02xfb0 xfc03xfd04xf根据所给的函数图像比较012( ), ,h ttt t曲线在附近得变化情况。变式：函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）a. )2()3()3()2(0/ffffy b. )2() 2()3()3(0/ffffc. )2()3()2()3(0/ffffd. )3()2()2()3(0/ffffo 1 2 3 4 x eg：求所给函数的导数：三智学校导数复习- 6 - 332991log; ; sin(1) ; 2; 2 sin 25n

14、xxxyxxyx eyxyxyeyxx（文科）理科）。变式： 设 f(x) 、 g(x)分别是定义在r 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,( ) ( )( )( )fx g xfx g x0.且 g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0 的解集是a(3,0)(3,+) b( 3,0) (0, 3) c( , 3)(3,+) d( , 3)(0, 3) eg：已知函数lnyxx.(1)求这个函数的导数； （ 2）求这个函数在点1x处的切线的方程. 变式 1：已知函数xey. （1）求这个函数在点ex处的切线的方程；（2）过原点作曲线yex 的切线，求切线的方程. 变式 2：函数 yax21 的图

15、象与直线yx 相切，则 a( ) a. 18b. 41c. 21d. 1 eg：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：3232(1) ( )3 ; (2) ( )23;(3) ( )sin,(0,);(4)( )23241.fxxxfxxxf xxx xf xxxx变式 1：函数xexxf)(的一个单调递增区间是a.0 , 1b. 8 , 2c. 2 , 1d. 2, 0变式 2：已知函数53123axxxy(1)若函数的单调递减区间是（-3，1） ，则a的是. (2)若函数在), 1 上是单调增函数，则a的取值范围是. 变式 3： 设0t，点 p（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()

16、(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点p处有相同的切线. （）用t表示 a，b，c；（）若函数)()(xgxfy在（ 1，3）上单调递减，求t的取值范围 . eg：求函数31( )443f xxx的极值 . 求函数31( )443f xxx在0,3上的最大值与最小值. 变式 1： 函数)(xf的定义域为开区间),(ba， 导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示， 则函数)(xf在开区间),(ba内三智学校导数复习- 7 - 有极小值点（）a1 个b2 个c3 个d4 个变式 2：已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5，其导函数( )yfx的图象经过点(1,0)，(2

17、,0)，如图所示 .求：（）0 x的值； （）, ,a b c的值 . 变式 3：若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf极值34，（1）求函数的解析式；（2）若函数kxf)(有 3 个解，求实数k的取值范围变式 4：已知函数321()22fxxxxc，对 x 1，2 ，不等式f（x） c2 恒成立，求c 的取值范围。eg：利用函数的单调性，证明：ln,0 xxxex变式 1：证明：xxx1ln111，1x变式 2： （理科）设函数f(x)=(1+x)2 ln(1+x)2. 若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在0，2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围 . eg： 函

18、数,3)(3rxxxxf若012mxfmxf恒成立 ,求实数m的取值范围变式 1:设函数,3)(3rxxxxf若2001sinmfmf恒成立，求实数m的取值范围 . 变式 2:如图 ,曲线段 omb 是函数2( )(06)f xxx的图象 ,bax轴于点 a,曲线段 omb 上一点 m2( ,)t t处的切线pq 交 x 轴于点 p,交线段 ab 于点 q，(1)若 t 已知 ,求切线 pq 的方程(2)求qap的面积的最大值变式 3:用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900 角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的

19、容积最大？最大的容积是多少？变式 4:某厂生产某种产品x件的总成本37521200)(xxc（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100 件这样的产品单价为50 万元，产量定为多少时总利润最大？eg：计算下列定积分： （理科定积分、微积分）23211022011(1)x; (2)(2) x; (3)sindx; (4)sindx; (5)sindxdxxxxxdxxabxy)(fyo三智学校导数复习- 8 - 变式 1：计算：；（1）dxxxx20sincos2cos； （2）dxx2024变式 2： 求将抛物线xy2和直线1x围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积. 变式

20、3：在曲线02xxy上某一点a 处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为121，试求：（ 1）切点 a 的坐标； （2）在切点a 的切线方程 . 实战训练1. 设函数 f(x) 在定义域内可导，y=f(x) 的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为() 2. 已知曲线s:y=3xx3 及点(2, 2)p,则过点 p 可向 s 引切线的条数为( ) (a)0 (b)1 (c)2 (d)3 3. c 设 s 上的切点00(,)xy求导数得斜率，过点p 可求得 :200(1)(2)0 xx. 4. 函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（）. 3()(,)22a() (, 2)

21、b35()(,)22c()(2 ,3 )d5. y=2x33x2+a 的极大值为6，那么 a 等于 ( ) (a)6 (b)0 (c)5 (d)1 6. 函数 f(x) x33x+1 在闭区间 -3，0上的最大值、最小值分别是( ) (a)1 ， 1 (b)3，-17 (c)1， 17 (d)9， 19 7.设 l1 为曲线 y1=sinx 在点 (0，0)处的切线， l2 为曲线 y2=cosx 在点 (2,0)处的切线，则l1 与 l2 的夹角为 _. 8. 设函数 f (x)=x3+ax2+bx 1，若当 x=1 时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx 的单调递减区间为. 9

22、 （07 湖北）已知函数( )yf x的图象在点(1(1)mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff10 （07 湖南）函数3( )12f xxx在区间 3 3，上的最小值是11 （ 07浙 江 ） 曲 线32242yxxx在 点( 13 )，处 的 切 线 方 程 是9 . 已 知 函 数32( )( ,)f xxaxb a br（）若函数)(xf图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a；三智学校导数复习- 9 - （）若0,1x，函数( )yf x图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k 的充要条件。12(07 安徽 )设函数 f（x）=-cos2x-4tsin2xco

23、s2x+4t2+t2-3t+4,x r,其中t1，将 f(x) 的最小值记为g(t). ()求 g(t)的表达式； ()诗论 g(t)在区间（ -1,1）内的单调性并求极值. 实战训练 b 1 （07 福建） 已知对任意实数x，有()( )()( )fxf xgxg x，且0 x时，( )0( )0fxgx，则0 x时（）a( )0( )0fxg x，b( )0( )0fxgx，c( )0( )0fxg x，d( )0( )0fxgx，2 （07 海南）曲线12exy在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）29e224e22e2e3 （07 海南）曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）294e22e2e22e4 （07 江苏）已知二次函数2( )f xaxbxc的导数为( )fx，(0)0f， 对于任意实数x都有( )0f x，则( 1 ) ( 0 )ff的最小值为（）a3b52c2d325 （07 江西）