中考数学提升讲义-共顶点旋转模型及其延伸

1、. . jz* 中考数学共顶点旋转模型一、题源分析人教版八年级上册第55 页如图，,12cacdbcec，,求证abde人教版九年级上册第63 页如图，,abdaec都是等边三角形，be 与 dc 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？二、共顶点旋转模型简要概述共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形adc和三角形abe。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：1寻找公共的顶点2列出两组相等的边或者对应成比例的边3将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。典例分析1：2014年 xx 1问题

2、发现如图 1，acb和dce均为等边三角形，点a、d、e在同一直线上，连接be填空：1aeb的度数为；2线段ad、be之间的数量关系是。. . jz* 2拓展探究如图 2，acb和dce均为等腰三角形，acb=dce=900, 点a、d、e在同一直线上，cm为dce中de边上的高，连接be。请判断aeb的度数及线段cm、ae、be之间的数量关系，并说明理由。思路点拨：1第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点c，在点c 处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：cacbcdce，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：cadcbe. 2类比第一问，可以得到cacbcdce，故而全等的三角

3、形为cadcbe，之后再做计算即可。典例分析2：2015年 xx如图 1，在四边形abcd中，点e、f分别是ab、cd的中点，过点e作ab的垂线，过点f作cd的垂线，两垂线交于点g，连接ag、bg、cg、dg，且agdbgc1求证：adbc； 2求证：agdegf；3如图 2，假设ad、bc所在直线互相垂直，求adef的值. . jz* 思路点拨：1第一问，结合共顶点旋转全等模型即可2类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。根据gegfgagd，类比全等证明相似。3结合前两问的相似即可得到adef即为相似比，亦即求解gegfgagd的值即可。典例分析3：2011 年 xx 中考如图1， o 中a

4、b是直径，c是 o 上一点，abc=45，等腰直角三角形dce中dce是直角，点d在线段ac上1证明：b、c、e三点共线；2假设m是线段be的中点，n是线段ad的中点，证明：2mnom。思路点拨：1第一问，共顶点旋转模型2根据第一问的全等证明即可构造旋转模型求解。三、共顶点旋转模型的应用1半角模型：所谓半角模型，是指在从角的顶点向角内部引出两条直线，这两条直线形成的夹角恰好等. . jz* 于原角的一半大小。典例分析1： 2014年 xxxx 如图，在正方形abcd中，e、f分别是边bc、cd上的点，eaf=45，ecf的周长为4，那么正方形abcd的边长为思路点拨：将三角形adf 绕点 a

5、顺时针旋转90即可。典例分析2： 2016? 南岗区模拟 abc 是等边三角形， 点 d 在 abc 外，连接 bd、 cd， 且 bdc=120，bd=dc ，点 m，n 分别在边ab，ac 上，连接 dm 、dn 、mn ， mdn=60，探究：amn 的周长 q与等边 abc 的周长 l 的关系1如图 1，当 dm=dn时，= ；2如图 2，当 dm dn时，猜测=；并加以证明思路点拨：典型的半角模型，将三角形d 绕点 d 逆时针旋转120即可。总结：1半角模型的根本形式：大角包小角，小角得一半2半角模型的解题方法：将被两条直线分开的两个角中任意一个旋转全角大小即可。延伸例题： 2016

6、春 ?黄岛区期中问题：如图 1 ， 点 e、 f 分别在正方形abcd 的边 bc、 cd 上， eaf=45，试判断be、ef、fd之间的数量关系【发现证明】小聪把abe绕点a逆时针旋转90至adg，从而发现ef=be+fd，请你利用图1证明上述结论【类比引申】如图 2 ，四边形abcd中，bad 90，ab=ad ， b+ d=180 ，点 e、f 分别在边bc、cd 上，那么当eaf与bad满足关系时，仍有ef=be+fd 【探究应用】. . jz* 如图 3 ， 在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形abcd ab=ad=80米， b=60， adc=120， bad=150，道路

7、bc、cd 上分别有景点e、f，且 aead ，df= 4040米，现要在e、f 之间修一条笔直道路，求这条道路ef 的长为米2k 字模型：所谓k 字模型，与半角模型类似，实那么是指构成的图形类似于“k字。题源：人教版课本新课标八年级下册第30 页，勾股定理的证明。典例分析1： 2014年 xxxx 如图，将正方形oabc放在平面直角坐标系中，o是原点，a的坐标为 1， ，那么点c的坐标为a ，1b1，c，1d ， 1思路点拨：过点c 作x轴的垂线即可。典例分析2： 2015xx 省 xx 市1 问题：如图 1， 在四边形 abcd 中， 点 p 为 ab 上一点，dpc= a= b=90 .

8、 求证：ad bc=ap bp.2探究：如图2，在四边形abcd 中，点 p为 ab 上一点，当 dpc= a= b= 时，上述结论是否依然成立？说明理由. 3应用请利用 1 2获得的经历解决问题：如图 3，在 abd 中， ab=6 ，ad=bd=5. 点 p 以每秒 1个单位长度的速度，由点a 出发，沿边ab 向点 b运动，且满足dpc= a.设点 p 的运动时间为t秒 ，当以 d 为圆心，以dc 为半径的圆与ab 相切，求 t 的值 . . . jz* 总结：k 字形模型解题根本思路是：利用角的和相等的原理，证明k 的两边的三角形相似或全等。在不相似或者全等时，构造三角形使两个三角形全等相似。例如： 2016?xx模拟 1 【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图 1， abc 是等边三角形，点d 为 bc 的中点，且满足ade=60， de 交等边三角形外角平分线ce 所在直线于点e，试探究 ad 与 de 的数量关系小明发现，过点d 作 df ac，交 ac 于点 f，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出ad 与 de 的