扭转强度刚度3

1、 圆轴扭转时的切应力与变形计算圆轴扭转时的切应力与变形计算 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻, 结构轻便，应用广泛。练习TTT1 1、切应力计算、切应力计算令令抗扭截面系数抗扭截面系数复习复习: :圆轴扭转时横截面上的应力计算公式圆轴扭转时横截面上的应力计算公式PTImaxPPtTRTTIIWRPtIWRmaxtTW实心轴与空心轴实心轴与空心轴 I Ip p 与与 W Wt t 对比对比34(1)/ 216PtIDWD44441 ( )(1)3232PDdDID316PtIDW

2、R432PDI实心轴实心轴空心轴空心轴圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭转角扭转角。扭转角是扭转变形的变形度量。扭转角是扭转变形的变形度量。 相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算1ni iiPiTlGI单位长度扭转角单位长度扭转角扭转刚度条件扭转刚度条件：许用单位长度扭转角：许用单位长度扭转角 (/)PTradmlGI max 圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的刚度条件材料、长度、扭矩相同时，粗材料、长度、扭矩相同

3、时，粗细不同的圆轴，变形程度不同。细不同的圆轴，变形程度不同。所以用单位长度扭转角度量扭所以用单位长度扭转角度量扭转变形程度较为准确。转变形程度较为准确。 maxmax180PTGI180( /)PTmGI 1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 maxmaxtTW maxtTW maxmax()tTW扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度已知已知T T 和和 ， 设计截面设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和 ，

4、校核刚度校核刚度已知已知T T 和和 ， 设计截面设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算解决三种类型的强度问题解决三种类型的强度问题解决三种类型的刚度问题解决三种类型的刚度问题 maxtTW扭转圆轴强度与刚度设计的一般过程扭转圆轴强度与刚度设计的一般过程 1 1 确定作用在轴上的确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。外加力偶的力偶矩。 2 2 确定轴横截面上的扭矩，当轴上同时作用确定轴横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动外力偶时，须有两个以上的绕轴线转动外力偶时，须画出画出扭

5、矩图。扭矩图。 3 3 由扭矩图由扭矩图确定可能的危险截面以及危险截确定可能的危险截面以及危险截面上的扭矩值。面上的扭矩值。 4 4 计算危险截面上的计算危险截面上的最大剪应力或最大单位最大剪应力或最大单位长度扭转角。长度扭转角。 5 5 根据需要，应用强度条件和刚度条件对圆根据需要，应用强度条件和刚度条件对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许可载荷。确定许可载荷。已知已知ABAB轴的转速是轴的转速是CDCD的的3 3倍。倍。作用在作用在CDCD轴上的外力偶矩是轴上的外力偶矩是ABAB轴的轴的3 3倍。倍。33设两轴材料相同，若按扭转强度设计，设

6、两轴材料相同，若按扭转强度设计，则则CDCD轴的直径为轴的直径为ABAB轴的轴的 倍，倍，因此，同一减速箱中，高速轴较低速轴的直径小。因此，同一减速箱中，高速轴较低速轴的直径小。A AB BC CD D max316Td 316Td M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,dAB=80mm,dBC=50mm,G=80GPa1 1、求此轴的最大切应力、求此轴的最大切应力2 2、C C截面相对于截面相对于A A截面的扭转角截面的扭转角 CACA；3 3、单位长度相对扭转角、单位长度相对扭转角 ABAB、 BCBC；解：解：1 1、求最大切应力、求

7、最大切应力 扭矩图如左：扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.mMPaWTABABAB83.48802 . 010536maxMPaWTBCBCBC72502 . 0108 . 136max例例1 1圆轴扭转时的应力、变形计算圆轴扭转时的应力、变形计算2 2、求、求C C截面相对截面相对A A截面的扭转角截面的扭转角扭转角计算公式：扭转角计算公式：3334935 10200 103.05 10 ()80 100.180 10ABABBApABT LradGI C C截面相对截面相对A A截面的扭转角为：截面的扭转角为：3 3、单位长度单位长度相对扭转角为：相对扭转角为：阶梯轴

8、阶梯轴ADAD的的ABAB段为实心部分，直径段为实心部分，直径d1=40mm;d1=40mm;BDBD段为空心部分，外径段为空心部分，外径D=60mm,D=60mm, 内径内径d=50mmd=50mm。M MeCeC=1.8KN=1.8KN. .m,Mm,MeAeA=0.8KN=0.8KN. .m m，M MeDeD=1KN=1KN. .m,m,材料需用切应力材料需用切应力 =80MPa,=80MPa,试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算例例2 2810401063.7MPaAB

9、Tdmax段：MeMeA A=0.8KN=0.8KN. .m, Mem, MeD D=1KN=1KN. .m m 2343433161161 1050601016045.5MPaCDTD max段：80MPa 传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P P1 1=400kW=400kW，从动轮从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知。已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确

10、定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMABC2eM3eM1d2dnPMe11954940095497640N m500mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解：1.1.外力外力 例例3 3 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .8210707640161633631Td按刚度条件按刚度条件 4431

11、2923218032 7640 18086.4 10 m86.4mm 80 101TdG3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640mN4580 mm4 .861d 31max16dT1eMABC2eM3eM1d2d 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm762d 5.5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861dd 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计

12、计算圆轴的设计计算44322923218032 4580 18076 10 m76mm 80 101TdG 6.6.将将主动轮按装在主动轮按装在两从动轮之间两从动轮之间1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算mN3060mN4580 传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴扭扭 转转解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：)1 (1643DWp)2(1 1643DtDD361024.29m轴的最大剪应力轴的最大剪应力

13、 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。试校核此轴的强度。已知已知 =60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径当，则实心轴的直径 为？为？1D扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件PxWMmax,max6150051.3MPa29.24 10 60MPa所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而若此轴改为实心轴，而maxmax15

14、1.3MPaxPMW31116DWp式中式中解得：解得：mMDx053. 03103 .51166max,1扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为2114DA22205mm空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积2222687)(4mmdDA空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：%3122056871212AAGG扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为因为 根据应力分布规律，根据应力分布规律，轴心附近处的应

15、力很小，对实心轴而言，轴轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；心附近处的材料没有较好地发挥其作用； 从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wt也比也比较大，强度和刚度均可提高；较大，强度和刚度均可提高； 通常所讲通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持强度不变，即指最大切应力值不变；对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为

16、合理。 扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最最大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴空心圆轴的内外直径之比的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长。二轴长度相同。度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解解: :首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45

17、mm40 10.d已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大切最大切应力应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的内外直空心圆轴的内外直径之比径之比 =0.5=0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴 =0.5=0.5 D D2 2=23 mm=23 mm 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心

18、轴的重量之比空心轴空心轴D D2 246mm46mmd d2 223 mm23 mm实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm最大切应力相同的情况下，最大切应力相同的情况下，长度相同的二轴长度相同的二轴的重量之比即为横截面面积之比：的重量之比即为横截面面积之比：2231132222245 1011.2846 101 0.51AdAD 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算随内外直径之比随内外直径之比 增大，减轻重量、节省材料越明显。增大，减轻重量、节省材料越明显。A A2 2/A/A1 1=0.78=0.78 可见，在其它条件相同的情况下

19、，空心轴的重量仅为实心轴重量的78%，节省材料的效果明显。这是因为切应力沿半径呈线性分布，实心轴实心轴圆心附近处应力较小，材料未能充分发挥作用。圆心附近处应力较小，材料未能充分发挥作用。改为空心轴相当于把轴心处的材料移向边缘，从改为空心轴相当于把轴心处的材料移向边缘，从而提高了轴的强度。而提高了轴的强度。已知：已知：P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,z=120r/min,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm,

20、=50mm, d d3 3=35mm. =35mm. 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。P P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速M M1 1=T=T1 1=1114 N.m=1114 N.mM M2 2=T=T2 2=557 N.m=557 N.mM M3 3=T=T3 3=185.7 N.m=185.7 N

21、.m2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩圆轴扭转时截面上的应力计算圆轴扭转时截面上的应力计算传动比：传动比： 节圆直径节圆直径 齿数齿数32 21 1轴轴3 3轴轴1122122211nDZinDZ 1max3-9P116 11141Pa16.54MPa 7010TW 2max3-9P216 5572Pa22.69MPa 5010TW 3max3-9P316 185.73Pa21.98MPa 3510TW3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力最大切应力圆轴扭转时截面上的应力计算圆轴扭转时截面上的应力计算32 21 1轴轴3 3轴轴例例 4 (书例书例3.4) 已知已知

22、：1、2轴共消耗功率轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗轴消耗功率功率2.98kW。4轴转速轴转速183.5r/min，G=80GPa。取取 =40 MPa, =1.5/m。解解：u 计算力偶矩计算力偶矩0.7569549954939.3 N m183.5IIIIPmn求求：设计：设计4轴的直径。轴的直径。u 计算力偶矩计算力偶矩95492.989549155N m183.5IVIVPmnu 取取4轴轴, 受力如图受力如图0 xmIIImmN3 .1940.7569549954939.3N m183.5IIIIPmnIIImIImIVmu 画出扭矩图画出扭矩图u 计算力偶矩计算力偶矩m,N3

23、.39IIm155N mIVmmN3 .194IIImT155N m39.3N mIIImIImIVmu 画出扭矩图画出扭矩图可得到：可得到：mN155maxTu 由强度条件由强度条件tWTmaxmax3max16DT3max16 TD m0272. 0u 由刚度条件由刚度条件maxmaxp180TGI180)32/(4maxDGTT155N m39.3N mu 由强度条件由强度条件m0272. 0Du 由刚度条件由刚度条件maxmaxp180TGI180)32/(4maxDGT4max232180 TDGm0297. 0 u 最后取：最后取：mm30Du 说明：说明：本题实际上是本题实际上是

24、弯扭组合弯扭组合变形变形的问题。的问题。 由刚度条件控制由刚度条件控制练习练习 钢制空心圆轴的外直径钢制空心圆轴的外直径D=100mmD=100mm，d=50mmd=50mm。若要求轴在。若要求轴在2m2m长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过1.5(1.5() )，材料的切，材料的切变模量变模量G=80.4GPa.G=80.4GPa. 1.1.求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩； 2.2.确定此轴横截面上的最大剪应力。确定此轴横截面上的最大剪应力。1.1. 轴所能承受的最大扭矩轴所能承受的最大扭矩 =1.5/2=0.75=1.5/2=0.75（/m/m） T

25、 3.14/180GIp =0.75(3.14/180)80.4109 3.14(10010-3)41-(50/100)4/32 =9.688kN. .m2.2.计算轴横截面上的最大剪应力计算轴横截面上的最大剪应力例例 2 (书例书例3. 5) 已知已知： 把轴预加力偶矩把轴预加力偶矩m后与筒焊接，然后解除后与筒焊接，然后解除m。轴和筒的抗扭刚度分。轴和筒的抗扭刚度分别为别为G1IP1和和G2IP2 。解解：求求：轴和筒的扭矩。：轴和筒的扭矩。先扭后焊，属装配应先扭后焊，属装配应力问题。力问题。设外力偶矩设外力偶矩m撤销后，撤销后，轴内的扭矩为轴内的扭矩为T1，筒内的扭矩为筒内的扭矩为T2 。

26、u 静平衡方程静平衡方程0mT1T2设外力偶矩设外力偶矩m撤销后，撤销后，轴内的扭矩为轴内的扭矩为T1，筒内的扭矩为筒内的扭矩为T2 。021TTu 变形协调方程变形协调方程设：焊接前轴在设：焊接前轴在m的作用的作用下的扭转角为下的扭转角为 。焊接并释放焊接并释放m后，杆的扭后，杆的扭转角减小为转角减小为1 ，筒的，筒的扭转扭转角为角为2 ，转向如图。，转向如图。T1T2u 变形协调方程变形协调方程设：焊接前轴在设：焊接前轴在m的作用的作用下的扭转角为下的扭转角为 。焊接并释放焊接并释放m后，杆的扭后，杆的扭转角减小为转角减小为1 ，筒的，筒的扭转扭转角为角为2 ，转向如图。，转向如图。所以：

27、所以：21u 物理关系物理关系,1p1IGlm,1p111IGlT 2p222IGlT 代入变形协调方程代入变形协调方程1p12p221p11IGlmIGlTIGlTu 物理关系物理关系,1p1IGlm,1p111IGlT 2p222IGlT 代入变形协调方程代入变形协调方程1p12p221p11IGlmIGlTIGlT与平衡方程联立解得与平衡方程联立解得21TT 2p21p12p2IGIGImGT1T2(2) 变形协调方程变形协调方程(1) 静平衡方程静平衡方程(3) 物理关系物理关系分析静不定问题的三部曲分析静不定问题的三部曲四、扭转超静定问题四、扭转超静定问题扭转超静定问题扭转超静定问题

28、仅由平衡方程不能确定支反力偶矩仅由平衡方程不能确定支反力偶矩 1. .平衡方程；平衡方程； 或扭矩的扭转问题或扭矩的扭转问题解扭转超静定问题需要从三方面考虑，即：解扭转超静定问题需要从三方面考虑，即： 2. .变形协调方程；变形协调方程； 3. .物理方程。物理方程。 两端固定的阶梯形圆轴两端固定的阶梯形圆轴AB，在，在C处作用一外力处作用一外力 试求轴两端的支反力偶矩和试求轴两端的支反力偶矩和C截面的扭转角截面的扭转角 C。 偶矩。已知偶矩。已知CB段轴的抗扭刚度为段轴的抗扭刚度为AC段的二倍，段的二倍，解解：为一次超静定问题：为一次超静定问题。1. .求求支反力偶矩支反力偶矩( (1) )

29、平衡方程平衡方程(2)(2)变形协调方程变形协调方程(3) (3) 物理方程物理方程e0ABMMMCCACBpp22, ABCACBACCBllMMGIGI( (1) )( (2) )( (3) )MCACBxMAMBACBl2_l2_MeMAMeACBx CMB 将将( (3) )式代入式代入( (2) )式，并考虑到式，并考虑到由由( (1) )和和( (4) )式求得式求得可得可得 ACCBGIGIpp2 ABMM2 ( (4) )3eMMA 32eMMB 2. .求求C截面的扭转角截面的扭转角epp26ACCAACAClMM lGIGIMAMeACBx CMB轴向拉压轴向拉压扭扭 转转内力分量内力分量轴力FN扭矩T应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量AFN PIT maxmaxPWT强度条件 maxmaxAFNPWTmax 变形公式变形公式NF LLEANFEA位移位移截点或截面的线位移截面的角位移截面的角位移刚度条件刚度条件 NFEA应变能应变能22NF LVEA12vPTG I PTLGI 0180PTGI22PT LVGI12v小结小结圆轴扭转时的应力推导：圆轴扭转时的应力推导：平面假设及变形几何关系平面