类型三 其他探究题-备考2022年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）

1、类型三 其他探究题例1、已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作efbd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg（1）直接写出线段eg与cg的数量关系；（2）将图1中bef绕b点逆时针旋转45º，如图2所示，取df中点g，连接eg，cg你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中bef绕b点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）fbace图3dfbadceg图2fbadceg图1【答案】解：（1）cg=eg（2）（1）中结论没有发生变化，即eg=cg证明：连接ag，过g点作mnad于

2、m，与ef的延长线交于n点fbadcegmnn图 2在dag与dcg中， ad=cd，adg=cdg，dg=dg， dagdcg ag=cg在dmg与fng中， dgm=fgn，fg=dg，mdg=nfg， dmgfng mg=ng fbadce图3g 在矩形aenm中，am=en在rtamg 与rteng中， am=en， mg=ng， amgeng ag=eg eg=cg （3）（1）中的结论仍然成立例2、请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形abc内有一点p，且pa=2， pb=， pc=1求bpc度数的大小和等边三角形abc的边长李明同学的思路是：将bpc绕点b顺时针旋转60

3、6;，画出旋转后的图形（如图2）连接pp，可得ppc是等边三角形，而ppa又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以apc=150°，而bpc=apc=150°进而求出等边abc的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形abcd内有一点p，且pa=，bp=，pc=1求bpc度数的大小和正方形abcd的边长图2图3图1【答案】解：（1）如图，将bpc绕点b逆时针旋转90°，得bpa，则bpcbpaap=pc=1，bp=bp=连结p p，在rtbpp中， bp=bp=，pbp=90°， p p=2，bpp=45

4、6; 在app中， ap=1，p p=2，ap=， ，即ap 2 + pp 2 = ap2 app是直角三角形，即a p p=90° apb=135° bpc=apb=135° （2）过点b作beap 交ap 的延长线于点e ep b=45°. ep=be=1. ae=2. 在rtabe中，由勾股定理，得ab= bpc=135°，正方形边长为例3、如图1，已知abc=90°，abe是等边三角形，点p为射线bc上任意一点（点p与点b不重合），连结ap，将线段ap绕点a逆时针旋转60°得到线段aq，连结qe并延长交射线bc于点f

5、.（1）如图2，当bp=ba时，ebf=°，猜想qfc= °；（2）如图1，当点p为射线bc上任意一点时，猜想qfc的度数，并加以证明；图1acbeqfp（3）已知线段ab=，设bp=，点q到射线bc的距离为y，求y关于的函数关系式图2abeqpfc【答案】解: （1） 30° = 60° （2）=60°不妨设bp, 如图1所示 bap=bae+eap=60°+eap eaq=qap+eap=60°+eap bap=eaq 在abp和aeq中 ab=ae，bap=eaq， ap=aqabpaeq（sas） aeq=abp=9

6、0°bef=60° (事实上当bp时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点f作fgbe于点gabe是等边三角形 be=ab=，由（1）得30°在rtbgf中， bf= ef=2abpaeq qe=bp= qf=qeef过点q作qhbc，垂足为h在rtqhf中，（x0）即y关于x的函数关系式是：.例4、如图，将oa= 6，ab = 4的矩形oabc放置在平面直角坐标系中，动点m、n以每秒个单位的速度分别从点a、c同时出发，其中点m沿ao向终点o运动，点n沿cb向终点b运动，当两个动点运动了t秒时，过点n作npbc，交ob于点p，

7、连接mp （1）点b的坐标为；用含t的式子表示点p的坐标为；（2）记omp的面积为s，求s与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，s有最大值？（3）试探究：当s有最大值时，在y轴上是否存在点t，使直线mt把onc分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是onc面积的？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由（备用图）【答案】解：（1）（6，4）；（）.（2）somp =×om×，s =×（6 -t）×=+2t （0 < t <6）当时，s有最大值（3）存在由（2）得：当s有最大值时，点m、n的坐标分别为：m（

8、3，0），n（3，4），则直线on的函数关系式为：（备用图）r2t1t2r1d2d1设点t的坐标为（0，b），则直线mt的函数关系式为：，解方程组得直线on与mt的交点r的坐标为例5、如图，在rtabc中，acb90°，a30°，点o为ab中点，点p为直线bc上的动点(不与点b、点c重合)，连接oc、op，将线段op绕点p逆时针旋转60°，得到线段pq，连接bq.(1)如图，当点p在线段bc上时，请直接写出线段bq与cp的数量关系；(2)如图，当点p在cb延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，当点p在bc延长线上时

9、，若bpo45°，ac，请直接写出bq的长第3题图【答案】解：(1)cpbq; 【解法提示】如解图，连接oq，第3题解图由旋转可知，pqop，opq60°，poq是等边三角形，opoq，poq60°，在rtabc中，o是ab中点，ocoaob，boc2a60°poq，copboq，在cop和boq中，copboq(sas)，cpbq；(2)成立，理由如下：如解图，连接oq，第3题解图由旋转知pqop，opq60°，poq是等边三角形，opoq，poq60°，在rtabc中，o是ab中点，ocoaob，boc2a60°poq，copboq，在cop和boq中，copboq(sas)，cpbq；(3)bq.【解法提示】在rtabc中，a30