备考2022数学类型二 二次函数与角度问题（解析版）

1、类型二 二次函数与角度问题例1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接、，试比较和的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）cdx轴且点c（0，3），设点d的坐标为(x，3) 直线y= x+5经过d点，3= x+5x=2即点d(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为m（1，y），又直线y= x+5经过m点，y =1+5，y =4即m（1，4）设抛物线的解析式为点c（0，3）在抛物线上，a=1即抛物线的解析式为3分（2）作bpac于点p，mnab于点n由（1）中抛物线

2、可得点a（3，0），b（1，0），ab=4，ao=co=3，ac=pab45°abp=45°，pa=pb=pc=acpa=在rtbpc中，tanbcp=2在rtanm中，m（-1，4），mn=4an=2tannam=2bcpnam即acbmab例2、在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点n（2,5），过点n作x轴的平行线交此抛物线左侧于点m，mn=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点p（x,y）为此抛物线上一动点，连接mp交此抛物线的对称轴于点d，当dmn为直角三角形时，求点p的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点c，在此抛物线上是否存在点q，使qmn=cnm ？若存在，求

3、出点q的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）过点m、n（2，5），由题意，得m（，）. 解得 此抛物线的解析式为. 2分（2）设抛物线的对称轴交mn于点g，若dmn为直角三角形，则.d1（，），（，）. 4分直线md1为，直线为.将p（x，）分别代入直线md1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）设存在点q（x，），使得qmn=cnm. 若点q在mn上方，过点q作qhmn，交mn于点h，则.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若点q在mn下方，同理可得（6，）. 8分例3、平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于点a、点b，与y轴

4、的正半轴交于点c，点 a的坐标为(1, 0)，ob=oc，抛物线的顶点为d (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点p满足apb=acb，求点p的坐标； (3) q为线段bd上一点，点a关于aqb的平分线的对称点为，若，求点q的坐标和此时的面积 【答案】图9（1） ， 抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴交于 点a、点b，点a的坐标为， 点b的坐标为，ob3 1分可得该抛物线的解析式为 ob=oc，抛物线与y轴的正半轴交于点c， oc=3，点c的坐标为将点c的坐标代入该解析式，解得a=12分 此抛物线的解析式为（如图9） 3分 （2）作abc的外接圆e，设抛物线的对称轴与x

5、轴的交点为点f，设e与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10） 可知圆心e必在ab边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上 、都是弧ab所对的圆周角， ，且射线fe上的其它点p都不满足由（1）可知 obc=45°，ab=2，of=2可得圆心e也在bc边的垂直平分线即直线上 点e的坐标为 4分 由勾股定理得 点的坐标为 5分由对称性得点的坐标为 6分符合题意的点p的坐标为、.（3） 点b、d的坐标分别为、，可得直线bd的解析式为，直线bd与x轴所夹的锐角为45° 点a关于aqb的平分线的对称点为，（如图11）若设与aqb的

6、平分线的交点为m，则有 ，q，b，三点在一条直线上 ， 作x轴于点n 点q在线段bd上， q，b，三点在一条直线上， ， 点的坐标为 点q在线段bd上， 设点q的坐标为，其中 ， 由勾股定理得 解得经检验，在的范围内 点q的坐标为 7分此时 8分例4、已知，抛物线与x轴交于点a（2,0）、b（8,0），与y轴交于点c（0，4）。直线y=x+m与抛物线交于点d、e（d在e的左侧），与抛物线的对称点交于点f。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求dcf的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点p，使dpf450，且满足条件的点p只有两个，则m的值为_.（第（3）问不要求写解答过程）

7、【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），抛物线与y轴交于点c（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，m=2，直线的解析式为y=x+2，直线y=x+2与抛物线交于点d、e，与抛物线的对称轴交于点f，f、d两点的坐标分别为f（3，5），d（-2，0）设抛物线的对称轴与x轴的交点为m，可得cm=fm=md=5，f、d、c三点在以m为圆心，半径为5的圆上dcf=dmf=45°（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为g（3，-）设f（3，3+m），

8、则fg=m+3+，设d关于对称轴的对称点为d1，当四边形dgd1f为正方形时，满足题意，此时p点与顶点g重合，或者与d1重合，故dd1=fg，d点横坐标为：x=-（fg-3）=-，纵坐标为-（fg-3-m）=，将d点坐标抛物线解析式，解得m=-例5、如图，抛物线，与轴交于点，且（i）求抛物线的解析式；（ii）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （iii）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值【答案】解：（i），且代入，得（ii）当可证 同理: 如图当当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，（iii）

9、 又例6、如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，抛物线y=ax28ax16a6经过点b（0，4）.求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为d，过点d、b作直线交x轴于点a，点c在抛物线的对称轴上，且c点的纵坐标为-4，联结bc、ac.求证：abc是等腰直角三角形；在的条件下，将直线db沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点a、b，是否存在直线l，使abc是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由 图（1） 备用图 【答案】解：由题意知： 解得： 抛物线的解析式为：-1分证明 ：由抛物线的解析式知:顶点d坐标为（4,6） 点c的纵坐标为4，且在抛物线的对

10、称轴上c点坐标为(4，4)设直线bd解析式为： 有：，bd解析式为直线bd与x轴的交点a的坐标为（8,0）过点c作ce轴于点e，则ce=4，be=8又ob=4，oa=8, ce=ob,be=oa,ceb=boa=90°cebboa(sas)-2分cb=ab, 1=22+3=90°，2+3=90°1+3=90°，即abc=90°abc是等腰直角三角形-3分存在.当cab=90°时，如图1所示， ababoab=bao易证:eca=oab图1eca=baotanbao=taneca=ea=2a坐标为(2,0)直线l解析式为-5分当acb=90°时，如图2所示，图2过点c作ce轴于点e，易证afcbecaf=be由tanbao=设b坐标为（0，n）有b坐标为（0，）直线l解析式为-7分例7、已知：抛物线yx22xm-2交y轴于点a（0，2m-7）与直线yx交于点b、c（b在右、c在左）（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为e，在抛物线的对称轴上是否存在一点f，使得，若存在，求出点f的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线oc上有两个动点p、q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线oc运动，以pq为斜边在直线bc的上方作直角三角形pmq（直角边分别平行于坐标轴），设运