随机过程考试真题

1、.1、设随机过程X (t )R tC ， t(0,) ， C 为常数， R 服从 0,1 区间上的均匀分布。（ 1）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数；（ 2）求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设 W (t ),t是参数为2的维纳过程， R N (1,4) 是正态分布随机变量；且对任意的t， W (t ) 与 R 均独立。令 X (t ) W (t )R ，求随机过程X (t ),t的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180 ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。 求一天内（8 个小时）商

2、场营业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.30.70P00.20.80.700.3（1）求两步转移概率矩阵P (2) 及当初始分布为P X0 11,P X02P X030时，经两步转移后处于状态2 的概率。（ 2）求马尔可夫链的平稳分布。5 设马尔可夫链的状态空间I1,2,3,4,5 ，转移概率矩阵为：0.30.40.3000.60.4000P010000000.30.700010求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设N (t ), t0 是参数为的泊松过程，计算E N (t )N (ts) 。7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni 记在 i

3、第层进入电梯的人数。假定N i 相互独立，且 N i 是均值为i 的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率pij 在第 j 层离开电梯，pij1 。令 O j 在第 j 层离开电梯的人数。ji;.（ 1）计算 E(O j )（ 2） Oj 的分布是什么（ 3） Oj 与 Ok 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3 点上作随机游动。若在时刻 t 质点位于这三个点之一，则在 t ,th) 内，它都以概率ho( h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pi j (t) 及平稳分布。1 有随机过程 (t)， -< t< 和 (t)， -&l

4、t; t< ，设(t)= A sin(t+)，(t)= B sin(t+ ),其中 A，B， 为实常数，均匀分布于 0， 2 ，试求 R (s,t)2（ 15 分）随机过程(t)= Acos( t+)，-< t <+，其中 A,是相互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,是在 -5, 5上均匀分布的随机变量，是在 - ， 上均匀分布的随机变量。试分析(t)的平稳性和各态历经性。3 某商店顾客的到来服从强度为4 人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00 开门，试求：（ 1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（ 2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无

5、顾客到来的概率。4 设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1 表示）、正常（用 2表示）、畅销（用 3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（ pij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态 j 的概率），一步转移开率矩阵为：11022511P993121636试对经过长时间后的销售状况进行分析。5 设 X(t),t 0是独立增量过程, 且 X(0)=0, 证明 X(t),t 0是一个马尔科夫过程。6 设N(t),t0 是强度为的泊松过程，Yk ,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且N(t)与

6、 N(t),t0 独立，令 X(t)=Yk , t0 ，证明：若E(Y12 <) ，则 E X(t)tE Y1k=1;.7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 设t ,t是平稳过程，令tt cos 0 t,t，其中0是常数，为均匀分布在0,2 上的随机变量，且t ,t与相互独立， R ( )和 S ()分别是t ,t的相关函数与功率谱密度，试证：（1）t,t是平稳过程，且相关函数：R1 Rcos02（2）t,t的功

7、率谱密度为：S1SS0049 已知随机过程(t )的相关函数为：R2e，问该随机过程(t )是否均方连续？是否均方可微？1、设随机过程X (t)R tC ， t(0,) ， C 为常数，（ 1）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数；（ 2）求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】x（ 1） F ( x)f (t )dt ，则 f (t ) 为密度函数；（2） X (t) 为 ( a, b) 上的均匀分布，概率密度函数f ( x)R 服从 0,1 区间上的均匀分布。1, axbba，分布函数0, xa(b a)2F ( x)xa ,ax b ， E( x)a b ，

8、 D (x)；bab2121, x;.（3）参数为的指数分布，概率密度函数f (x)e x , x0 ，分布函数0, x01ex , x 0， E( x)11F ( x)0, x 0， D (x)2 ；2( x)212（4）E(x), D ( x)f ( x)e 2x，的正态分布， 概率密度函数,21x(t)220,1时，其为标准正态分布。分布函数 F ( x)e 2dt,x，若2【解答】本题可参加课本习题2.1 及 2.2 题。（1）因 R 为 0, 1 上的均匀分布，C 为常数， 故 X (t) 亦为均匀分布。 由 R 的取值范围可知，t 上的均匀分布， 因此其一维概率密度 f (x)1,

9、C x C t ，一维分布X (t) 为 C, Ct0, 其他0, xC函数 F ( x)x C , CX C t ；tCt1, x（2）根据相关定义，均值函数mX (t )EX (t)tC ；1 stC (s2相关函数 RX (s,t )E X (s) X (t)t) C 2 ；32st协方差函数 BX (s,t )E X (s) mX (s) X (t)mX (t )（当 s t 时为方差函数）12【注】 D(X)E(X2)E 2 ( X ) ； BX (s,t )RX (s,t )mX ( s) mX (t )求概率密度的通解公式f t( )f(y) |y' () |f(y) /

10、 |x' (y) |xx2、设 W (t ),t是参数为2是正态分布随机变量；且的维纳过程， R N (1,4)对任意的t， W (t ) 与 R 均 独 立 。 令 X (t )W (t ) R ， 求 随 机 过 程X (t ),t的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1 题。依题意， W (t) N (0,2 | t |) ， R N (1,4) ，因此 X (t )W (t )R 服从于正态分布。故：;.均值函数 mX (t ) EX (t)1；相关函数 RX (s,t )E X (s) X (t)5 ；协方差函数 BX (s,t )EX (s)mX (s) X

11、(t )mX (t )4 （当 s t 时为方差函数）3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180 ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。 求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题3.10 题。由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：E(Y )112)2,D(Y)s2 ，故 E(Y2 ，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营ss业额的数学期望 mX (8) 8 180E(Y) ；一天内商场营业额的方差X2 (8)8180E(Y2)。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.30.

12、70P00.20.80.700.3（1）求两步转移概率矩阵P (2) 及当初始分布为PX011,PX02PX030时，经两步转移后处于状态2 的概率。（ 2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3 题及 4.16 题（1）两步转移概率矩阵0.30.700.30.700.090.350.56P( 2)PP00.20.800.20.80.560.040.40.700.30.700.30.420.490.09当初始分布为 P X 011,P X0 2P X030 时，0.090.350.561000.560.040.40.090.350.560.420.490.09故经两步转移后处于状态

13、2 的概率为 0.35。;.（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组10.31020.720.710.2203010.820.31231333解上述方程组得平稳分布为18 ,27 ,382323235、设马尔可夫链的状态空间 I1,2,3,4,5 ，转移概率矩阵为：0.30.40.3000.60.4000P010000000.30.700010求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例4.13 题和 4.16 题画出状态转移图如下：42135（1）由上图可知，状态分类为G11,2,3; G2 4,5（ 2）由上图

14、及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A、对 G1 常返闭集而言，解方程组;.10.310.6220.410.4230.31021230101333解上述方程组得平稳分布为37259371,2,3501590则各状态的平均返回时间分别为t1115 , t2190 , t31501372259337B、对 G2 常返闭集而言，解方程组10.31120.710121解上述方程组得平稳分布为221 10,2 71717则各状态的平均返回时间分别为t1117 , t2117110276、设N (t ), t0 是参数为的泊松过程，计算E N (t )N (ts

15、) 。【解答】E N (t) N (ts)E N (t) N (t s) N (t ) N (t )E N (t) N (t s) N (t )E N (t )2E N (t) E N (t s) N (t )E N (t )2t st( t )2t (1ts)7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni 记在 i 第层进入电梯的人数。假定N i 相互独立，;.且 N i 是均值为i 的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率pij 在第 j 层离开电梯，pij1 。令 O j 在第 j 层离开电梯的人数。j i（ 1）计算 E(O j )（ 2） Oj 的分布是什么（ 3） Oj 与 O

16、k 的联合分布是什么【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以 Nij 记在第 i 层乘上电梯，在第j 层离去的人数，则Nij 是均值为i pij 的泊松变量 ,且全部Nij(i 0, ji ) 相互独立。因此：(1)E O j E N ij i pijii(2)由泊松变量的性质知，O jNij是均值为i pij的泊松变量iiikk i(3)因 Oi 与 Ok独立 ，则 P(Oi Ok )P(Oi )P(Ok )eee 2 ， 为期望。i !k!i! k!8、一质点在1，2，3 点上作随机游动。若在时刻 t 质点位于这三个点之一，则在 t ,th) 内，它都以概率ho(

17、h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pi j (t) 及平稳分布。【解答】参见教材习题5.2 题pij (t)(i j) 得， qij1(ij ) ，柯尔莫哥洛夫向前方程为依题意，由 limqijt 0tpij'2 pij (t)pi , j 1(t )pi, j 1(t) ，由于状态空间 I1,2,3 ，故pij(t) pi , j1 (t)pi , j1 (t) 1，所以pij'2 pij (t)1pij (t )3 pij (t )1 ，解上述一阶线性微分方程得：;.1tpij (t)ce 3由初始条件1，31, ijpij (0

18、)j0, i确定常数 c ，得12epij (t)33113e31 t31 t3, ij, ij故其平稳分布jlim pij (t )1 , j 1,2,3t31、有随机过程 (t)，- < t< 和 (t)，- < t< ，设 (t)= A sin( t+ )， (t)= B sin( t+ + ), 其中 A，B， ， 为实常数， 均匀分布于 0， 2 ，试求 R (s,t)1.解： f1,0220,其它21 dRs, tEstAsinsB sint0212ABcostscosts2d401ts,s, tAB cos22、随机过程 (t)= Acos(t+)，-&l

19、t; t <+，其中 A,是相互统计独立的随机变量，EA=2,D A=4,是在 -5, 5上均匀分布的随机变量，是在 -， 上均匀分布的随机变量。试分析 (t)的平稳性和各态历经性。2、解：mtEtE A costEA E cost152dcostd205def0m ,t;.R t ,tEt tE A costAcost2tcostE A E cos85dcostcostd20585dcoscos 2 t2d40585d4 sin 5def20cos5R5所以具有平稳性。tlim1TtdtAsin T cos0 mA coslimT2TTTT故均值具有各态历经性。lim 1TttAcos

20、tA costdtT 2T T2TAlimcostcostdtT 2T T2AcosRt2故相关函数不具有各态历经性。3、某商店顾客的到来服从强度为4 人每小时的Poisson 过程，已知商店9： 00 开门，试求：（ 1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（ 2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为N(t), t>=0，依题意 N(t) 是参数为的 Poisson 过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：10412e2eP N2（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为N1，在未来半小时仍无顾客到来可表02示为 N1N10，

21、从而所求概率为：2;.P N(1) N10 | N1022PN (1)N10 | N1N0 022N (1)1411e 2PN0e224、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1 表示）、正常（用2 表示）、畅销（用3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月） 与初始时刻无关， 且其状态转移概率为pij（ pij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态 j 的概率），一步转移开率矩阵为：110225P11399121636试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii>0 ，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为=1， 2， 3 ，求解方程组：= P,1+2+3=1即：1 11 22 311219259212得：16231631323 3318,9, 3612232323即极限分布为：8 ,9 ,6232323由计算结果可以看出：经过相当长时间后， 正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最