备考2022中考数学类型四 抛物线型问题（解析版）

1、类型四 抛物线形问题例1、已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；图1oxy（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.【答案】：（1） （2）（3）（4,8）【解析】：（1） 直线的经过点直线的经过点 （2）由可知点的坐标为 抛物线经过点、 ， 抛物线的表达式为抛物线的顶点坐标为, （3）过点作轴，垂足为点，则轴 , 直线与轴的交点为点点的坐标为,又，,轴 即点的纵坐标是又点在直线上点的坐标为例2、如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点a，与x轴分别交于点b（-1，0）、点c（3，0

2、），点d是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点d的坐标；（2）联结ad、dc，求的面积；备用图第2题图（3）点p在直线dc上，联结op，若以o、p、c为顶点的三角形与abc相似，求点p的坐标 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或【解析】：（1） 点b（-1，0）、c（3，0）在抛物线上，解得 抛物线的表达式为，顶点d的坐标是（1，-4） （2）a（0，-3），c（3，0），d（1，-4） ， （3），cadaob，oa=oc， ，即 若以o、p、c为顶点的三角形与abc相似 ，且abc为锐角三角形 则也为锐角三角形，点p在第四象限由点c（3，0），d（1，-4）得直线cd的表达式是

3、，设（）过p作phoc，垂足为点h，则，当时,由得，解得， 当时,由得，解得， 综上得或例3、已知抛物线经过点、（1）求抛物线的解析式；（2）联结ac、bc、ab，求的正切值；（3）点p是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点p作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点p的坐标（第3题图）yxabco【答案】：（1）解得 （2） （3） 点的坐标为或【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，这个二次函数的【解析】式为（2）（,）、（，）、（,） ，（3）过点p作，垂足为h设，则（,），当apg与abc相似时，存在以下两种可能： 则即 解得点的坐标为

4、 则即 解得点的坐标为例4、已知抛物线经过点a（1,0）和b（0,3），其顶点为d.（1）求此抛物线的表达式；（2）求abd的面积；（3）设p为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作ph对称轴，垂足为h，若dph与aob相似，求点p的坐标.【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点p的坐标为（5,8），.【解析】：（1）由题意得：得：，所以抛物线的表达式为.（2）由（1）得d（2，1），作dty轴于点t, 则abd的面积=.（3）令p.由dph与aob相似，易知aob=phd=90°，所以或，解得：或，所以点p的坐标为（5,8），.图5例5、平面直角坐标系xoy中（如图8）

5、，已知抛物线经过点a（1,0）和b（3,0），与y轴相交于点c，顶点为p （1）求这条抛物线的表达式和顶点p的坐标； （2）点e在抛物线的对称轴上，且ea=ec，求点e的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线mn，点q在直线mn右侧的抛物线上，meq=neb，求点q的坐标【答案】：（1）p的坐标是（2，-1）（2）m=2（3），点e的坐标为（5，8）【解析】：（1）二次函数的图像经过点a（1，0）和b（3，0），解得：， 这条抛物线的表达式是.顶点p的坐标是（2，-1）（2）抛物线的对称轴是直线，设点e的坐标是（2，m）根据题意得： ，解得：m=2，点e的坐标为（2，2）（3）解

6、法一：设点q的坐标为，记mn与x轴相交于点f作qdmn，垂足为d， 则，,qde=bfe=90°，qed=bef，qdebfe，解得（不合题意，舍去），点e的坐标为（5，8）解法二：记mn与x轴相交于点f联结ae，延长ae交抛物线于点q，ae=be， efab，aef=neb，又aef=meq，qem=neb，点q是所求的点，设点q的坐标为，作qhx轴，垂足为h，则qh=，oh=t，ah=t-1，efx轴，ef qh，解得（不合题意，舍去），点e的坐标为（5，8）例6、在平面直角坐标系xoy中，已知点b（8,0）和点c（9，）抛物线（a，c是常数，a0）经过点b、c，且与x轴的另一交

7、点为a对称轴上有一点m ，满足ma=mc（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形abcm的面积； （3） 如果坐标系内有一点d，满足四边形abcd是等腰梯形，xbc第6题图oy·且ad/bc，求点d的坐标 【答案】：（1）抛物线的表达式： （2）3（3） 点d的坐标【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴，即点b（8,0）关于对称轴的对称点为点a（0,0）， 将c（9，-3）代入，得抛物线的表达式： （2）点m在对称轴上，可设m（4，y）又ma=mc，即 , 解得y=-3, m（4，-3）ymc/ab且mcab, 四边形abcm为梯形，, ab=8,mc=5,ab边上的高h =

8、 ym = 3 xo(3) 将点b（8,0）和点c（9，3）代入 可得macb，解得由题意得，ad/bc, ，又ad过（0,0），dc=ab=8，设d(x,-3x) ,解得(不合题意，舍去)， 点d的坐标abocxy（第7题图）d例7、如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于点a和点b（1，0），与y轴相交于点c（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点d的坐标；（2）求证：dab=acb；（3）点q在抛物线上，且adq是以ad为底的等腰三角形，求q点的坐标【答案】：（1）顶点坐标d（1，4）（2）（3）点q的坐标是，【解析】：（1）把b（1，0）和c（0，3）代入中，得，解得抛物线的

9、解析式是：顶点坐标d（1，4）（2）令，则，a（3，0），cao=oca在中，；，是直角三角形且，又dac和ocb都是锐角，dac=ocb，即（3）令，且满足，,0)，4）是以ad为底的等腰三角形，即， 化简得：由，解得，点q的坐标是，例8、如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；图8xy11o（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由 【答案】：（1）b=1（2）点有两个，其坐标分别是和 （3）

10、点的坐标是或【解析】：（1） 由直线经过点，可得.由抛物线的对称轴是直线，可得.（2） 直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标是，点的坐标是.抛物线的顶点是点，点的坐标是.点是轴上一点，设点的坐标是.bcg与bcd相似，又由题意知，bcg与相似有两种可能情况：如果，那么，解得，点的坐标是.如果，那么，解得，点的坐标是.综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 （3）点的坐标是或.例9、已知：如图9，在平面直角坐标系xoy中，抛物线的图像与x轴交于点a（3，0），与y轴交于点b，顶点c在直线上，将抛物线沿射线ac的方向平移，当顶点c恰好落在y轴上的点d处时，点b落在点e处（1）求这个抛物线的【

11、解析】式；（2）求平移过程中线段bc所扫过的面积； （3）已知点f在x轴上，点g在坐标平面内，且以点c、e、f、g为顶点的四边形是矩形，求点f的坐标备用图图9 【答案】：（1）抛物线的解析式为 （2）12（3）有，），【解析】：（1）顶点c在直线上，将a（3，0）代入，得，解得，抛物线的解析式为（2）过点c作cmx轴，cny轴，垂足分别为m、n =，c（2，），mac=45°，oda=45°，抛物线与y轴交于点b，b（0，），抛物线在平移的过程中，线段bc所扫过的面积为平行四边形bcde的面积，（3）联结ce.四边形是平行四边形，点是对角线与的交点，即 .（i）当ce为矩形

12、的一边时，过点c作，交轴于点，设点，在中，即 ，解得 ，点同理，得点（ii）当ce为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点、，可得 ，得点、综上所述：满足条件的点有，），例10、如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为c（1，），p是抛物线上位于第一象限内的一点，直线op交该抛物线对称轴于点b，直线cp交x轴于点a（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点p的横坐标为m，试用m的代数式表示线段bc的长；（3）如果abp的面积等于abc的面积，求点p坐标(第10题图)ypoxcba【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2x（2） bc= m-2+1=m-1（3）p的坐标为（）(第10题图)ypoxcba【解析】：（1）抛物线y=ax2+bx的顶点为c（1，） 解得： 抛物线的表达式为：y=x2-2x；（2）点p